函數(shù)的應(yīng)用學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知a＞0，且a≠1，則函數(shù)f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．與a有關(guān)【答案】B【解析】試題分析：由題意，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩函數(shù)的圖象如下圖所示，可知兩圖象總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故選B.考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、指數(shù)函數(shù)的圖象；3、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.2．已知函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，fx=x?A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】當(dāng)x≥0，令y=fx解得x=1+5∴x=(即當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)y=fx又函數(shù)fx是定義域?yàn)镽∴當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)y=fx所以函數(shù)y=fx3．若、分別是方程與的解，函數(shù)，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)是（）A．B．C．3D．【答案】C【解析】試題分析：兩方程與化為和，因此兩方程與的解可以看作是函數(shù)和分別與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而函數(shù)和互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又直線與直線垂直，交點(diǎn)為，所以有，當(dāng)時(shí)，的解為，當(dāng)時(shí)，方程有兩解和，因此方程有三解，故選C．考點(diǎn)：函數(shù)與方程的應(yīng)用．【名師點(diǎn)晴】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最常用的方法是令f（x）＝0，轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，解出方程有幾個(gè)根，函數(shù)y＝f（x）就有幾個(gè)零點(diǎn)，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一是基本方法，是利用零點(diǎn)的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點(diǎn)的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧．本題中求，就是把兩方程與的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)和分別與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．4．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足以下條件：①；②；③當(dāng)時(shí),.若方程在上至少有個(gè)不等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：由，知即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由知,的一個(gè)周期T=2.結(jié)合,作出g（x）的圖象與函數(shù)的圖象，則方程在上至少有5個(gè)不等的實(shí)根等價(jià)于函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)（x>0）的圖象至少有5個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，則所以.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)與方程．【名師點(diǎn)睛】在解決函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根等問(wèn)題時(shí)，一般把方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，其中一個(gè)函數(shù)要求是確定的函數(shù)，參數(shù)只在其中一個(gè)函數(shù)中出現(xiàn)，且隨參數(shù)的變化，函數(shù)的圖象變化規(guī)律易找，如能轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的交點(diǎn)更好，象本題函數(shù)是確定的，函數(shù)變化規(guī)律也易知，這樣就容易得出結(jié)論．5．已知函數(shù)，則的值為（）A．-1B．0C．1D．2【答案】C【解析】試題分析：，．故選．考點(diǎn)：求函數(shù)值.6．已知實(shí)系數(shù)方程的兩根分別為一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線的離心率，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略7．已知函數(shù)f(x)=ex?1x,x>0ax+3,x≤0A．(?∞,?1)B．(0,+∞)C．(0,1)D．(1,+∞)【答案】C【解析】【分析】設(shè)t=f(x)，則f(t)=2充分利用函數(shù)f(x)的圖象，分類討論ａ的取值情況，得到a的取值范圍．【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ex-1x當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=ax+3的圖像恒過(guò)點(diǎn)(0,3當(dāng)a≤0,x≤0時(shí)，f(x)≥f(0)=3；當(dāng)a>0,x≤0時(shí)，f(x)≤f(0)=3.g(x)=f(f(x))-2有5個(gè)零點(diǎn)，即方程f(f(x))=2有5個(gè)解，設(shè)t=f(x)，則f(t)=2.結(jié)合圖像可知，當(dāng)a>0時(shí)，方程f(t)=2有三個(gè)根t1∈(-∞,0)，t2∈(0,1)，t3∈(1,3)（∵由ax+3=2，得x=-1a，再由ax+3=-1a，得x=-3而當(dāng)a≤0時(shí)，結(jié)合圖像可知，方程f(f(x))=2不可能有5個(gè)解.故選：C【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．二、填空題8．設(shè)函數(shù)的根都在區(qū)間[-2，2]內(nèi)，且函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，則b的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：因?yàn)楹瘮?shù)（b為常數(shù)），所以的根都在區(qū)間[-2，2]內(nèi)，所以；又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間（0，1）上恒成立，所以綜上可得：?？键c(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.9．函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則________．【答案】0【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，,且,所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，即，故答案為.10．已知函數(shù)的定義域是，考察下列四個(gè)結(jié)論：①若，則是偶函數(shù)②若，則在區(qū)間上不是減函數(shù)③若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根；④若,，則是奇函數(shù)或偶函數(shù)其中正確的是_________.【答案】②【解析】【分析】①由偶函數(shù)定義說(shuō)明命題錯(cuò)誤；②由減函數(shù)的定義說(shuō)明，用反證法思路；③零點(diǎn)存在定理中要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的，因此結(jié)論不一定正確；④由奇偶性定義說(shuō)明．【詳解】不能說(shuō)明是偶函數(shù)，例如可能有，①錯(cuò)誤；，則在不是減函數(shù)，正確，否則有，②正確；不能保證在上至少有一個(gè)實(shí)根，函數(shù)在上可能不連續(xù)，③錯(cuò)誤；，不能說(shuō)明具有奇偶性，可能是，而，不符合奇偶性的定義，④錯(cuò)誤；正確的命題是②．故答案為②．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查零點(diǎn)存在定理，要注意奇偶性與單調(diào)性定義中是對(duì)定義域（定義區(qū)間）內(nèi)任意的實(shí)數(shù)滿足相應(yīng)條件，而不是其中一對(duì)數(shù)滿足相應(yīng)條件，一對(duì)數(shù)（或有限個(gè)數(shù)）不能代表所有、任意的數(shù)．11．若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是。【答案】【解析】略12．設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，則方程的解集為_(kāi)_________．【答案】【解析】由可得.故答案為：.13．函數(shù)，則.【答案】1【解析】試題分析：依題意，，∴.考點(diǎn)：分段函數(shù).14．以初速度40,垂直向上拋一物體，時(shí)刻的速度（的單位是）為，則該物體達(dá)到最大高度為.米【答案】80【解析】先求物體達(dá)到最大高度即其速度為0時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再將物體最大高度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為速度函數(shù)在時(shí)間上的定積分問(wèn)題，利用微積分基本定理計(jì)算定積分的值即得最大高度解：令v=0，得t=4故答案為8015．已知函數(shù)，若，則=．【答案】【解析】若.若,顯然不成立.三、解答題16．（本小題滿分14分）某公司生產(chǎn)的新產(chǎn)品的成本是2元/件，售價(jià)是3元/件，年銷售量為10萬(wàn)件，為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是（萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的銷售量將是原銷售量的倍，且是的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：···12···5······1.51.8···1.5···求與的函數(shù)關(guān)系式；如果利潤(rùn)=銷售總額成本費(fèi)廣告費(fèi)，試寫(xiě)出年利潤(rùn)S（萬(wàn)元）與廣告費(fèi)（萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)廣告費(fèi)為多少萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)S最大.【答案】（1）（2）當(dāng)廣告費(fèi)x為5萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)S最大.【解析】本試題主要是考查了二次函數(shù)的解析式的求解和二次函數(shù)最值的求解的綜合運(yùn)用。（1）設(shè)，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)和，所以，解得得到結(jié)論。（2）由題意知：，結(jié)合對(duì)稱軸和定義域得到最值。解：（1）設(shè)，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)和，所以，解得則（2）由題意知：，故當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）；答：當(dāng)廣告費(fèi)x為5萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)S最大.17．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋|x－a|，aR．（1）若a＝－1，求函數(shù)y＝f(x)(x[0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程；（2）若g(x)＝x4，試討論方程f(x)＝g(x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)于任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合．【答案】（1）2x＋y－3＝0．（2）當(dāng)a≥1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不同的解a，－1；當(dāng)－1＜a＜1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有三個(gè)不同的解a，－1，1；當(dāng)a≤－1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不同的解a，1．（3）{1}．【解析】試題分析：（1）當(dāng)a＝－1，x[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝－x3＋x＋1，從而f′(x)＝－3x2＋1．當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝1，f′(1)＝－2，所以函數(shù)y＝f(x)(x[0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0．（2）本題第一個(gè)難點(diǎn)在于化簡(jiǎn)方程，提取公因式；第二個(gè)難點(diǎn)，在于討論三個(gè)條件關(guān)系.f(x)＝g(x)即為ax3＋|x－a|＝x4．所以x4－ax3＝|x－a|，從而x3(x－a)＝|x－a|．此方程等價(jià)于x＝a或或所以當(dāng)a≥1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不同的解a，－1；當(dāng)－1＜a＜1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有三個(gè)不同的解a，－1，1；當(dāng)a≤－1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不同的解a，1．（3）對(duì)條件的轉(zhuǎn)化是本題難點(diǎn)，本題從函數(shù)值域包含關(guān)系出發(fā).易得函數(shù)f(x)在(a，＋∞)上是增函數(shù)，[f(a＋2)，＋∞)．從而≥f(a＋2)．所以f2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．因?yàn)閍＞0，顯然a＝1滿足，而a≥2時(shí)，均不滿足．所以滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合為{1}．試題解析：解：（1）當(dāng)a＝－1，x[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝－x3＋x＋1，從而f′(x)＝－3x2＋1．當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝1，f′(1)＝－2，所以函數(shù)y＝f(x)(x[0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0．3分（2）f(x)＝g(x)即為ax3＋|x－a|＝x4．所以x4－ax3＝|x－a|，從而x3(x－a)＝|x－a|．此方程等價(jià)于x＝a或或6分所以當(dāng)a≥1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不同的解a，－1；當(dāng)－1＜a＜1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有三個(gè)不同的解a，－1，1；當(dāng)a≤－1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不同的解a，1．9分（3）當(dāng)a＞0，x(a，＋∞)時(shí)，f(x)＝ax3＋x－a，f′(x)＝3ax2＋1＞0，所以函數(shù)f(x)在(a，＋∞)上是增函數(shù)，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．所以當(dāng)x[a，a＋2]時(shí)，f(x)[f(a)，f(a＋2)]，，當(dāng)x[a＋2，＋∞)時(shí)，f(x)[f(a＋2)，＋∞)．11分因?yàn)閷?duì)任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，所以[f(a＋2)，＋∞)．13分從而≥f(a＋2)．所以f2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．因?yàn)閍＞0，顯然a＝1滿足，而a≥2時(shí)，均不滿足．所以滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合為{1}．16分考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域18．(本小題滿分12分)某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2（注：利潤(rùn)與投資單位是萬(wàn)元）（Ⅰ）分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)，并寫(xiě)出它們的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元.（精確到1萬(wàn)元）.【答案】（1）y=0.25x及y=1.25x；（2）對(duì)A、B兩種產(chǎn)品分別投資3.75萬(wàn)元、6.25萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)6516【解析】（I）投資為x萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為f(x)萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為g(x)萬(wàn)元，由題設(shè)f(x)=k由圖1知f(1)=1由圖2知g(4)=從而f(x)=1（II）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入10—x萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y=f(x)+g(10?x)=答：當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約為4萬(wàn)元。………………12分19．已知函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，恒有.（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）若方程的解集為空集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）0≤m＜18.【解析】【分析】（1）由已知可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b方程組，解方程組求出a，b值，進(jìn)而得到f（x）的表達(dá)式；再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將問(wèn)題中的不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)分式不等式在(0,4]上恒成立，利用函數(shù)單調(diào)性求的最大值即可，滿足條件的實(shí)數(shù)t的取值范圍．（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將方程f（x）＝lg（8x+m），轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的分式方程組，進(jìn)而根據(jù)方程f（x）＝lg（8x+m）的解集為?，則方程組至少一個(gè)方程無(wú)解，或兩個(gè)方程的解集的交集為空集，分類討論后，即可得到答案．【詳解】（1）∵當(dāng)x＞0時(shí)，恒成立

∴，即（a-b）x2-（a-b）x=0恒成立，∴a=b,又f（1）=0，即a+b=2，從而a=b=1，∴,所以