第

六

章平面向量及其應(yīng)用6.3.1平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)理解平面向量基本定理及其意義，了解向量的一個(gè)基底的含義.（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理）會(huì)運(yùn)用平面向量基本定理解決簡單平面幾何問題.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）就是說位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示.共線向量定理：向量

與

共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)

，使復(fù)習(xí)舊知我們知道，已知兩個(gè)力，可以求出它們的合力；反過來，一個(gè)力可以分解為兩個(gè)力．我們可以根據(jù)解決實(shí)際問題的需要，通過作平行四邊形，將力

分解為多組大小、方向不同的分力.學(xué)習(xí)新知類似地，我們可以通過作平行四邊形，將向量分解為兩個(gè)不共線的向量，使向量

是這兩個(gè)向量的和.學(xué)習(xí)新知探究如圖(1)，設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，是這一平面內(nèi)與，都不共線的向量.圖(1)學(xué)習(xí)新知探究如圖(2)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)

，作,，將按,的方向分解.圖(2)如圖，過點(diǎn)

作平行于直線

的直線，與直線

交于點(diǎn)

；過點(diǎn)

作平行于直線

的直線，與直線

交于點(diǎn)

，根據(jù)向量的平行四邊形法則，有所以即使得：平面向量基本定理.gsp也就是說，與，都不共線的向量都可以表示成的形式.學(xué)習(xí)新知由共線向量定理可知，存在實(shí)數(shù)，，當(dāng)是與或共線的非零向量時(shí)，也可以表示成的形式.學(xué)習(xí)新知當(dāng)是零向量時(shí)，同樣可以表示成的形式.綜上,平面內(nèi)任一向量都可以按，的方向分解,表示成的形式，而且這種表示形式是唯一的.

（為什么是唯一的？）如果還可以表示成的形式，那么可得：，所以學(xué)習(xí)新知由此可得，共線，這與已知，不共線相矛盾.

如果

，不全為0，不妨設(shè)，那么所以，即有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使平面向量基本定理如果

，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量

，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

，，使

注意1.基底不唯一，關(guān)鍵是不共線.2.基底給定時(shí)，分解形式唯一.平面向量基本定理.gsp如果

，不共線，我們把

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．學(xué)習(xí)新知例1

如圖，,不共線，且,用，表示.OABP解：因?yàn)樗造柟绦轮^察，你有什么發(fā)現(xiàn)？課堂總結(jié)歸納平面向量基本定理驗(yàn)證幾何畫板和反證法探究三種情況猜想平面向量分解類比力的分解類比由特殊到一般轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合書面作業(yè)：教科書第27頁練習(xí)題