第2課時菱形的判定課時目標(biāo)1.經(jīng)歷探索菱形判定定理的過程,掌握菱形的判定定理,培養(yǎng)學(xué)生的合情推理與演繹推理的能力.2.通過對比平行四邊形、矩形判定的學(xué)習(xí)方法,體會證明過程中類比、轉(zhuǎn)化、由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志:學(xué)生通過對比平行四邊形、矩形判定的學(xué)習(xí)方法,可以提出菱形判定的猜想,然后經(jīng)歷驗證并證明猜想的過程,最終能夠得出菱形的判定定理.達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志:學(xué)生能夠主動想到類比平行四邊形及矩形判定的學(xué)習(xí)方法來學(xué)習(xí)菱形的判定定理,在探究判定的過程中能自己設(shè)計探究過程并分步實施,最終得出結(jié)論.學(xué)習(xí)重點(diǎn)菱形的判定定理.學(xué)習(xí)難點(diǎn)菱形判定定理的應(yīng)用.課時活動設(shè)計回顧平行四邊形、矩形的判定定理是怎樣研究的?平行四邊形及矩形的性質(zhì)與判定有什么聯(lián)系?菱形有哪些性質(zhì)?如何研究菱形的判定?說一說你的研究思路.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生回顧菱形的性質(zhì)以及平行四邊形、矩形判定的研究路徑,明確圖形的性質(zhì)與判定的邏輯關(guān)系,為菱形判定的研究提供研究思路,讓學(xué)生體會它們的研究路徑和方法是一致的.通過類比復(fù)習(xí)可以將知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化,幫助學(xué)生對本章知識的理解與掌握.你現(xiàn)在知道的判定菱形的方法是什么?判定菱形需要幾個條件?分別是什么?菱形還有其他的判定定理嗎?請根據(jù)你的經(jīng)驗作出猜想.學(xué)生活動:先獨(dú)立寫出菱形性質(zhì)的逆命題,再小組討論,最后形成一致意見進(jìn)行展評.菱形的性質(zhì):菱形的四條邊都相等.逆命題:四條邊都相等的(平行)四邊形是菱形.菱形的性質(zhì):菱形的兩條對角線互相垂直.逆命題:兩條對角線互相垂直的(平行)四邊形是菱形.菱形的性質(zhì):菱形的每一條對角線平分一組對角.逆命題:每一條對角線平分一組對角的(平行)四邊形是菱形.對于逆命題中的條件,是用四邊形還是用平行四邊形這個條件呢?為什么?設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生回憶菱形的定義,明確定義具有雙重性,既是性質(zhì)也是判定.引導(dǎo)學(xué)生通過性質(zhì)猜想判定,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系,建立知識的整體結(jié)構(gòu)框架,理清各個知識點(diǎn)之間的聯(lián)系,使學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.通過分析逆命題中的條件,讓學(xué)生體會定理條件的精簡,體會數(shù)學(xué)的簡潔美.畫圖驗證下列逆命題的真假:逆命題1:四條邊都相等的四邊形是菱形.逆命題2:兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.逆命題3:一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形.逆命題4:每一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形.設(shè)計意圖:讓學(xué)生經(jīng)歷猜想——驗證——證明——得出結(jié)論的科學(xué)的探究過程,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).通過畫圖驗證,培養(yǎng)學(xué)生動手作圖的能力,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.你能證明教學(xué)活動3中的四個命題嗎?證明命題的步驟是畫圖——寫出已知和求證——證明,請同學(xué)們按照步驟對上述命題進(jìn)行證明,然后小組展評.1.已知:如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求證:四邊形ABCD是菱形.證明:∵AB=CD,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵AD=AB,∴四邊形ABCD是菱形.2.已知:如圖所示,在?ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC⊥DB.求證:?ABCD是菱形.證明:∵在?ABCD中,AO=CO且AC⊥DB.∴AD=CD.∴?ABCD是菱形.3.已知:如圖所示,在?ABCD中,AC平分∠DAB和∠DCB.求證:?ABCD是菱形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC.∴∠BAC=∠DCA.∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC.∴∠DAC=∠DCA.∴AD=CD.∴?ABCD是菱形.4.已知:如圖所示,在四邊形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.求證:四邊形ABCD是菱形.證明:∵AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC,∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.在△ABD和△CBD中,∠∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC,AD=CD.同理可得△BAC≌△DAC,∴AB=AD,BC=CD.∴AB=CD,AD=BC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)過合情推理之后對得到的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理證明,讓學(xué)生明白每一個數(shù)學(xué)定理的得出都要經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理的過程,培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性以及推理能力.通過小組合作討論、展評,培養(yǎng)學(xué)生的合作意識以及語言表達(dá)能力.再次理解:教學(xué)活動3中的四個命題均已得證,這四個真命題均可成為判定定理嗎?請大家先思考,然后打開教材驗證,并回答為什么有的真命題沒有成為判定定理?設(shè)計意圖:通過思考哪個真命題可以作為菱形的判定定理,讓學(xué)生體會命題3用來證明菱形可以通過角平分線+平行證鄰邊相等,從而轉(zhuǎn)化成為有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,于是沒有出現(xiàn)這個定理的必要;而命題4,證明時需要4對角相等,用起來不方便,所以沒有作為定理出現(xiàn).通過這樣的思考過程,既可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,還可以使學(xué)生站在更高的角度思考定理的合理性,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法.例題練習(xí),鞏固理解先獨(dú)立完成教材第57頁例4,然后學(xué)生代表講解,全班分享,共同完善修正答案.例如圖,?ABCD的兩條對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且AB=5,AO=4,BO=3.求證:?ABCD是菱形.證明:∵AB=5,AO=4,BO=3,∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形.∴AC⊥BD.∴?ABCD是菱形.設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)力求提高學(xué)生運(yùn)用知識的能力和推理能力,培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力,加深學(xué)生對性質(zhì)的理解.本節(jié)課我們研究了菱形的判定定理,請同學(xué)們帶著以下問題進(jìn)行總結(jié):(1)在探尋菱形的判定定理時,你經(jīng)歷了怎樣的研究過程?這個過程中用到了哪些數(shù)學(xué)方法?積累了哪些活動經(jīng)驗?(2)矩形、菱形都是特殊的平行四邊形,矩形是平行四邊形角特殊的情況,菱形是平行四邊形邊特殊的情況,那么還需要考慮平行四邊形對角線特殊的情況嗎?為什么?平行四邊形能否存在邊和角同時特殊的情況呢?將要怎樣研究呢?設(shè)計意圖:學(xué)生通過自主反思,不但可以梳理本節(jié)所學(xué)的知識,更重要的是能將數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行內(nèi)化吸收,通過引導(dǎo)學(xué)生理解矩形和菱形分別是平行四邊形角和邊的特殊情況,而同時它們的對角線也有特殊之處,所以不再研究平行四邊形對角線特殊的情況,使學(xué)生頭腦中的知識系統(tǒng)完整,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方式.通過是否存在邊、角同時特殊的情況?引出下一節(jié)的內(nèi)容,為下一節(jié)的研究做好鋪墊并提供研究思路及研究方法.知能演練提升能力提升1.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠DAC=30°,BD=8,則下列結(jié)論:①∠DAB=60°;②∠ADB=60°;③OD=4;④AD=8;⑤OC=43,其中正確的有()A.2個 B.3個 C.4個 D.5個2.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊,得到菱形AECF.若AB=3,則BC的長為()A.1 B.2 C.2 D.33.如圖,菱形ABCD的邊長為13,對角線AC=24,點(diǎn)E,F分別是邊CD,BC的中點(diǎn),連接EF并延長與AB的延長線相交于點(diǎn)G,則EG=()A.13 B.10 C.12 D.54.若菱形的周長為20cm,且有一個內(nèi)角為45°,則該菱形的高為cm.

5.如圖,將兩張對邊平行且等寬的紙條交叉疊放在一起,則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD菱形.(填“是”或“不是”)

★6.如圖,點(diǎn)E,F,G,H分別是任意四邊形ABCD中AD,BD,BC,CA的中點(diǎn),當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿足條件時,四邊形EFGH是菱形.

7.如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是邊AD,AB的中點(diǎn).(1)求證:△ABE≌△ADF;(2)若BE=3,∠C=60°,求菱形ABCD的面積.8.如圖,四邊形ABCD為矩形,G是對角線BD的中點(diǎn),連接GC并延長至點(diǎn)F,使CF=GC,以DC,CF為鄰邊作菱形DCFE,連接CE.(1)判斷四邊形CEDG的形狀,并證明你的結(jié)論.(2)連接DF,若CD=1,求DF的長.9.如圖,在?ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在BD和DB的延長線上,且DE=BF,連接AE,CF.(1)求證:△ADE≌△CBF.(2)連接AF,CE.當(dāng)BD平分∠ABC時,四邊形AFCE是什么特殊四邊形?請說明理由.創(chuàng)新應(yīng)用★10.將兩塊完全相同的三角尺Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A'B'C')按如圖①所示的方式放置在同一平面上(∠C=∠C'=90°,∠ABC=∠A'B'C'=60°),斜邊重合.若三角尺Ⅱ不動,三角尺Ⅰ在三角尺Ⅱ所在的平面上向右滑動,圖②是滑動過程中的一個位置.(1)在圖②中,連接BC',B'C,求證:△A'BC'≌△AB'C.(2)當(dāng)三角尺Ⅰ滑動到什么位置(點(diǎn)B'落在AB邊的什么位置)時,四邊形BCB'C'是菱形?說明理由.知能演練·提升一、能力提升1.D2.D題圖中的六個小直角三角形都全等,∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=30°.設(shè)EB=x,則EC=AE=3-x,∴3-x=2x,x=1.∴BC=3.3.B連接BD,交AC于點(diǎn)O,如圖.∵菱形ABCD,點(diǎn)E,F分別是邊CD,BC的中點(diǎn),∴AB∥CD,EF∥BD.∵AC,BD是菱形的對角線,AC=24,∴AC⊥BD,AO=CO=12,OB=OD.又AB∥CD,EF∥BD,∴DE∥BG,BD∥EG,∴四邊形BDEG是平行四邊形,∴BD=EG.在△COD中,∵OC⊥OD,CD=13,CO=12,∴OB=OD=132∴BD=2OD=10,∴EG=BD=10.4.522如圖,過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)∵周長為20cm,∴CD=5cm,∵∠BCD=45°,∴∠CDE=45°,∴高h(yuǎn)=CE=22CD=525.是∵AB∥CD,AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.如圖,過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥DC于點(diǎn)F,∴AE=AF,∴S?ABCD=BC·AE=DC·AF,∴BC=DC,∴?ABCD是菱形.6.AB=CD需添加條件AB=CD.∵E,F分別是AD,DB的中點(diǎn),∴EF∥AB,EF=12AB∵H,G分別是AC,BC的中點(diǎn),∴HG∥AB,HG=12AB∴EF∥HG,EF=HG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.∵E,H分別是AD,AC中點(diǎn),∴EH=12CD∵AB=CD,∴EF=EH.∴四邊形EFGH是菱形.7.(1)證明∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,∵點(diǎn)E,F分別是邊AD,AB的中點(diǎn),∴AF=AE.在△ABE和△ADF中,AB∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)解如圖,連接BD.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠A=∠C=60°,∴△ABD是等邊三角形.∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn),∴BE⊥AD.在Rt△AEB中,設(shè)AB=x,則AE2+BE2=AB2,即12x2+(3)2=x2,即AD=AB=2,∴菱形ABCD的面積=AD·BE=2×3=23.8.解(1)四邊形CEDG是菱形,理由如下:∵四邊形ABCD為矩形,G是對角線BD的中點(diǎn),∴GC=GD.∵CF=GC,∴GC=GD=CF.∵四邊形DCFE是菱形,∴CF=DE,DE∥GC,∴DE=GC,∴四邊形CEDG是平行四邊形.∵GD=GC,∴四邊形CEDG是菱形.(2)∵四邊形DCFE是菱形,∴∠CDF=12∠CDE,∴DC=CF=1∵GD=GC=CF,∴GD=GC=CD=1,即△GCD為等邊三角形.∴∠GDC=∠GCD=60°.∴∠DCF=120°.∴∠CDF=30°.∴∠GDF=90°.在Rt△GDF中,DF=GF9.(1)證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=CB,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中,AD∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)解當(dāng)BD平分∠ABC時,四邊形AFCE是菱形.理由:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.∴平行四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥EF,∵DE=BF,∴OE=OF.又OA=OC,∴四邊形