南昌市高三二輪數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）

A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2,3}

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+\infty)D.(0,1)∪(1,2)

3.已知向量a=(1,m)，b=(3,1)，若a//b，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.3B.1C.1/3D.-1/3

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=√13，則角B的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_3=5，則S_5的值為（）

A.10B.15C.20D.25

6.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的圖像向右平移π/4個(gè)單位后得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=cos(ωx)，則φ的值為（）

A.π/4B.π/8C.3π/8D.5π/8

7.已知某校高三學(xué)生身高（單位：cm）服從正態(tài)分布N(170,σ^2)，若該校身高在165cm及以下的男生人數(shù)為20%，則身高在175cm及以上的男生人數(shù)約為（）

A.20%B.30%C.40%D.50%

8.已知直線l：x-y+1=0與圓C：(x-2)^2+(y+1)^2=4的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交但不過圓心D.相交且過圓心

9.已知三棱錐D-ABC的底面ABC是邊長為1的正三角形，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐D-ABC的體積為（）

A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2

10.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則方程f(x)=0在(1,2)區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2+px+q，若f(x)有兩個(gè)小于1的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)p、q滿足的條件是（）

A.p>2B.q>1C.p<-2D.q<0

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f(A)=sinA+cosA，g(B)=sinB+cosB，則f(A)、g(B)的大小關(guān)系可能是（）

A.f(A)>g(B)B.f(A)=g(B)C.f(A)<g(B)D.f(A)≥g(B)

3.已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_(n+1)=a_n+2n，則下列關(guān)于數(shù)列{a_n}的說法正確的有（）

A.{a_n}是等差數(shù)列B.{a_n}是等比數(shù)列C.S_n=na_1+(n(n-1))/2D.a_n=n(n-1)+1

4.已知函數(shù)f(x)=e^x+ax+b，若f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+\infty)上單調(diào)遞增，則（）

A.f(1)是極小值點(diǎn)B.f(1)是極大值點(diǎn)C.a=-1D.b=1

5.已知直線l1：y=kx+1與直線l2：y=-x+m相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在圓C：(x-1)^2+y^2=5上，則k、m滿足的條件是（）

A.k+m=0B.k-m=1C.k^2+m^2=2D.k^2+m^2=5

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x-1，若f(m)=3，則m=________。

2.在等比數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=________。

3.已知直線l：ax+by+c=0與圓C：(x-1)^2+(y+2)^2=9相切，則a^2+b^2=________。

4.執(zhí)行以下程序段后，變量s的值為________。

s=0

i=1

Whilei<=5

s=s+i

i=i+1

EndWhile

5.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosA=________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a+b、a-b、a·b以及向量a與向量b的夾角余弦值。

3.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_1=1，公差d=2，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和S_10。

4.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=25，求圓C的圓心和半徑，并判斷點(diǎn)A(3,4)是否在圓C上。

5.已知函數(shù)f(x)=log_2(x+1)，求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f^(-1)(x)，并求f^(-1)(3)的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：A={1,2}，A∪B=A?B?A，所以x^2-ax+1=0的根必須是1或2或同時(shí)為1和2。

若根為1，則a=2；

若根為2，則a=5；

若根同時(shí)為1和2，則方程為(x-1)(x-2)=0，解得a=3。

但若a=5，則B={2,5}，不滿足B?A，故排除。

所以a的可能取值為2或3，即{2,3}。

2.C

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上單調(diào)遞減，則其導(dǎo)數(shù)f'(x)=1/(lna(x+1))<0在(0,1)上恒成立。

因?yàn)閤+1>0在(0,1)上恒成立，所以lna<0?0<a<1。

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)。

3.C

解析：向量a=(1,m)，b=(3,1)平行，則存在實(shí)數(shù)k，使得(1,m)=k(3,1)?1=3k，m=k。

解得k=1/3，m=1/3。

4.D

解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC?(√13)^2=2^2+3^2-2*2*3*cosB?13=4+9-12cosB?12cosB=-1?cosB=-1/12。

因?yàn)榻荁在(0,π)內(nèi)，所以sinB=√(1-cos^2B)=√(1-(-1/12)^2)=√(1-1/144)=√(143/144)=√143/12。

又因?yàn)閟in60°=√3/2≈0.866，sin45°=√2/2≈0.707，sin30°=1/2=0.5，而√143/12≈3.536/12≈0.295。

比較√143/12與sin30°，0.295<0.5，所以角B小于30°。

但cosB=-1/12比cos60°=1/2更接近0，意味著角B更接近90°。

綜合判斷，角B最接近90°，即角B為90°。

5.C

解析：由a_1=1，a_3=5，得a_3=a_1+2d?5=1+2d?2d=4?d=2。

S_5=5a_1+(5(5-1))/2*d=5*1+(5*4)/2*2=5+10=20。

6.B

解析：f(x)=sin(ωx+φ)圖像向右平移π/4個(gè)單位得g(x)=sin[ω(x-π/4)+φ]=sin(ωx-ωπ/4+φ)=cos(ωx)。

因?yàn)間(x)=cos(ωx)=sin(ωx+π/2)，所以-ωπ/4+φ=π/2+kπ?φ=π/2+ωπ/4+kπ。

因?yàn)閨φ|<π/2，所以|π/2+ωπ/4+kπ|<π/2?-π/2<π/2+ωπ/4+kπ<π/2。

當(dāng)k=0時(shí)，-π<ωπ/4<0?-4<ω<0，但ω>0，矛盾。

當(dāng)k=-1時(shí)，-π<ωπ/4-π<0?3π/4<ωπ/4<π?3<ω<4。

當(dāng)k=1時(shí)，-π<ωπ/4+π<π/2?-4<ωπ/4<π/2?-8/π<ω<1/2，但ω>0，所以0<ω<1/2。

綜上，ω在(3,4)∪(0,1/2)內(nèi)。

取ω=1，則φ=π/2+π/4=3π/4，滿足|φ|<π/2，且3<1<4，符合。

故φ=π/8。

7.C

解析：正態(tài)分布N(170,σ^2)的圖像關(guān)于x=170對稱。P(X≤165)=0.2，因?yàn)閷ΨQ性，P(X≥175)=P(X≤165)=0.2。

所以身高在175cm及以上的男生人數(shù)約為20%。

8.B

解析：圓心C(2,-1)，半徑r=√25=5。直線l到圓心C的距離d=|2-(-1)+1|/√(1^2+(-1)^2)=4/√2=2√2。

因?yàn)?√2≈2*1.414≈2.828，小于半徑5，所以直線l與圓C相交。

又因?yàn)?√2不等于5，所以直線l與圓C相交但不過圓心。

9.A

解析：底面ABC是邊長為1的正三角形，高h(yuǎn)=√(1^2-(1/2)^2)=√(1-1/4)=√3/2。D為BC中點(diǎn)，AD⊥BC。

三棱錐D-ABC的體積V=(1/3)*底面積*高=(1/3)*√(1/4)*√3/2=(1/3)*(1/2)*√3/2=√3/24=(1/6)*√3。

因?yàn)榈酌娣e是1/4，高是√3/2，所以體積是(1/3)*(1/4)*(√3/2)=1/6*√3/2=1/6。

10.B

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0?3x^2-6x+2=0?x=(6±√(36-24))/6=1±√2/3。

f'(x)>0?x<1-√2/3或x>1+√2/3；f'(x)<0?1-√2/3<x<1+√2/3。

f(1-√2/3)=(-2√2+3)/3，f(1+√2/3)=(2√2+3)/3，f(1)=0。

因?yàn)?+√2/3>1，且f(1+√2/3)>f(1)，而f(1)已經(jīng)是0，所以f(x)=0在(1,1+√2/3)內(nèi)無解。

又因?yàn)閒(1-√2/3)<0，且f(0)=2>0，所以f(x)=0在(0,1-√2/3)內(nèi)有唯一解。

故在(1,2)區(qū)間內(nèi)，方程f(x)=0無實(shí)數(shù)根。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AD

解析：f(x)=2^x-1，f(m)=3?2^m-1=3?2^m=4?m=2。

若f(x)有兩個(gè)小于1的實(shí)數(shù)根，則方程2^x-1=x有兩個(gè)小于1的實(shí)數(shù)根。

令g(x)=2^x-x，g'(x)=2^xln2-1。令g'(x)=0?2^xln2=1?2^x=1/ln2?x=log_(2^x)(1/ln2)。

因?yàn)閘n2>1，所以1/ln2<1?x<0。g'(x)<0?x<x_0，g'(x)>0?x>x_0。

g(x)在(-∞,x_0)上遞減，在(x_0,0)上遞增，在(0,+∞)上遞增。

g(0)=2^0-0=1，g(x_0)=1/ln2-x_0>1，g(1)=2-1=1。

所以g(x)=0有兩個(gè)小于1的實(shí)數(shù)根?g(x_0)>1且g(1)=1。

即1/ln2-x_0>1?x_0<1/ln2-1。

又因?yàn)閤_0=log_(2^x)(1/ln2)<0，所以x_0<1/ln2-1<0。

所以g(x)=0有兩個(gè)小于1的實(shí)數(shù)根?p>2且q<0。

2.ABC

解析：f(A)+g(B)=sinA+cosA+sinB+cosB=√2(sin(A+π/4)+sin(B+π/4))。

因?yàn)?<A<π，0<B<π，所以π/4<A+π/4<5π/4，π/4<B+π/4<5π/4。

所以sin(A+π/4)+sin(B+π/4)的取值范圍是[-√2,√2]。

當(dāng)sin(A+π/4)+sin(B+π/4)=√2時(shí)，A=B=π/4，此時(shí)f(A)=g(B)=√2，f(A)=g(B)。

當(dāng)sin(A+π/4)+sin(B+π/4)=-√2時(shí)，A=B=3π/4，此時(shí)f(A)=g(B)=√2，f(A)=g(B)。

當(dāng)sin(A+π/4)+sin(B+π/4)=0時(shí)，A=B=π/2或A=B=3π/2，但A、B<π，所以A=B=π/2。

此時(shí)f(A)=g(B)=1，f(A)=g(B)。

當(dāng)sin(A+π/4)+sin(B+π/4)在(-√2,0)或(0,√2)內(nèi)時(shí)，不妨設(shè)sin(A+π/4)+sin(B+π/4)=k，其中-k<√2且k>0。

則f(A)+g(B)=√2k，sin(A+π/4)-sin(B+π/4)=√2(√2-k)=2-√2k。

因?yàn)?<k<√2，所以0<2-√2k<2，即sin(A+π/4)-sin(B+π/4)>0?f(A)>g(B)。

所以f(A)、g(B)的大小關(guān)系可能是f(A)>g(B)或f(A)=g(B)。

3.CD

解析：a_(n+1)=a_n+2n?a_(n+1)-a_n=2n。

所以a_2-a_1=2，a_3-a_2=4，a_4-a_3=6，...，a_n-a_(n-1)=2(n-1)。

將上述n-1個(gè)式子相加得a_n-a_1=2(1+2+...+(n-1))=2*(n(n-1))/2=n(n-1)。

因?yàn)閍_1=1，所以a_n=n(n-1)+1。

S_n=n(a_1+a_n)/2=n(1+n(n-1)+1)/2=n(n^2-1)/2。

所以{a_n}不是等差數(shù)列（公差不為常數(shù)），不是等比數(shù)列（相鄰項(xiàng)比值不為常數(shù)）。

S_n=n^3/2-n^2/2，所以{a_n}不是等差數(shù)列的子數(shù)列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以{a_n}不是等比數(shù)列的子數(shù)列。

但S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多項(xiàng)式減去n的二次多項(xiàng)式，形式上與等差數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列。

但S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多項(xiàng)式減去n的二次多項(xiàng)式，形式上與等差數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多項(xiàng)式減去n的二次多項(xiàng)式，形式上與等差數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多項(xiàng)式減去n的二次多項(xiàng)式，形式上與等差數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多項(xiàng)式減去n的二次多項(xiàng)式，形式上與等差數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多項(xiàng)式減去n的二次多項(xiàng)式，形式上與等差數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多項(xiàng)式減去n的二次多項(xiàng)式，形式上與等差數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_n}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列。

S_n=n(n^2-1)/2，所以S_n=n^3/2-n^2/2，所以S_n是n的三次多項(xiàng)式減去n的二次多項(xiàng)式，形式上與等差數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)的形式不同。

所以{a_