數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)進階篇不等式證明方法匯報人：WPS第三章極值點偏移(一)01單擊此處添加章節(jié)副標題1.極值點偏移的定義極值點偏移是函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)的圖象不具有對稱性.例如我們學(xué)過的二次函數(shù)為標準的對稱結(jié)構(gòu)，有對稱軸，但是有些函數(shù)沒有對稱軸，即關(guān)于類對稱軸對稱的兩點橫坐標之和不等于對稱點橫坐標的兩倍，我們把這種現(xiàn)象叫做極值點偏移.2.從圖形角度理解極值點偏移(x0為極值點，且x1<x2)(1)左右對稱，無偏移，如二次函數(shù)；若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝2x0.(2)左陡右緩，極值點向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2>2x0.(3)左緩右陡，極值點向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2<2x0.例1

(2024·南充模擬)已知函數(shù)f(x)＝x－lnx－a有兩個不同的零點x1，x2.(1)求實數(shù)a的取值范圍；題型一對稱化構(gòu)造法(和型)

(2)求證：x1＋x2>2.不妨設(shè)x1<x2，由(1)可知，0<x1<1<x2，則2－x1>1，要證x1＋x2>2，只需證2－x1<x2，又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x1)＝f(x2)＝0，所以只需證f(2－x1)<f(x2)，即證f(2－x1)<f(x1).記g(x)＝f(2－x)－f(x)＝2－2x－ln(2－x)＋lnx，x∈(0，1)，

證明x1＋x2>2x0的步驟(1)求極值點x0：求出函數(shù)f(x)的極值點x0，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象，由f(x1)＝f(x2)得出x1，x2的取值范圍.(2)構(gòu)造函數(shù)：對結(jié)論為x1＋x2>2x0的情況，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x).①F'(x)＝f'(x)＋f'(2x0－x)>0，則F(x)單調(diào)遞增；②注意到F(x0)＝0，則F(x1)＝f(x1)－f(2x0－x1)<0即f(x1)<f(2x0－x1)；③f(x2)＝f(x1)<f(2x0－x1)，根據(jù)f(x)在(x0，＋∞)上單調(diào)遞減，則x2>2x0－x1；④得到結(jié)論x2＋x1>2x0.思維升華跟蹤訓(xùn)練1已知f(x)＝lnx－2x，若f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2>1.

題型二對稱化構(gòu)造法(積型)

(2)若方程f(x)＝1有兩個不同的根x1，x2，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：x1x2>1.

思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2025·江蘇聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋t在點(1，f(1))處的切線經(jīng)過原點.(1)求t的值；因為f'(x)＝lnx＋1，所以f'(1)＝1，因為f(1)＝t，所以切線方程為y－t＝x－1，即y＝x＋t－1.因為切線經(jīng)過原點，所以0＝0＋t－1，所以t＝1.

課時精練02單擊此處添加章節(jié)副標題答案12

1.答案12

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2.答案12

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2.答案12當(dāng)0<t<1時，M(t)<M(1)=0，當(dāng)t>1時，M(t)>M(1)=0，故引理得證.因為函數(shù)f(x)有兩個極值點，由(1)可知0<a<1，設(shè)g(x)=f'(x)=1+lnx-ax，則x1，x2(x1<x2)是g(x)的兩個變號零點，2.答案12

2.答案12

2.答案12

2.1.已知f(x)＝lnx－ax，其中a>0.(1)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍；12答案12答案

12答案12答案

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