第6節(jié)雙曲線(xiàn)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）掌握雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、漸近線(xiàn)、離心率）；（3）了解雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一雙曲線(xiàn)的定義01.知識(shí)點(diǎn)二雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程02.知識(shí)點(diǎn)三雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)03.課時(shí)跟蹤檢測(cè)04.PART01知識(shí)點(diǎn)一雙曲線(xiàn)的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的

?等于非零常數(shù)

（

｜F1F2｜）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn).這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)

的

，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的

?.絕對(duì)值

小于

焦點(diǎn)

焦距

提醒

（1）若將“小于｜F1F2｜”改為“等于｜F1F2｜”，其余條件不

變，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)（包括端點(diǎn)）；若將其

改為“大于｜F1F2｜”，其余條件不變，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；（2）若

將絕對(duì)值去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支；（3）若

將“等于非零常數(shù)”改為“等于零”，則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F2的垂

直平分線(xiàn).結(jié)論

（1）若P是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦

點(diǎn)，則｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a；

（1）〔多選〕（2025·邵陽(yáng)模擬）已知點(diǎn)P為定圓O上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

A為圓O所在平面上異于點(diǎn)O的定點(diǎn)，線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)OP于

點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡可能是（

ACD

）A.

一個(gè)點(diǎn)B.

直線(xiàn)ACD解析：

分以下幾種情況討論：設(shè)定圓O的半徑為R，①當(dāng)點(diǎn)A在圓O

上，連接OA（圖略），則｜OA｜＝｜OP｜，所以點(diǎn)O在線(xiàn)段AP的垂直

平分線(xiàn)上，由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知｜AQ｜＝｜PQ｜.又因?yàn)辄c(diǎn)Q是線(xiàn)

段AP的垂直平分線(xiàn)與OP的公共點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)，點(diǎn)Q的

軌跡為圓心O，故A正確；②當(dāng)點(diǎn)A在圓O內(nèi)，且點(diǎn)A不與圓心O重合，C.

橢圓D.

雙曲線(xiàn)連接AQ（圖略），由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜

QA｜＋｜QO｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝R＞｜OA｜，此時(shí)，

點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)A，O為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為R的橢圓，故C正確；③當(dāng)點(diǎn)A在圓O外，連接AQ（圖略），由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得｜QA｜

＝｜QP｜，所以｜｜QA｜－｜QO｜｜＝｜｜QP｜－｜QO｜｜＝｜

OP｜＝R＜｜OA｜，此時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)A，O為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)

為R的雙曲線(xiàn)，故D正確.（2）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，

∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為

?.

規(guī)律方法1.

在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合｜｜PF1｜

－｜PF2｜｜＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與｜PF1｜·｜PF2｜的聯(lián)系.2.

與雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題常利用定義求解.3.

如果題設(shè)條件涉及動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離，求軌跡方程時(shí)可考慮能否應(yīng)用

定義求解.練1（1）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，動(dòng)圓

M同時(shí)與圓C1和圓C2外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

C

）A.

x2－

＝1B.

－y2＝1C.

x2－

＝1（x≤－1）D.

x2－

＝1（x≥1）C

A.1B.3C解析：由題意得2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a

＝2.根據(jù)雙曲線(xiàn)定義可得｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，即｜5－｜

MF2｜｜＝4，解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9.當(dāng)｜MF2｜＝1時(shí)，｜

MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8，不滿(mǎn)足題意，故舍去，當(dāng)｜MF2｜＝9時(shí)，｜

MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，滿(mǎn)足題意.所以｜MF2｜＝9.C.9D.1或9PART02知識(shí)點(diǎn)二雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)二雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程

－

＝1（a＞0，b＞0）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上

－

＝1（a＞0，b＞0）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形

提醒

焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，方程中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)為正，另一項(xiàng)為負(fù)，且c2＝a2＋

b2，c＞a＞0，c＞b＞0.

A.

－

＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1B

A.

－

＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1C

規(guī)律方法求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(xiàn)，確定2a，2b或2c，

從而求出a2，b2；

A.

x2－

＝1B.

y2－

＝1C.

x2－

＝1D.

y2－

＝1B

A.

－

＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1D

PART03知識(shí)點(diǎn)三雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程

－

＝1（a＞0，b＞0）

－

＝1（a＞0，b＞0）性

質(zhì)圖形

焦點(diǎn)

?

?

?焦距｜F1F2｜＝

?范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：

?F1（－c，0），F(xiàn)2（c，

0）F1（0，－c），F(xiàn)2（0，

c）2c

原點(diǎn)

標(biāo)準(zhǔn)方程

－

＝1（a＞0，b＞0）

－

＝1（a＞0，b＞0）性

質(zhì)頂點(diǎn)A1（－a，0），A2（a，0）A1（0，－a），A2（0，a）軸實(shí)軸：線(xiàn)段

，長(zhǎng)：

；虛軸：線(xiàn)

段

，長(zhǎng)：

；實(shí)半軸長(zhǎng)：

，虛半軸

長(zhǎng)：

?離心率e＝

∈

漸近線(xiàn)y＝

?y＝

?A1A2

2a

B1B2

2b

a

b

（1，＋∞）

角度1

漸近線(xiàn)

A.

y＝±

xB.

y＝±

xC.

y＝±

xD.

y＝±

xB

A.

x2－y2＝1B.

－

＝1C.

－

＝1D.

－

＝1B

規(guī)律方法求雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程的方法（1）求雙曲線(xiàn)中a，b的值，進(jìn)而得出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；（2）求a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；（3）令雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程右側(cè)為0，將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近

線(xiàn)方程.提醒

兩條漸近線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線(xiàn)關(guān)于x

軸，y軸對(duì)稱(chēng).角度2

離心率

A.2或

B.

C.

D.

或2A

規(guī)律方法求雙曲線(xiàn)離心率的兩種方法練3（1）（2024·全國(guó)甲卷理5題）已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（0，

4），（0，－4），點(diǎn)（－6，4）在該雙曲線(xiàn)上，則該雙曲線(xiàn)的離心率為

（

C

）A.4B.3C.2D.

C

A.

雙曲線(xiàn)C的實(shí)軸長(zhǎng)為定值B.

雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在y軸上C.

雙曲線(xiàn)C的離心率為定值D.

雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y＝±

xBCD

提能點(diǎn)與雙曲線(xiàn)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題

A.

（－

，

）B.

（0，

）C.

（－

，

）D.

（0，

）C

A.

（0，

）B.

（1，

）C.

（0，

）D.

（1，

）B

規(guī)律方法與雙曲線(xiàn)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題的解題方法（1）幾何法：若題目中的待求量有明顯的幾何特征，則考慮利用雙曲線(xiàn)

的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理等知識(shí)確定極端位置后數(shù)形結(jié)合

求解；（2）代數(shù)法：①構(gòu)建函數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的

函數(shù)關(guān)系，則可先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)

的最值；②構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為

元的不等式求解.

A.

B.

C.

D.

√

PART04課時(shí)跟蹤檢測(cè)

A.

－2＜m＜1B.

m＞1C.

m＜－2D.

－1＜m＜2

12345678910111213141516√2.

（2025·榆林模擬）江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達(dá)到了

頂峰，它藍(lán)白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現(xiàn)有某青花瓷花瓶的

外形可看成是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲

面，如圖所示.若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是

8，瓶高是6，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A.

－

＝1B.

－y2＝1C.

－

＝1D.

－

＝1√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

B.2C.

D.3

√12345678910111213141516

A.

B.3√C.

D.2

12345678910111213141516

A.

－

＝1（x＜－2）B.

－

＝1（x＞2）C.

－

＝1（x＜－2）D.

－

＝1（x＞2）√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.16B.18C.8＋4

D.9＋

√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

y＝±

xB.

y＝±

xC.

y＝±

xD.

y＝±

x√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

已知曲線(xiàn)C：y｜y｜＝4x｜x｜＋4，則（

）A.

曲線(xiàn)C在第一象限為雙曲線(xiàn)的一部分B.

曲線(xiàn)C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.

直線(xiàn)y＝2x與曲線(xiàn)C沒(méi)有交點(diǎn)D.

存在過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C有三個(gè)交點(diǎn)√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

C的方程為

－x2＝1B.

C的離心率為2C.

若點(diǎn)A（x0，y0）為雙曲線(xiàn)C上支上的任意一點(diǎn)，P（2，0），則｜

PA｜＋｜AF2｜的最小值為2

D.

若點(diǎn)M（2

，t）為雙曲線(xiàn)C上支上的一點(diǎn)，則△MF1F2的內(nèi)切圓面

積為2π√