北師大版·九年級(jí)上冊(cè)1.2矩形的性質(zhì)與判定

第3課時(shí)

第一章

特殊平行四邊形學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)1.進(jìn)一步理解矩形的性質(zhì)及判定，并能靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明;（重點(diǎn)）2.能應(yīng)用矩形的性質(zhì)和判定解決綜合問(wèn)題.（難點(diǎn)）知識(shí)回顧矩形的性質(zhì)：邊角對(duì)角線對(duì)稱性對(duì)邊平行且相等.矩形的四個(gè)角都是直角.矩形的對(duì)角線互相平分且相等.既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形(2條對(duì)稱軸).知識(shí)回顧矩形的判定：有三個(gè)角是

.對(duì)角線

.有一個(gè)角是

.ABCD□ABCD四邊形ABCDABCD直角直角相等ABCD∟矩形ABCDABDC矩形ABCDABCD矩形ABCD情境引入問(wèn)題：某學(xué)校要修建一個(gè)矩形花壇，工人師傅已經(jīng)測(cè)量出花壇的兩條相鄰邊的長(zhǎng)度分別為3米和4米，對(duì)角線的長(zhǎng)度為5米，你能幫助工人師傅判斷這個(gè)花壇是否為矩形嗎？你能用所學(xué)的矩形知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題嗎？新知探究

探究：矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易證得△OAB是等邊三角形，繼而求得∠BAE的度數(shù)，由△OAB是等邊三角形，求出∠ADE的度數(shù)，又由AD=6，即可求得AE的長(zhǎng).例1：如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，求AE的長(zhǎng).新知探究

新知探究矩形性質(zhì)的應(yīng)用：知識(shí)歸納

應(yīng)用矩形的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，常與勾股定理、等腰三角形性質(zhì)等結(jié)合，求解邊長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)、角度等。例如，利用矩形對(duì)角線將矩形分成四個(gè)等腰三角形，通過(guò)等腰三角形邊角關(guān)系計(jì)算線段長(zhǎng)度；借助矩形的直角，在關(guān)聯(lián)三角形中推導(dǎo)角的度數(shù)。新知探究1.如圖，在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝6，OA＝5，則BD＝

，AD＝

?.10

8

新知探究例2：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．求證：四邊形ADCE為矩形.分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可證得四邊形ADCE為矩形.新知探究

新知探究知識(shí)歸納

需證明一個(gè)圖形是矩形時(shí)，若已知為平行四邊形，可通過(guò)“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”判定；若為一般四邊形，可通過(guò)“三個(gè)角是直角”判定。?矩形判定的應(yīng)用：新知探究2.下列說(shuō)法中，不正確的是（

）A．有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形B．有一組鄰角相等的平行四邊形是矩形C．有一組對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形D．有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形A新知探究想一想在例2中，連接DE，交AC于點(diǎn)F（如圖）．求證：四邊形ADCE為矩形；（1）試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.解：（1）四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下：由例2知，四邊形ADCE為矩形，則AE=CD，AC=DE．又∵AB=AC，BD=CD，∴AB=DE，AE=BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形.分析：(1)利用例2中矩形的對(duì)角線相等推知：AC=DE；結(jié)合已知條件可以推知AB∥DE，又AE=BD，則易判定四邊形ABDE是平行四邊形.新知探究

如圖，所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF＝BD.連接BF.(1)BD與DC有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說(shuō)明理由．例1典例分析解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∵∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE,∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC.典例分析

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)△ABC滿足AB＝AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形．∴AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四邊形AFBD是矩形．

如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，則重疊部分△AFC的面積為（

C

）A.6 B.8 C.10 D.12例2典例分析C

2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，AH⊥BC于點(diǎn)H，連接EH，若DF＝10cm，則EH等于(

)A．8cm

B．10cm

C．16cm

D．24cm1.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個(gè)矩形，點(diǎn)B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1,S2，則S1,S2的大小關(guān)系是(

)A．S1>S2

B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題BB3.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE＝15°，則∠BOE＝

°.鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題754.如圖，矩形ABCD中，AB＝1，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，沿BE將△ABE折疊，若點(diǎn)A恰好落在BF上，則AD＝

.

5.如圖,點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn),CN∥AB,DN交AC于點(diǎn)M,MA＝MC.(1)求證：CD＝AN；(2)若∠AMD＝2∠MCD,求證:四邊形ADCN是矩形．

鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題證明：(1)證△AMD≌△CMN得AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四邊形ADCN是平行四邊形，∴CD＝AN.

鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題（2）證明：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由(1)知四邊形ADCN是平行四邊形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四邊形ADCN是矩形.

6.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，BE∥AC，AE∥BD，EO與AB交于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形AEBO是矩形；鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題（1）證明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AOBE是平行四邊形.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴平行四邊形AOBE是矩形.鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題（2）若OE＝10，AE＝8，求菱形ABCD的面積.

課堂小結(jié)矩形的性質(zhì)與判定3-矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用矩形性質(zhì)的應(yīng)用應(yīng)用矩形的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，常與勾股定理、等腰三角形性質(zhì)等結(jié)合，求解邊長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)、角度等。例如，利用矩形對(duì)角線將矩