師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)章節(jié)知識(shí)點(diǎn)梳理上冊(cè)第一章特殊平行四邊形本章核心：通過(guò)平行四邊形的特殊化（鄰邊相等、角為直角），研究菱形、矩形、正方形的性質(zhì)與判定，建立特殊四邊形的邏輯體系。1.1菱形的性質(zhì)與判定（1）菱形的定義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（菱形是特殊的平行四邊形）。（2）菱形的性質(zhì)邊：四條邊相等；對(duì)邊平行。角：對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)。對(duì)角線：互相垂直平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。對(duì)稱性：既是軸對(duì)稱圖形（兩條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸），又是中心對(duì)稱圖形（對(duì)角線交點(diǎn)為對(duì)稱中心）。（3）菱形的判定定理定義法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。邊判定：四條邊相等的四邊形是菱形。對(duì)角線判定：對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形（或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形是菱形）。1.2矩形的性質(zhì)與判定（1）矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形（矩形是特殊的平行四邊形）。（2）矩形的性質(zhì)邊：對(duì)邊平行且相等。角：四個(gè)角都是直角。對(duì)角線：相等且互相平分。對(duì)稱性：既是軸對(duì)稱圖形（對(duì)邊中點(diǎn)連線所在直線為對(duì)稱軸，共2條），又是中心對(duì)稱圖形（對(duì)角線交點(diǎn)為對(duì)稱中心）。（3）矩形的判定定理定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。角判定：三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。對(duì)角線判定：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或?qū)蔷€相等且互相平分的四邊形是矩形）。1.3正方形的性質(zhì)與判定（1）正方形的定義有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形）。（2）正方形的性質(zhì)邊：四條邊相等；對(duì)邊平行。角：四個(gè)角都是直角。對(duì)角線：相等、互相垂直平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。對(duì)稱性：既是軸對(duì)稱圖形（四條對(duì)稱軸：兩條對(duì)角線、兩組對(duì)邊中點(diǎn)連線），又是中心對(duì)稱圖形（對(duì)角線交點(diǎn)為對(duì)稱中心）。（3）正方形的判定定理兩步法：先證矩形再證鄰邊相等，或先證菱形再證直角。直接法：四條邊相等且四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形。（4）特殊平行四邊形的關(guān)系\[\text{平行四邊形}\begin{cases}\text{菱形}\rightarrow\text{正方形}\\\text{矩形}\rightarrow\text{正方形}\end{cases}\]第二章一元二次方程本章核心：掌握一元二次方程的解法，理解根的判別式與根的關(guān)系，運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題。2.1一元二次方程的定義與解法（1）一元二次方程的定義只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程。（2）一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)為常數(shù)）。（3）解法直接開(kāi)平方法：適用形如\(x^2=a\)或\((x+m)^2=n\)的方程。配方法：適用所有方程，步驟為移項(xiàng)、配方、開(kāi)平方、求解。公式法：通用解法，求根公式為\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（需計(jì)算判別式\(\Delta=b^2-4ac\)）。因式分解法：適用左邊能分解為兩個(gè)一次因式乘積的方程（如\((x-p)(x-q)=0\)）。2.2根的判別式定義：\(\Delta=b^2-4ac\)（\(a\neq0\)）。與根的關(guān)系：\(\Delta>0\)（兩不等實(shí)根）、\(\Delta=0\)（兩相等實(shí)根）、\(\Delta<0\)（無(wú)實(shí)根）。2.3根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）內(nèi)容：若\(x_1\)、\(x_2\)是\(ax^2+bx+c=0\)的根，則\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)（需\(\Delta\geq0\)）。應(yīng)用：已知一根求另一根、求根的對(duì)稱式（如\(x_1^2+x_2^2\)）。2.4一元二次方程的應(yīng)用常見(jiàn)題型：增長(zhǎng)率問(wèn)題（\(a(1+r)^n\)）、面積問(wèn)題（圖形拼接）、利潤(rùn)問(wèn)題（利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷(xiāo)量）。解題步驟：設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)、寫(xiě)答案。第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)本章核心：通過(guò)試驗(yàn)頻率估計(jì)概率，用樹(shù)狀圖與列表法計(jì)算復(fù)雜事件的概率。3.1用頻率估計(jì)概率頻率與概率的關(guān)系：試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，頻率穩(wěn)定在概率附近（大數(shù)定律）。估計(jì)方法：多次重復(fù)試驗(yàn)，計(jì)算事件發(fā)生的頻率。3.2樹(shù)狀圖與列表法樹(shù)狀圖：適用于兩步及以上試驗(yàn)（如摸球兩次），展示所有可能結(jié)果。列表法：適用于兩步試驗(yàn)（如擲兩枚骰子），用表格列出所有結(jié)果。概率計(jì)算：\(P(A)=\frac{\text{事件}A\text{包含的結(jié)果數(shù)}}{\text{所有可能的結(jié)果數(shù)}}\)。3.3概率的應(yīng)用游戲公平性：雙方獲勝概率相等則公平（如擲骰子，奇數(shù)甲贏、偶數(shù)乙贏）。決策問(wèn)題：選擇概率高的方案（如抽獎(jiǎng)活動(dòng)選中獎(jiǎng)概率高的獎(jiǎng)項(xiàng)）。第四章圖形的相似本章核心：理解相似圖形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用相似解決測(cè)量問(wèn)題。4.1相似圖形的定義與性質(zhì)相似圖形：形狀相同、大小不一定相同的圖形（如照片縮放）。相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例（相似比\(k\)）；周長(zhǎng)比等于\(k\)，面積比等于\(k^2\)。4.2相似三角形的判定AA相似：兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似（最常用）。SAS相似：兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的三角形相似。SSS相似：三組邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似。4.3相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)線段的比：對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比等于\(k\)。周長(zhǎng)比：等于\(k\)。面積比：等于\(k^2\)。4.4位似變換位似圖形：相似且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于位似中心、對(duì)應(yīng)邊平行的圖形。坐標(biāo)表示：位似中心為原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)\((x,y)\)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為\((kx,ky)\)（同向）或\((-kx,-ky)\)（反向）。第五章投影與視圖本章核心：理解投影類型（平行投影、中心投影），掌握三視圖的畫(huà)法與還原。5.1投影平行投影：平行光線（如太陽(yáng)光）形成的投影，同一時(shí)刻物體高度與影長(zhǎng)成正比（\(\frac{h_1}{h_2}=\frac{l_1}{l_2}\)）。中心投影：點(diǎn)光源（如燈光）形成的投影，物體高度與影長(zhǎng)不成正比（對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于光源）。5.2三視圖定義：主視圖（正面看，反映長(zhǎng)和高）、俯視圖（上面看，反映長(zhǎng)和寬）、左視圖（左面看，反映寬和高）。畫(huà)法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等。還原幾何體：結(jié)合三視圖的形狀與尺寸，推斷幾何體的形狀（如主視圖為矩形、俯視圖為圓，則為圓柱）。下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系本章核心：定義銳角三角函數(shù)，掌握特殊角的三角函數(shù)值，應(yīng)用三角函數(shù)解直角三角形。1.1銳角三角函數(shù)的定義在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)：正弦：\(\sinA=\frac{\angleA\text{的對(duì)邊}}{\text{斜邊}}\)；余弦：\(\cosA=\frac{\angleA\text{的鄰邊}}{\text{斜邊}}\)；正切：\(\tanA=\frac{\angleA\text{的對(duì)邊}}{\angleA\text{的鄰邊}}\)。1.2特殊角的三角函數(shù)值角度（°）\(\sin\alpha\)\(\cos\alpha\)\(\tan\alpha\)30\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)45\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)160\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)1.3解直角三角形依據(jù)：勾股定理（\(a^2+b^2=c^2\)）、三角函數(shù)關(guān)系、兩銳角互余（\(\angleA+\angleB=90^\circ\)）。類型：已知兩邊（兩直角邊、直角邊與斜邊）、已知一邊一角（直角邊與銳角、斜邊與銳角）。1.4三角函數(shù)的應(yīng)用仰角與俯角：視線與水平線的夾角（仰角向上，俯角向下）。坡度與坡角：坡度\(i=\frac{\text{垂直高度}}{\text{水平寬度}}=\tan\alpha\)（\(\alpha\)為坡角）。方向角：以正北/正南為基準(zhǔn)（如北偏東30°）。解題步驟：構(gòu)造直角三角形、標(biāo)注已知量、選擇三角函數(shù)求解。第二章二次函數(shù)本章核心：理解二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的平移、與一元二次方程的關(guān)系，應(yīng)用二次函數(shù)求最值。2.1二次函數(shù)的定義與表達(dá)式定義：形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的函數(shù)。表達(dá)式：一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（求系數(shù)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)）；頂點(diǎn)式：\(y=a(x-h)^2+k\)（求頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值）；交點(diǎn)式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（求與\(x\)軸交點(diǎn)）。2.2二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)圖像：拋物線（軸對(duì)稱圖形）。開(kāi)口方向：\(a>0\)開(kāi)口向上（有最小值），\(a<0\)開(kāi)口向下（有最大值）。頂點(diǎn)坐標(biāo)：一般式為\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)，頂點(diǎn)式為\((h,k)\)。對(duì)稱軸：直線\(x=-\frac{2a}\)（一般式）或\(x=h\)（頂點(diǎn)式）。增減性：開(kāi)口向上時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)\(y\)隨\(x\)增大而減小，右側(cè)增大；開(kāi)口向下時(shí)相反。2.3二次函數(shù)的平移規(guī)律：左加右減（\(x\)的變化）、上加下減（\(y\)的變化）（如\(y=ax^2\)向左平移2個(gè)單位得\(y=a(x+2)^2\)）。2.4二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系拋物線與\(x\)軸的交點(diǎn)：令\(y=0\)，得\(ax^2+bx+c=0\)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根。交點(diǎn)個(gè)數(shù)：\(\Delta>0\)（兩交點(diǎn)）、\(\Delta=0\)（一交點(diǎn)）、\(\Delta<0\)（無(wú)交點(diǎn)）。2.5二次函數(shù)的應(yīng)用最值問(wèn)題：利潤(rùn)問(wèn)題（利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷(xiāo)量）、面積問(wèn)題（矩形面積）。拋物線運(yùn)動(dòng)：物體平拋/斜拋的軌跡（如\(h=-gt^2+v_0t+h_0\)）。第三章圓本章核心：理解圓的基本概念與對(duì)稱性，掌握垂徑定理、圓周角定理、切線的性質(zhì)與判定，應(yīng)用弧長(zhǎng)與扇形面積公式。3.1圓的基本概念圓：到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合?；驹兀喊霃剑╘(r\)）、直徑（\(2r\)）、?。▋?yōu)弧、劣?。?、弦（直徑是最長(zhǎng)弦）、圓心角（頂點(diǎn)在圓心）、圓周角（頂點(diǎn)在圓上）。3.2圓的對(duì)稱性軸對(duì)稱性（垂徑定理）：垂直于弦的直徑平分弦及弦所對(duì)的弧（推論：平分弦的直徑垂直于弦）。中心對(duì)稱性：圓是中心對(duì)稱圖形（圓心為對(duì)稱中心）。3.3圓周角定理定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半（\(\angleACB=\frac{1}{2}\angleAOB\)）。推論：同弧所對(duì)的圓周角相等；半圓所對(duì)的圓周角是直角（\(90^\circ\)）；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。3.4切線的性質(zhì)與判定性質(zhì)：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（\(OA\perpl\)）；圓心到切線的距離等于半徑（\(d=r\)）。判定：經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線（需滿足兩個(gè)條件）。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等（\(PA=PB\)）。3.5弧長(zhǎng)與扇形面積弧長(zhǎng)公式：\(l=\frac{n\pir}{180}\)（\(n\)為圓心角度數(shù)）。扇形面積公式：\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)或\(S=\frac{1}{2}lr\)（\(l\)為弧長(zhǎng)）。3.6圓錐的側(cè)面積與全面積母線長(zhǎng)：圓錐頂點(diǎn)到底面圓周的距離（\(l\)）。側(cè)面積：\(S_{\text{側(cè)}}=\pirl\)（展開(kāi)后為扇形）。全面積：\(S_{\text{全}}=\pirl+\pir^2\)（側(cè)面積加底面積）。第四章統(tǒng)計(jì)與概率（統(tǒng)計(jì)部分）本章核心：理解數(shù)據(jù)的離散程度（方差、標(biāo)準(zhǔn)差），選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表，用樣本估計(jì)總體。4.1數(shù)據(jù)的離散程度方差：\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2]\)（衡量數(shù)據(jù)波動(dòng)大小，方差越大波動(dòng)越大）。標(biāo)準(zhǔn)差：\(s=\sqrt{s^2}\)（單位與原數(shù)據(jù)一致）。4.2統(tǒng)計(jì)圖表的選擇與應(yīng)用條形圖：顯示各組數(shù)據(jù)的數(shù)量多少（比較不同類別）。折線圖：顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)（分析增減變化）。扇形圖：顯示各組數(shù)據(jù)占總體的百分比（展示部分與總體的關(guān)系）。直方圖：顯示數(shù)據(jù)的分布情況（分析集中趨勢(shì)）。4.3用樣本估計(jì)總體