大學(xué)數(shù)學(xué)分析輔導(dǎo)講義合集引言數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)的基石，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起點。它以極限為核心工具，研究函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、可積性及級數(shù)收斂性，其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系與深刻的思想方法，不僅為后續(xù)課程（如高等代數(shù)、微分幾何、概率論）奠定基礎(chǔ)，更培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維與嚴(yán)格論證的能力。本講義合集遵循“基礎(chǔ)鋪墊—核心定理—應(yīng)用拓展”的邏輯，覆蓋數(shù)學(xué)分析的核心內(nèi)容（實數(shù)理論、極限、微分、積分、級數(shù)、多元分析），注重概念的直觀理解與定理的嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)，同時通過典型例題與解題技巧提升實戰(zhàn)能力。適合本科低年級學(xué)生鞏固課堂知識，也可作為考研/競賽的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)資料。第一章實數(shù)理論：數(shù)學(xué)分析的邏輯起點實數(shù)是數(shù)學(xué)分析的研究對象，其完備性（即沒有“空隙”）是極限理論的前提。本節(jié)從實數(shù)的構(gòu)造出發(fā)，介紹實數(shù)的基本性質(zhì)與完備性定理。1.1實數(shù)的構(gòu)造1.1.1戴德金分割定義：將有理數(shù)集$\mathbb{Q}$劃分為兩個非空子集$A$與$A'$，滿足：$A\cupA'=\mathbb{Q}$，$A\capA'=\emptyset$；對任意$a\inA$，$a'\inA'$，有$a<a'$。這樣的劃分稱為戴德金分割，記為$(A,A')$。戴德金定理：每個戴德金分割對應(yīng)唯一的實數(shù)。若$A$有最大元或$A'$有最小元，則對應(yīng)有理數(shù)；否則對應(yīng)無理數(shù)（如$\sqrt{2}$）。1.1.2柯西序列與完備性柯西序列：若有理數(shù)序列$\{a_n\}$滿足“對任意$\varepsilon>0$，存在$N$，當(dāng)$m,n>N$時，$|a_m-a_n|<\varepsilon$”，則稱$\{a_n\}$為柯西序列。實數(shù)的完備性：有理數(shù)集$\mathbb{Q}$中的柯西序列不一定收斂于有理數(shù)（如$\{1+1/1!+1/2!+\cdots+1/n!\}$收斂于無理數(shù)$e$），而實數(shù)集$\mathbb{R}$中的每一個柯西序列都收斂于實數(shù)，這是實數(shù)與有理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。1.2實數(shù)的基本性質(zhì)1.2.1有序性與阿基米德原理有序性：對任意$a,b\in\mathbb{R}$，必有$a<b$、$a=b$、$a>b$之一成立。阿基米德原理：對任意$a,b>0$，存在自然數(shù)$n$，使得$na>b$。應(yīng)用：證明“沒有最大的實數(shù)”“沒有最小的正實數(shù)”。1.2.2確界原理（完備性核心）定義：設(shè)$S\subset\mathbb{R}$非空，若存在$M\in\mathbb{R}$，使得對所有$x\inS$，$x\leqM$，則稱$S$有上界，$M$為$S$的一個上界；同理定義下界。確界：上界中的最小值稱為上確界（記為$\supS$），下界中的最大值稱為下確界（記為$\infS$）。確界原理：非空有上界的實數(shù)集必有上確界；非空有下界的實數(shù)集必有下確界。例1：證明$\sup\{1-1/n\midn\in\mathbb{N}^*\}=1$。證明：1.對任意$n$，$1-1/n<1$，故1是上界；2.對任意$\varepsilon>0$，取$n_0=\lceil1/\varepsilon\rceil+1$，則$1-1/n_0>1-\varepsilon$，故1是最小上界。注：確界原理是實數(shù)完備性的等價描述（其他等價定理：單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理），后續(xù)極限理論的推導(dǎo)均依賴于此。第二章極限論：數(shù)學(xué)分析的核心工具極限是研究函數(shù)變化趨勢的工具，分為數(shù)列極限與函數(shù)極限，其本質(zhì)是“無限逼近”。2.1數(shù)列極限2.1.1定義（$\varepsilon-N$語言）設(shè)$\{a_n\}$為數(shù)列，$a\in\mathbb{R}$，若對任意$\varepsilon>0$，存在自然數(shù)$N$，當(dāng)$n>N$時，$|a_n-a|<\varepsilon$，則稱$\{a_n\}$收斂于$a$，記為$\lim_{n\to\infty}a_n=a$。幾何意義：當(dāng)$n$足夠大時，$a_n$全部落在$a$的$\varepsilon$鄰域$(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$內(nèi)。例2：證明$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{2n^2-n}=\frac{1}{2}$。證明：計算$|a_n-a|=\left|\frac{n^2+1}{2n^2-n}-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{2(n^2+1)-(2n^2-n)}{2(2n^2-n)}\right|=\frac{n+2}{2(2n^2-n)}$。為簡化不等式，當(dāng)$n\geq2$時，$n+2\leq2n$，$2n^2-n\geqn^2$，故$|a_n-a|\leq\frac{2n}{2n^2}=\frac{1}{n}$。對任意$\varepsilon>0$，取$N=\max\{2,\lceil1/\varepsilon\rceil\}$，當(dāng)$n>N$時，$|a_n-a|<\varepsilon$。2.1.2性質(zhì)唯一性：收斂數(shù)列的極限唯一；有界性：收斂數(shù)列必有界（反之不成立，如$\{(-1)^n\}$）；保號性：若$\lim_{n\to\infty}a_n=a>0$，則存在$N$，當(dāng)$n>N$時，$a_n>0$；四則運算：若$\lima_n=a$，$\limb_n=b$，則$\lim(a_n\pmb_n)=a\pmb$，$\lim(a_nb_n)=ab$，$\lim(a_n/b_n)=a/b$（$b\neq0$）。2.1.3收斂準(zhǔn)則夾逼定理：若$a_n\leqb_n\leqc_n$，且$\lima_n=\limc_n=a$，則$\limb_n=a$；單調(diào)有界定理：單調(diào)遞增有上界的數(shù)列必收斂；單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必收斂（由確界原理證明）；柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列$\{a_n\}$收斂當(dāng)且僅當(dāng)對任意$\varepsilon>0$，存在$N$，當(dāng)$m,n>N$時，$|a_m-a_n|<\varepsilon$（完備性的數(shù)列形式）。例3：用單調(diào)有界定理證明$\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e$。證明：1.單調(diào)性：設(shè)$a_n=(1+1/n)^n$，由二項式定理展開：$a_n=1+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}<1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}<1+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k!}=e$（有上界）；又$a_{n+1}=(1+1/(n+1))^{n+1}>(1+1/(n+1))^n\cdot(1+1/(n+1))>(1+1/n)^n=a_n$（單調(diào)遞增）。2.由單調(diào)有界定理，$\{a_n\}$收斂，記極限為$e$（$e\approx2.____$）。2.2函數(shù)極限2.2.1定義（$\varepsilon-\delta$語言）設(shè)函數(shù)$f(x)$在$x_0$的某去心鄰域內(nèi)有定義，$A\in\mathbb{R}$，若對任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，當(dāng)$0<|x-x_0|<\delta$時，$|f(x)-A|<\varepsilon$，則稱$f(x)$在$x\tox_0$時收斂于$A$，記為$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$。推廣：左極限：$x\tox_0^-$，即$x<x_0$且$x\tox_0$；右極限：$x\tox_0^+$，即$x>x_0$且$x\tox_0$；無窮遠處極限：$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$（類似$\varepsilon-N$語言，將$0<|x-x_0|<\delta$改為$x>M$）。例4：證明$\lim_{x\to2}(3x+1)=7$。證明：$|f(x)-A|=|3x+1-7|=3|x-2|$，對任意$\varepsilon>0$，取$\delta=\varepsilon/3$，當(dāng)$0<|x-2|<\delta$時，$|f(x)-7|<\varepsilon$。2.2.2重要極限第一重要極限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$（幾何意義：單位圓中扇形面積與三角形面積的逼近）；第二重要極限：$\lim_{x\to\infty}(1+1/x)^x=e$（數(shù)列極限的推廣）。例5：計算$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$。解：利用三角恒等式$1-\cosx=2\sin^2(x/2)$，則$\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}=2\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2\cdot\frac{1}{4}=2\cdot1^2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。2.2.3無窮小量與無窮大量無窮小量：極限為0的函數(shù)（如$x\to0$時，$\sinx$、$x^2$）；無窮大量：絕對值無限增大的函數(shù)（如$x\to0$時，$1/x$；$x\to+\infty$時，$x^2$）；階的比較：設(shè)$\alpha(x),\beta(x)$為無窮小量，若$\lim\alpha/\beta=0$，則$\alpha$是$\beta$的高階無窮?。ㄓ洖?\alpha=o(\beta)$）；若$\lim\alpha/\beta=c\neq0$，則$\alpha$與$\beta$同階無窮?。蝗?\lim\alpha/\beta=1$，則$\alpha$與$\beta$等價無窮?。ㄓ洖?\alpha\sim\beta$）。等價無窮小替換定理：若$\alpha\sim\alpha'$，$\beta\sim\beta'$，則$\lim\alpha/\beta=\lim\alpha'/\beta'$（僅適用于乘除運算）。常用等價無窮?。?x\to0$）：$\sinx\simx$，$\tanx\simx$，$\ln(1+x)\simx$，$e^x-1\simx$，$1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2$，$\sqrt{1+x}-1\sim\frac{1}{2}x$。第三章一元函數(shù)微分學(xué)：變化率的精確描述微分學(xué)研究函數(shù)的局部變化性，核心概念是導(dǎo)數(shù)（瞬時變化率）與微分（線性逼近）。3.1導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義3.1.1定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在$x_0$的某鄰域內(nèi)有定義，若極限$\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$存在，則稱$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)，記為$f'(x_0)$或$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$。左導(dǎo)數(shù)：$f'_-(x_0)=\lim_{\Deltax\to0^-}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$；右導(dǎo)數(shù)：$f'_+(x_0)=\lim_{\Deltax\to0^+}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$?？蓪?dǎo)的充要條件：$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$。3.1.2幾何意義導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$是曲線$y=f(x)$在點$(x_0,f(x_0))$處的切線斜率，切線方程為$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。例6：求$f(x)=|x|$在$x=0$處的可導(dǎo)性。解：左導(dǎo)數(shù)：$f'_-(0)=\lim_{\Deltax\to0^-}\frac{|\Deltax|-0}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\to0^-}\frac{-\Deltax}{\Deltax}=-1$；右導(dǎo)數(shù)：$f'_+(0)=\lim_{\Deltax\to0^+}\frac{|\Deltax|-0}{\Deltax}=1$；因左、右導(dǎo)數(shù)不等，故$f(x)$在$x=0$處不可導(dǎo)（幾何意義：$y=|x|$在$x=0$處有“尖點”）。3.1.3可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理：可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)（如$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)但不可導(dǎo)）。3.2導(dǎo)數(shù)的計算3.2.1基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)：$(C)'=0$；冪函數(shù)：$(x^\alpha)'=\alphax^{\alpha-1}$（$\alpha\in\mathbb{R}$）；指數(shù)函數(shù)：$(a^x)'=a^x\lna$（特別地，$(e^x)'=e^x$）；對數(shù)函數(shù)：$(\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}$（特別地，$(\lnx)'=\frac{1}{x}$）；三角函數(shù)：$(\sinx)'=\cosx$，$(\cosx)'=-\sinx$，$(\tanx)'=\sec^2x$；反三角函數(shù)：$(\arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$(\arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}$。3.2.2求導(dǎo)法則四則運算：$(u\pmv)'=u'\pmv'$，$(uv)'=u'v+uv'$，$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$（$v\neq0$）；復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t：設(shè)$y=f(u)$，$u=g(x)$，則$y'=f'(u)\cdotg'(x)$；隱函數(shù)求導(dǎo)：對$F(x,y)=0$兩邊關(guān)于$x$求導(dǎo)，解出$y'$（如$x^2+y^2=1$，求導(dǎo)得$2x+2yy'=0$，故$y'=-x/y$）；參數(shù)方程求導(dǎo)：設(shè)$\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，則$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$，$\frac{d^2y}{dx^2}=\fracq6yy6kk{dt}\left(\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\right)\cdot\frac{1}{\phi'(t)}$。例7：求$y=\ln(\sin2x)$的導(dǎo)數(shù)。解：由鏈?zhǔn)椒▌t，$y'=\frac{1}{\sin2x}\cdot(\sin2x)'=\frac{1}{\sin2x}\cdot\cos2x\cdot2=2\cot2x$。3.3微分中值定理：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的聯(lián)系微分中值定理是微分學(xué)的核心，建立了函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的局部性質(zhì)之間的聯(lián)系。3.3.1羅爾定理（Rolle）條件：1.$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)；2.$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)；3.$f(a)=f(b)$。結(jié)論：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。幾何意義：連續(xù)可導(dǎo)且端點函數(shù)值相等的曲線，必存在水平切線。3.3.2拉格朗日中值定理（Lagrange）條件：1.$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)；2.$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)。結(jié)論：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。幾何意義：連續(xù)可導(dǎo)曲線必存在一點，其切線與端點連線平行。推論：若$f'(x)=0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)為常數(shù)。3.3.3柯西中值定理（Cauchy）條件：1.$f(x),g(x)$在$[a,b]$上連續(xù)；2.$f(x),g(x)$在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)；3.$g'(x)\neq0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立。結(jié)論：存在$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。注：羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例（$g(x)=x$），柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣（$g(x)$為任意滿足條件的函數(shù)）。例8：證明當(dāng)$x>0$時，$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$。證明：設(shè)$f(t)=\ln(1+t)$，則$f(t)$在$[0,x]$上連續(xù)，在$(0,x)$內(nèi)可導(dǎo)。由拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(0,x)$，使得$\ln(1+x)-\ln1=\frac{1}{1+\xi}(x-0)$，即$\ln(1+x)=\frac{x}{1+\xi}$。因$0<\xi<x$，故$\frac{x}{1+x}<\frac{x}{1+\xi}<x$，得證。3.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4.1單調(diào)性與極值單調(diào)性判別：若$f'(x)>0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)嚴(yán)格遞增；若$f'(x)<0$，則嚴(yán)格遞減。極值定義：設(shè)$f(x)$在$x_0$的某鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)所有$x\neqx_0$，有$f(x)<f(x_0)$（或$f(x)>f(x_0)$），則稱$f(x_0)$為極大值（或極小值），$x_0$為極值點。極值必要條件：若$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)且取得極值，則$f'(x_0)=0$（駐點）。極值充分條件：1.（第一充分條件）：若$x_0$左側(cè)$f'(x)>0$、右側(cè)$f'(x)<0$，則$x_0$為極大值點；反之則為極小值點；2.（第二充分條件）：若$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)<0$，則$x_0$為極大值點；若$f''(x_0)>0$，則為極小值點。3.4.2凹凸性與拐點凹凸性定義：若曲線$y=f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)位于其任意切線上方，則稱$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)凹（或上凸）；若位于切線下方，則稱凸（或下凸）。凹凸性判別：若$f''(x)>0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)凹；若$f''(x)<0$，則凸。拐點：曲線凹凸性改變的點（$f''(x)$由正變負(fù)或由負(fù)變正的點）。3.4.3洛必達法則（L’Hospital）條件：1.$\lim_{x\toa}f(x)=\lim_{x\toa}g(x)=0$（或$\infty$）；2.$f(x),g(x)$在$a$的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且$g'(x)\neq0$；3.$\lim_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或$\infty$）。結(jié)論：$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。適用類型：$\frac{0}{0}$型、$\frac{\infty}{\infty}$型（可通過變形轉(zhuǎn)化為其他類型，如$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$）。例9：計算$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$（$\frac{0}{0}$型）。解：應(yīng)用洛必達法則，$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$。3.4.4泰勒公式（Taylor）定義：設(shè)$f(x)$在$x_0$的某鄰域內(nèi)有$n+1$階導(dǎo)數(shù)，則對該鄰域內(nèi)任意$x$，有$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x),$$其中$R_n(x)$為余項，常見形式：皮亞諾余項：$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$（用于求極限、近似計算）；拉格朗日余項：$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$（$\xi$介于$x_0$與$x$之間，用于證明不等式、估計誤差）。麥克勞林公式（$x_0=0$的特例）：$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+R_n(x).$$常用麥克勞林展開（$x\to0$）：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$；$\sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})$；$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$。例10：用泰勒公式證明當(dāng)$x>0$時，$e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$。證明：$e^x$的麥克勞林展開為$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{e^\xi}{6}x^3$（$\xi\in(0,x)$）。因$e^\xi>0$，$x^3>0$，故$e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$。第四章一元函數(shù)積分學(xué)：累積量的精確計算積分學(xué)研究函數(shù)的整體累積性，分為不定積分（導(dǎo)數(shù)的逆運算）與定積分（黎曼和的極限），二者通過牛頓-萊布尼茨公式聯(lián)系。4.1不定積分4.1.1定義設(shè)$f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，若存在函數(shù)$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$對所有$x\inI$成立，則稱$F(x)$為$f(x)$在$I$上的原函數(shù)，$f(x)$的所有原函數(shù)稱為不定積分，記為$\intf(x)dx=F(x)+C$（$C$為任意常數(shù)）。注：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)（由牛頓-萊布尼茨公式保證）。4.1.2基本積分公式常數(shù)：$\intCdx=Cx+C$；冪函數(shù)：$\intx^\alphadx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$（$\alpha\neq-1$）；指數(shù)函數(shù)：$\inta^xdx=\frac{a^x}{\lna}+C$（特別地，$\inte^xdx=e^x+C$）；對數(shù)函數(shù)：$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$；三角函數(shù)：$\int\sinxdx=-\cosx+C$，$\int\cosxdx=\sinx+C$，$\int\sec^2xdx=\tanx+C$；反三角函數(shù)：$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsinx+C$，$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctanx+C$。4.1.3積分方法換元積分法：1.第一類換元法（湊微分）：設(shè)$u=\phi(x)$可導(dǎo)，且$\intf(u)du=F(u)+C$，則$\intf(\phi(x))\phi'(x)dx=F(\phi(x))+C$；例11：計算$\int\cos2xdx$。解：令$u=2x$，則$du=2dx$，故$\int\cos2xdx=\frac{1}{2}\int\cosudu=\frac{1}{2}\sin2x+C$。2.第二類換元法（變量替換）：設(shè)$x=\psi(t)$單調(diào)可導(dǎo)，且$\psi'(t)\neq0$，則$\intf(x)dx=\intf(\psi(t))\psi'(t)dt$；常用替換：根號替換（如$\sqrt{a^2-x^2}$令$x=a\sint$，$\sqrt{x^2+a^2}$令$x=a\tant$）、倒數(shù)替換（如$\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$令$x=\sect$）。例12：計算$\int\sqrt{1-x^2}dx$。解：令$x=\sint$（$t\in[-\pi/2,\pi/2]$），則$dx=\costdt$，$\sqrt{1-x^2}=\cost$，故$\int\cost\cdot\costdt=\int\frac{1+\cos2t}{2}dt=\frac{t}{2}+\frac{\sin2t}{4}+C=\frac{\arcsinx}{2}+\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C$。分部積分法：設(shè)$u=u(x)$，$v=v(x)$可導(dǎo)，則$\intudv=uv-\intvdu$（適用于乘積形式，如$xe^x$、$\lnx$、$\arcsinx$）；例13：計算$\intx\lnxdx$。解：令$u=\lnx$，$dv=xdx$，則$du=\frac{1}{x}dx$，$v=\frac{x^2}{2}$，故$\intx\lnxdx=\frac{x^2}{2}\lnx-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\lnx-\frac{x^2}{4}+C$。4.2定積分4.2.1定義（黎曼和）設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上有界，將$[a,b]$劃分為$n$個小區(qū)間$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots,[x_{n-1},x_n]$（$x_0=a$，$x_n=b$），記$\Deltax_i=x_i-x_{i-1}$，$\lambda=\max\{\Deltax_i\}$，任取$\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，若極限$\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Deltax_i$存在，且與劃分及$\xi_i$的選取無關(guān)，則稱$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可積，記為$\int_a^bf(x)dx$。可積函數(shù)類：連續(xù)函數(shù)；單調(diào)函數(shù)；有有限個間斷點的有界函數(shù)。4.2.2定積分的性質(zhì)線性性：$\int_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1\int_a^bf(x)dx+k_2\int_a^bg(x)dx$；區(qū)間可加性：$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$（$c$為任意實數(shù)）；保號性：若$f(x)\geq0$在$[a,b]$上恒成立，則$\int_a^bf(x)dx\geq0$；估值定理：若$m\leqf(x)\leqM$在$[a,b]$上恒成立，則$m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leqM(b-a)$；積分中值定理：若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，則存在$\xi\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$（幾何意義：曲邊梯形面積等于某矩形面積）。4.3微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）定理：設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，$F(x)$為$f(x)$的一個原函數(shù)，則$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b.$$意義：將定積分的計算轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的增量，建立了不定積分與定積分的聯(lián)系，是微積分的核心公式。例14：計算$\int_0^1x^2dx$。解：$x^2$的原函數(shù)為$\frac{x^3}{3}$，故$\int_0^1x^2dx=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$。4.4定積分的應(yīng)用4.4.1幾何應(yīng)用面積：曲線$y=f(x)$、$y=g(x)$與直線$x=a$、$x=b$圍成的面積：$S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx$；極坐標(biāo)曲線$r=r(\theta)$（$\alpha\leq\theta\leq\beta$）圍成的面積：$S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\betar^2(\theta)d\theta$。體積：旋轉(zhuǎn)體體積（繞$x$軸）：$V=\pi\int_a^bf^2(x)dx$（圓盤法）；旋轉(zhuǎn)體體積（繞$y$軸）：$V=2\pi\int_a^bxf(x)dx$（殼層法）；截面體體積（垂直于$x$軸的截面面積為$S(x)$）：$V=\int_a^bS(x)dx$?；￠L：直角坐標(biāo)：$s=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}dx$；參數(shù)方程：$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt$；極坐標(biāo)：$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta$。例15：求曲線$y=x^2$從$x=0$到$x=1$繞$x$軸旋轉(zhuǎn)的體積。解：由圓盤法，$V=\pi\int_0^1(x^2)^2dx=\pi\int_0^1x^4dx=\pi\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{5}$。4.4.2物理應(yīng)用功：恒力做功$W=F\cdots$；變力$F(x)$沿$x$軸從$a$到$b$做功：$W=\int_a^bF(x)dx$；壓力：液體壓強$p=\rhogh$，平板一側(cè)所受壓力：$F=\int_a^b\rhogh(x)\cdotw(x)dx$（$w(x)$為平板在深度$h(x)$處的寬度）。4.5反常積分（廣義積分）4.5.1定義無窮區(qū)間反常積分：$\int_a^{+\infty}f(x)dx=\