第6節(jié)雙曲線高中總復習·數(shù)學課標要求（1）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程；（2）掌握雙曲線的幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率）；（3）了解雙曲線的簡單應用.目錄CONTENTS知識點一雙曲線的定義01.知識點二雙曲線的標準方程02.知識點三雙曲線的幾何性質(zhì)03.課時跟蹤檢測04.PART01知識點一雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的

?等于非零常數(shù)

（

｜F1F2｜）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線

的

，兩焦點間的距離叫做雙曲線的

?.絕對值

小于

焦點

焦距

提醒

（1）若將“小于｜F1F2｜”改為“等于｜F1F2｜”，其余條件不

變，此時動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線（包括端點）；若將其

改為“大于｜F1F2｜”，其余條件不變，此時動點軌跡不存在；（2）若

將絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡是雙曲線的一支；（3）若

將“等于非零常數(shù)”改為“等于零”，則此時動點的軌跡是線段F1F2的垂

直平分線.結論

（1）若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦

點，則｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a；

（1）〔多選〕（2025·邵陽模擬）已知點P為定圓O上的動點，點

A為圓O所在平面上異于點O的定點，線段AP的垂直平分線交直線OP于

點Q，則點Q的軌跡可能是（

ACD

）A.

一個點B.

直線ACD解析：

分以下幾種情況討論：設定圓O的半徑為R，①當點A在圓O

上，連接OA（圖略），則｜OA｜＝｜OP｜，所以點O在線段AP的垂直

平分線上，由垂直平分線的性質(zhì)可知｜AQ｜＝｜PQ｜.又因為點Q是線

段AP的垂直平分線與OP的公共點，此時點Q與點O重合，此時，點Q的

軌跡為圓心O，故A正確；②當點A在圓O內(nèi)，且點A不與圓心O重合，C.

橢圓D.

雙曲線連接AQ（圖略），由垂直平分線的性質(zhì)可得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜

QA｜＋｜QO｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝R＞｜OA｜，此時，

點Q的軌跡是以點A，O為焦點，且長軸長為R的橢圓，故C正確；③當點A在圓O外，連接AQ（圖略），由垂直平分線的性質(zhì)可得｜QA｜

＝｜QP｜，所以｜｜QA｜－｜QO｜｜＝｜｜QP｜－｜QO｜｜＝｜

OP｜＝R＜｜OA｜，此時，點Q的軌跡是以點A，O為焦點，且實軸長

為R的雙曲線，故D正確.（2）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，

∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為

?.

規(guī)律方法1.

在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合｜｜PF1｜

－｜PF2｜｜＝2a，運用平方的方法，建立與｜PF1｜·｜PF2｜的聯(lián)系.2.

與雙曲線兩焦點有關的問題常利用定義求解.3.

如果題設條件涉及動點到兩定點的距離，求軌跡方程時可考慮能否應用

定義求解.練1（1）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓

M同時與圓C1和圓C2外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

C

）A.

x2－

＝1B.

－y2＝1C.

x2－

＝1（x≤－1）D.

x2－

＝1（x≥1）C

A.1B.3C解析：由題意得2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a

＝2.根據(jù)雙曲線定義可得｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，即｜5－｜

MF2｜｜＝4，解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9.當｜MF2｜＝1時，｜

MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8，不滿足題意，故舍去，當｜MF2｜＝9時，｜

MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，滿足題意.所以｜MF2｜＝9.C.9D.1或9PART02知識點二雙曲線的標準方程知識點二雙曲線的標準方程標準方程

－

＝1（a＞0，b＞0）中心在原點，焦點在x軸上

－

＝1（a＞0，b＞0）中心在原點，焦點在y軸上圖形

提醒

焦點在哪個軸上，方程中對應項系數(shù)為正，另一項為負，且c2＝a2＋

b2，c＞a＞0，c＞b＞0.

A.

－

＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1B

A.

－

＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1C

規(guī)律方法求雙曲線的標準方程的方法（1）定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，

從而求出a2，b2；

A.

x2－

＝1B.

y2－

＝1C.

x2－

＝1D.

y2－

＝1B

A.

－

＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1D

PART03知識點三雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程

－

＝1（a＞0，b＞0）

－

＝1（a＞0，b＞0）性

質(zhì)圖形

焦點

?

?

?焦距｜F1F2｜＝

?范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：

?F1（－c，0），F(xiàn)2（c，

0）F1（0，－c），F(xiàn)2（0，

c）2c

原點

標準方程

－

＝1（a＞0，b＞0）

－

＝1（a＞0，b＞0）性

質(zhì)頂點A1（－a，0），A2（a，0）A1（0，－a），A2（0，a）軸實軸：線段

，長：

；虛軸：線

段

，長：

；實半軸長：

，虛半軸

長：

?離心率e＝

∈

漸近線y＝

?y＝

?A1A2

2a

B1B2

2b

a

b

（1，＋∞）

角度1

漸近線

A.

y＝±

xB.

y＝±

xC.

y＝±

xD.

y＝±

xB

A.

x2－y2＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1B

規(guī)律方法求雙曲線漸近線方程的方法（1）求雙曲線中a，b的值，進而得出雙曲線的漸近線方程；（2）求a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程；（3）令雙曲線標準方程右側(cè)為0，將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近

線方程.提醒

兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關于x

軸，y軸對稱.角度2

離心率

A.2或

B.

C.

D.

或2A

規(guī)律方法求雙曲線離心率的兩種方法練3（1）（2024·全國甲卷理5題）已知雙曲線的兩個焦點分別為（0，

4），（0，－4），點（－6，4）在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為

（

C

）A.4B.3C.2D.

C

A.

雙曲線C的實軸長為定值B.

雙曲線C的焦點在y軸上C.

雙曲線C的離心率為定值D.

雙曲線C的漸近線方程為y＝±

xBCD

提能點與雙曲線有關的最值（范圍）問題

A.

（－

，

）B.

（0，

）C.

（－

，

）D.

（0，

）C

A.

（0，

）B.

（1，

）C.

（0，

）D.

（1，

）B

規(guī)律方法與雙曲線有關的最值（范圍）問題的解題方法（1）幾何法：若題目中的待求量有明顯的幾何特征，則考慮利用雙曲線

的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理等知識確定極端位置后數(shù)形結合

求解；（2）代數(shù)法：①構建函數(shù)法：若題目中的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的

函數(shù)關系，則可先引入變量構建以待求量為因變量的函數(shù)，再求這個函數(shù)

的最值；②構建不等式法：利用已知或隱含的不等關系，構建以待求量為

元的不等式求解.

A.

B.

C.

D.

√

PART04課時跟蹤檢測

A.

－2＜m＜1B.

m＞1C.

m＜－2D.

－1＜m＜2

12345678910111213141516√2.

（2025·榆林模擬）江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達到了

頂峰，它藍白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現(xiàn)有某青花瓷花瓶的

外形可看成是焦點在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲

面，如圖所示.若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是

8，瓶高是6，則該雙曲線的標準方程是（

）A.

－

＝1B.

－y2＝1C.

－

＝1D.

－

＝1√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

B.2C.

D.3

√12345678910111213141516

A.

B.3√C.

D.2

12345678910111213141516

A.

－

＝1（x＜－2）B.

－

＝1（x＞2）C.

－

＝1（x＜－2）D.

－

＝1（x＞2）√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.16B.18C.8＋4

D.9＋

√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

y＝±

xB.

y＝±

xC.

y＝±

xD.

y＝±

x√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項選擇題8.

已知曲線C：y｜y｜＝4x｜x｜＋4，則（

）A.

曲線C在第一象限為雙曲線的一部分B.

曲線C的圖象關于原點對稱C.

直線y＝2x與曲線C沒有交點D.

存在過原點的直線與曲線C有三個交點√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

C的方程為

－x2＝1B.

C的離心率為2C.

若點A（x0，y0）為雙曲線C上支上的任意一點，P（2，0），則｜

PA｜＋｜AF2｜的最小值為2

D.

若點M（2

，t）為雙曲線C上支上的一點，則△MF1F2的內(nèi)切圓面

積為2π√