重難專攻（八）立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點(diǎn)解讀立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題是新高考立體幾何問(wèn)題中最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的點(diǎn)、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.一般涉及到求動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題及由動(dòng)點(diǎn)引起的線、面、幾何體變化中的某些幾何量的最值（范圍）問(wèn)題.求解該類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確辨析動(dòng)與不動(dòng)，利用解析法、函數(shù)、不等式及幾何圖形中的極端位置解決.目錄CONTENTS提能點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題01.提能點(diǎn)2折展過(guò)程中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題02.提能點(diǎn)3最值（范圍）問(wèn)題03.課時(shí)跟蹤檢測(cè)04.PART01提能點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題

（1）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6，S是△ABC及其內(nèi)部的

點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T＝{Q∈S｜PQ≤5}，則T表示的區(qū)域的面積為

（

B

）A.

B.πC.2πD.3πB

（2）如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面△SCD

內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持PE∥平面SBD，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與

△SCD組成的相關(guān)圖形最有可能是圖中的（

A

）A解析：

圖，分別取CD，SC的中點(diǎn)M，N，連接MN，ME，NE.

因?yàn)镋

是BC的中點(diǎn)，所以EM∥BD，EN∥SB.

又因?yàn)镋M，EN?平面SBD，

BD，SB?平面SBD，所以EM∥平面SBD，EN∥平面SBD.

又因?yàn)?/p>

EM∩EN＝E，EM，EN?平面EMN，所以平面EMN∥平面SBD，所以

當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上移動(dòng)時(shí)，PE?平面EMN，此時(shí)能夠保持PE∥平面

SBD，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形是A.

規(guī)律方法解決動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的方法（1）幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定；（2）定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問(wèn)題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替

法進(jìn)行計(jì)算；（3）特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長(zhǎng)度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.

A.πB.2πC.4πD.

2

πC

（2）〔多選〕（2025·東營(yíng)一模）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為

4，M為DD1的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是

（

ACD

）ACDA.

若MN與平面ABCD所成的角為

，則點(diǎn)N的軌跡為圓B.

若MN＝4，則MN的中點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為2πC.

若點(diǎn)N到直線BB1與直線DC的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線D.

若D1N與AB所成的角為

，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線

PART02提能點(diǎn)2折展過(guò)程中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

〔多選〕（2025·岳陽(yáng)一模）已知平面四邊形ABCD，△BCD是以

BD為斜邊的等腰直角三角形，△ABD為等邊三角形，BD＝2，將△ABD

沿對(duì)角線BD翻折到△PBD的位置.在翻折的過(guò)程中，下列結(jié)論中正確的是

（

）A.

BD⊥PCB.

DP與BC可能垂直C.

直線DP與平面BCD所成角的最大值是45°D.

四面體PBCD的體積的最大值是

√√√

規(guī)律方法

畫好折疊、展開前后的平面圖形與立體圖形，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：不變

的線線關(guān)系、不變的數(shù)量關(guān)系.練2

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD.

現(xiàn)將△ABC沿對(duì)角線AC向上折疊，

連接BD.

問(wèn)：（1）若折疊前BD不垂直于AC，則在折疊過(guò)程中是否能使BD⊥AC？請(qǐng)

給出證明；解：假設(shè)折疊過(guò)程中能使BD⊥AC.

①折疊前，BD不垂直于AC，若DE⊥AC，E為垂足，連

接BE，則BE與AC不垂直.②折疊后，如圖1，若BD⊥AC，DE⊥AC不變，又BD與

DE是平面BDE內(nèi)的相交直線，故AC⊥平面BDE.

又BE?平面BDE，從而有AC⊥BE，根據(jù)折疊不變性，折疊前也應(yīng)有AC⊥BE.

顯然①與②矛盾，故假設(shè)不能成立，即折疊過(guò)程中不能使

BD⊥AC.

（2）若梯形ABCD為等腰梯形，AB＝3，CD＝5，折疊前AC⊥BD，求

當(dāng)折疊至平面ADC垂直于平面ABC時(shí)，二面角A-BD-C的余弦值.

PART03提能點(diǎn)3

最值（范圍）問(wèn)題

〔多選〕（2025·保定模擬）如圖，AC為圓錐SO的底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的動(dòng)點(diǎn)，SO＝OC＝2，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

圓錐SO的側(cè)面積為2

πB.

三棱錐S-ABC體積的最大值為

C.

∠SAB的取值范圍是（

，

）D.

若AB＝BC，E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則SE＋CE的最小值為2（

＋

1）√√

規(guī)律方法

在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中產(chǎn)生的體積最大（小）、距離最大（小）、角的范

圍等問(wèn)題，常用的解題思路是：（1）直觀判斷：在變化過(guò)程中判斷點(diǎn)、線、面在何位置時(shí)，所求的量有

相應(yīng)最大、最小值；（2）函數(shù)思想：通過(guò)建系或引入變量，把這類動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函

數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值.練3（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1＝2AB＝2.點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，若A1C⊥平面BDP，則點(diǎn)P到CD的距離的最小值為（

B

）A.

B.

C.

D.

B

（2）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P，Q分別在底面ABCD，棱AA1上運(yùn)動(dòng)，且PQ＝4，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，則線段C1M的長(zhǎng)度的最小值為

?.

PART04課時(shí)跟蹤檢測(cè)1.

如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)

點(diǎn)P滿足∠PAB＝30°，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A.

直線B.拋物線C.

橢圓D.

雙曲線的一支解析：

由題可知，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間中，滿足條件的AP繞AB

旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐，用一個(gè)與圓錐高成60°角的平面截圓錐，所得圖

形為橢圓.123456789101112√

√123456789101112

1234567891011123.

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M為A1C1的中點(diǎn)，N為側(cè)面BCC1B1

上的一點(diǎn)，且MN∥平面ABC1，若點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為2，則（

）A.

AC1＝4B.

BC1＝4C.

AB1＝6D.

B1C＝6√123456789101112

123456789101112

A.

B.

C.

D.

√解析：

分別取BC，B1C1的中點(diǎn)D，D1，連接DD1，則

DD1∥BB1，即DD1⊥平面ABC，連接AD，因?yàn)锳B＝AC，

所以AD⊥BC，分別以DA，DB，DD1所在直線為x，y，

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，123456789101112

123456789101112

A.

B.

C.

D.

√123456789101112

1234567891011126.

〔多選〕（2025·濟(jì)南模擬）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的各頂點(diǎn)均

在表面積為12π的球面上，P為該球面上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A.

存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得PA∥平面A1B1C1D1B.

當(dāng)平面PAA1⊥平面CB1D1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2πC.

當(dāng)PA∥平面A1B1CD時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2πD.

存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得平面PAD⊥平面PBC√√√123456789101112

123456789101112

1234567891011127.

〔多選〕a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的

直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則

下列結(jié)論中正確的是（

）A.

當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角B.

當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角C.

直線AB與a所成角的最小值為45°D.

直線AB與a所成角的最大值為60°√√123456789101112

123456789101112

123456789101112

1234567891011128.

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，P是面對(duì)角線BC1上一動(dòng)

點(diǎn)，Q是底面ABCD（含邊界）內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則D1P＋PQ的最小值為

?

.

＋2123456789101112

1234567891011129.

在四面體ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，則四面體ABCD體積

的最大值是

?.

123456789101112

123456789101112

123456789101112

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，V（x）取得最大值？123456789101112

123456789101112

123456789101112（2）當(dāng)V（x