第5節(jié)一元二次方程、不等式高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式；（2）結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式；（3）了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一一元二次不等式01.知識(shí)點(diǎn)二三個(gè)“二次”之間的關(guān)系02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)點(diǎn)一一元二次不等式1.

（x－a）（x－b）＞0或（x－a）（x－b）＜0型不等式的解集不等式解集a＜ba＝ba＞b（x－a）·（x－b）＞0{x｜x＜a或x＞b}{x｜

?}{x｜

?

?

?}（x－a）·（x－b）＜0{x｜

?

?}?{x｜b＜x＜

a}x≠a

x＜b

或x＞a

a＜x＜

b

A.

{x｜

＜x＜2}B.{x｜

≤x＜2}C.

{x｜x＜

或x＞2}D.{x｜x＜

或x＞2}

B（2）（人B必修一P75練習(xí)B

5題改編）解關(guān)于x的不等式ax2－（1－4a）

x－4＜0（a∈R）.解：①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式可化為－x－4＜0，解得x＞－4；

規(guī)律方法

對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見(jiàn)的分類有：（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類；（2）根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)；（3）有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.提醒

解不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）時(shí)不要忘記當(dāng)a＝0時(shí)的情形.練1（1）（人B必修一P71練習(xí)B

1題改編）不等式｜2x－3｜＜x＋1的解

集為

?；

②若Δ＝a2－4＝0，則a＝±2.當(dāng)a＝2時(shí)，原不等式可化為x2－2x＋1≤0，即（x－1）2≤0，所以x＝1；當(dāng)a＝－2時(shí)，原不等式可化為x2＋2x＋1≤0，即（x＋1）2≤0，所以x＝－1.（2）（北師必修一P38練習(xí)3題改編）解關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≤0.解：由題意知，Δ＝a2－4，

PART02知識(shí)點(diǎn)二三個(gè)“二次”之間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象

ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2（x1＜x2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝

?

?沒(méi)有實(shí)數(shù)根

判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集{x｜

?

?}{x｜

?

?}Rax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集{x｜

?

?}??x＜x1

或x＞x2

x1＜

x＜x2

（1）已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象如圖所示，則不等式bx2－

cx＋3≤0的解集為（

D

）A.

（－∞，－1]B.

（－∞，－3]∪[1，＋∞）C.

[3，＋∞）D.

（－∞，－1]∪[3，＋∞）D解析：根據(jù)二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象可知，－1，2為方程x2＋bx＋c＝0的兩根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，則bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式解集為（－∞，－1]∪[3，＋∞）.（2）〔多選〕（2025·棗莊調(diào)研）已知關(guān)于x的不等式（x＋2）（x－

4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），則（

ABD

）A.

x1＋x2＝2B.

x1x2＜－8C.

－2＜x1＜x2＜4D.

x2－x1＞6ABD

規(guī)律方法1.

一元二次方程的根就是對(duì)應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是對(duì)應(yīng)一元二次不

等式解集的端點(diǎn)值.2.

給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的開(kāi)口方向及

與x軸的交點(diǎn)，可以利用根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).練2（1）〔多選〕已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為（－1，

3），則下列說(shuō)法正確的是（

BCD

）A.

a＞0B.

bx－c＞0的解集是{x

x＞

}C.

cx2＋ax－b＞0的解集是{x

x＜－

或x＞1}D.

a＋b＜cBCD

（2）若不等式（a2－4）x2＋（a＋2）x－1≥0的解集是空集，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為

?.

提能點(diǎn)一元二次不等式（恒）能成立問(wèn)題

（1）設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≥0在區(qū)間[1，2]上有

解，則a的取值范圍為（

C

）A.

（－∞，2]B.[2，＋∞）C.

（－∞，

］D.［

，＋∞）

C（2）（人A必修一P58復(fù)習(xí)題6題改編）不等式kx2＋2kx－3＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)

x都成立，試求k的取值范圍.

變式若將本例（2）中的條件“對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立”改為“對(duì)任意的

k∈[1，3]恒成立”，試求x的取值范圍.解：把不等式的左端看成關(guān)于k的函數(shù)，記f（k）＝（x2＋2x）k－3，則由f（k）＜0對(duì)于任意的k∈[1，3]恒成立，得f（1）＝（x2＋2x）－3

＜0，且f（3）＝3（x2＋2x）－3＜0，

規(guī)律方法一元二次不等式恒成立問(wèn)題求參數(shù)的策略（1）弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)；（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給

定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.

練3已知函數(shù)f（x）＝mx2－（m－1）x＋m－1.（1）若不等式f（x）＜1的解集為R，求m的取值范圍；

（3）若不等式f（x）＞2對(duì)一切m∈（0，2）恒成立，求x的取值范圍.

PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)

A.

{x｜－1＜x≤3}B.{x｜x≤3或x＞4}C.

{x｜－2≤x≤4}D.{x｜－2≤x≤－1}

12345678910111213141516√2.

若不等式kx2＋（k－6）x＋2＞0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

（

）A.

[2，18]B.（－18，－2）C.

（2，18）D.（0，2）

√123456789101112131415163.

某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)p（元）之間的

關(guān)系為p＝160－2x，生產(chǎn)x（x∈N）件所需成本為c（元），其中c＝

500＋30x，若要求每天獲利不少于1

300元，則日銷售量x的取值范圍是

（

）A.

[20，30]B.[20，45]C.

[15，30]D.[15，45]解析：

設(shè)該廠每天獲得的利潤(rùn)為y元，則y＝（160－2x）·x－（500

＋30x）＝－2x2＋130x－500，0＜x＜80，x∈N.

根據(jù)題意知，－2x2＋

130x－500≥1

300，解得20≤x≤45，x∈N.

所以當(dāng)20≤x≤45，x∈N

時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)不少于1

300元，故選B.

√123456789101112131415164.

已知關(guān)于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），則關(guān)于x的不等式

ax2＋（3a－b）x－3b＜0的解集是（

）A.

（－∞，－3）∪（2，＋∞）B.

（－3，2）C.

（－∞，－2）∪（3，＋∞）D.

（－2，3）解析：

由關(guān)于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），得b＝2a且

a＜0，則關(guān)于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0可化為x2＋x－6＞0，

即（x＋3）（x－2）＞0，解得x＜－3或x＞2，所以不等式的解集為（－

∞，－3）∪（2，＋∞）.故選A.

√12345678910111213141516

A.

{x｜x＜－

或x＞

}B.

{x｜－

＜x＜

}C.

{x｜x＜－

或x＞

}D.

{x｜－

＜x＜0或0＜x＜

}√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

若關(guān)于x的不等式x2－4x－a＞0在區(qū)間（1，5）內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是（

）A.

（－∞，5）B.（5，＋∞）C.

（－4，＋∞）D.（－∞，4）解析：

設(shè)f（x）＝x2－4x－a，則f（x）的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為

直線x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在區(qū)間（1，5）內(nèi)有解，只要f

（5）＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（－

∞，5）.√123456789101112131415167.

（2025·洛陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)期中）若關(guān)于x的不等式x2－（m＋3）x＋

3m＜0的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A.

（6，7]B.[－1，0）C.

[－1，0）∪（6，7]D.[－1，7]解析：

不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0可化為（x－3）（x－m）＜

0，當(dāng)m＞3時(shí)，不等式的解集為（3，m），要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則

這3個(gè)整數(shù)只能是4，5，6，所以6＜m≤7；當(dāng)m＝3時(shí)，不等式的解集為

?，此時(shí)不符合題意；當(dāng)m＜3時(shí)，不等式的解集為（m，3），要使解集

中恰有3個(gè)整數(shù)，則這3個(gè)整數(shù)只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.綜上可

知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－1，0）∪（6，7].故選C.

√12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a，關(guān)于實(shí)數(shù)x的一元二次不等式a（x－a）（x＋1）

＞0的解集可能為（

）A.

?B.（－1，a）C.

（a，－1）D.（a，＋∞）解析：

根據(jù)題意，易知a≠0.當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝a（x－a）（x＋1）的圖象開(kāi)口向上，故不等式的解集為（－∞，－1）∪（a，＋∞）.當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝a（x－a）（x＋1）的圖象開(kāi)口向下，若a＝－1，則不等式的解集為?；若－1＜a＜0，則不等式的解集為（－1，a）；若a＜－1，則不等式的解集為（a，－1）.√√√123456789101112131415169.

（2025·邯鄲一模）已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為（－

∞，－2）∪（3，＋∞），則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A.

a＞0B.

不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6}C.

a＋b＋c＞0D.

不等式cx2－bx＋a＜0的解集為（－∞，－

）∪（

，＋∞）√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空題10.

不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集為

?.

1234567891011121314151611.

已知函數(shù)f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R），當(dāng)x＞2時(shí)，不等式f

（x）≥－1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

?.解析：f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2時(shí)恒成立，令g（x）

＝x2－mx＋2m－3，（－∞，6]

12345678910111213141516

1234567891011121314151612.

（2025·陽(yáng)泉一模）一般地，把b－a稱為區(qū)間（a，b）的“長(zhǎng)度”.

已知關(guān)于x的不等式x2－kx＋2k＜0有實(shí)數(shù)解，且解集區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)3個(gè)

單位長(zhǎng)度，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

?.

[－1，0）∪（8，9]

12345678910111213141516四、解答題13.

已知a，b，c∈R，關(guān)于x的不等式bx2－3x＋2＞0的解集為{x｜x＜

1或x＞c}.（1）求b，c的值；

12345678910111213141516（2）解關(guān)于x的不等式ax2－（ac＋b）x＋bc＜0.解：由（1）知不等式ax2－（ac＋b）x＋bc＜0為ax2－（2a＋1）

x＋2＜0，即（ax－1）（x－2）＜0.①當(dāng)