2024年江蘇省常州市考研專業(yè)綜合練習(xí)題含答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元。已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是$R(x)=\begin{cases}400x-\frac{1}{2}x^{2},&0\leqx\leq400\\80000,&x>400\end{cases}$，則總利潤(rùn)最大時(shí)，年產(chǎn)量是（）A.100B.200C.300D.400答案：C2.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(x,1)$，$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，且$\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}$，則實(shí)數(shù)x的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.$\frac{1}{3}$D.2答案：A3.設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2^{x}-a,x<1\\4(x-a)(x-2a),x\geq1\end{cases}$。若$f(x)$恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.$[\frac{1}{2},1)$B.$[1,+\infty)$C.$[\frac{1}{2},1)\cup[2,+\infty)$D.$[2,+\infty)$答案：C4.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布$N(0,1)$，對(duì)給定的$\alpha\in(0,1)$，數(shù)$u_{\alpha}$滿足$P\{X>u_{\alpha}\}=\alpha$，若$P\{|X|<x\}=\alpha$，則x等于（）A.$u_{\frac{\alpha}{2}}$B.$u_{1-\frac{\alpha}{2}}$C.$u_{\frac{1-\alpha}{2}}$D.$u_{1-\alpha}$答案：C5.設(shè)A為n階方陣，且$|A|=2$，則$|2A^{-1}|$的值為（）A.$2^{n-1}$B.$2^{n}$C.$2^{n+1}$D.$2^{n-2}$答案：A6.設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x=0$處可導(dǎo)，且$f(0)=0$，則$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(1-\cosx)}{x\sinx}$等于（）A.$\frac{1}{2}f^\prime(0)$B.$f^\prime(0)$C.$2f^\prime(0)$D.不存在答案：A7.設(shè)$D$是由直線$x=0$，$y=0$，$x+y=1$所圍成的閉區(qū)域，則$\iint\limits_{D}e^{x+y}dxdy$的值為（）A.$e-2$B.$e-1$C.$2e-1$D.$e+1$答案：A8.已知線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=b\\x_1+4x_2+a^{2}x_3=b^{2}\end{cases}$有兩個(gè)不同的解，則（）A.$a=-1$，$b\neq1$B.$a=-1$，$b=1$C.$a=1$，$b\neq1$D.$a=1$，$b=1$答案：B9.設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，且$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(B)=\frac{1}{4}$，則$P(A\cupB)$的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{5}{12}$答案：A10.設(shè)函數(shù)$y=y(x)$由方程$e^{x+y}+\cos(xy)=0$所確定，則$\frac{dy}{dx}$等于（）A.$\frac{y\sin(xy)-e^{x+y}}{e^{x+y}-x\sin(xy)}$B.$\frac{e^{x+y}-y\sin(xy)}{e^{x+y}+x\sin(xy)}$C.$\frac{y\sin(xy)+e^{x+y}}{e^{x+y}-x\sin(xy)}$D.$\frac{e^{x+y}+y\sin(xy)}{e^{x+y}+x\sin(xy)}$答案：A11.設(shè)$f(x)$是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間$(-1,1]$上的定義為$f(x)=\begin{cases}2,&-1<x\leq0\\x^{3},&0<x\leq1\end{cases}$，則$f(x)$的傅里葉級(jí)數(shù)在$x=1$處收斂于（）A.$\frac{3}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.2答案：A12.設(shè)A是3階矩陣，$\alpha_1=(1,0,1)^T$，$\alpha_2=(1,1,0)^T$是A的屬于特征值1的特征向量，$\alpha_3=(0,1,1)^T$是A的屬于特征值-1的特征向量，則（）A.$\alpha_1-\alpha_2$是A的屬于特征值1的特征向量B.$\alpha_1-\alpha_3$是A的屬于特征值1的特征向量C.$\alpha_1+\alpha_3$是A的屬于特征值1的特征向量D.$\alpha_2+\alpha_3$是A的屬于特征值-1的特征向量答案：A13.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,1)$，則（）A.$P\{X+Y\leq0\}=\frac{1}{2}$B.$P\{X+Y\leq1\}=\frac{1}{2}$C.$P\{X-Y\leq0\}=\frac{1}{2}$D.$P\{X-Y\leq1\}=\frac{1}{2}$答案：B14.設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)=0$，則（）A.至少存在一點(diǎn)$\xi\in(a,b)$，使得$f^\prime(\xi)=f(\xi)$B.至少存在一點(diǎn)$\xi\in(a,b)$，使得$f^\prime(\xi)=-f(\xi)$C.至少存在一點(diǎn)$\xi\in(a,b)$，使得$f^\prime(\xi)=0$D.以上都不對(duì)答案：C15.設(shè)D是由曲線$y=x^{2}$和$y=x+2$所圍成的平面區(qū)域，則$\iint\limits_{D}(x+y)dxdy$的值為（）A.$\frac{35}{6}$B.$\frac{37}{6}$C.$\frac{39}{6}$D.$\frac{41}{6}$答案：A二、填空題（每題3分，共15分）1.曲線$y=x^{3}-3x^{2}+2x$在點(diǎn)$(1,0)$處的切線方程為。答案：$y=-x+1$2.已知$\int_{0}^{1}(ax+b)dx=1$，且$a>0$，$b>0$，則$ab$的最大值為。答案：$\frac{1}{2}$3.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}$，則$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim$。答案：$t(n-1)$4.設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A$的逆矩陣$A^{-1}=$。答案：$\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$5.設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^{2}+1,&x\leq0\\e^{x},&x>0\end{cases}$，則$\int_{-1}^{1}f(x)dx=$。答案：$\frac{4}{3}+e-1$三、解答題（共105分）1.（本題10分）求函數(shù)$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$的單調(diào)區(qū)間、極值和凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)。解：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)：$f^\prime(x)=3x^{2}-6x-9=3(x^{2}-2x-3)=3(x-3)(x+1)$令$f^\prime(x)=0$，即$3(x-3)(x+1)=0$，解得$x=-1$或$x=3$。當(dāng)$x\in(-\infty,-1)$時(shí)，$f^\prime(x)>0$，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞增；當(dāng)$x\in(-1,3)$時(shí)，$f^\prime(x)<0$，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x\in(3,+\infty)$時(shí)，$f^\prime(x)>0$，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞增。所以函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,-1)$和$(3,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(-1,3)$。（2）求函數(shù)的極值：將$x=-1$代入$f(x)$得$f(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)^{2}-9\times(-1)+5=-1-3+9+5=10$，為極大值。將$x=3$代入$f(x)$得$f(3)=3^{3}-3\times3^{2}-9\times3+5=27-27-27+5=-22$，為極小值。（3）求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：$f^{\prime\prime}(x)=6x-6=6(x-1)$令$f^{\prime\prime}(x)=0$，即$6(x-1)=0$，解得$x=1$。當(dāng)$x\in(-\infty,1)$時(shí)，$f^{\prime\prime}(x)<0$，函數(shù)$f(x)$的圖形是凸的；當(dāng)$x\in(1,+\infty)$時(shí)，$f^{\prime\prime}(x)>0$，函數(shù)$f(x)$的圖形是凹的。所以函數(shù)$f(x)$的凸區(qū)間為$(-\infty,1)$，凹區(qū)間為$(1,+\infty)$。將$x=1$代入$f(x)$得$f(1)=1^{3}-3\times1^{2}-9\times1+5=1-3-9+5=-6$，所以拐點(diǎn)為$(1,-6)$。2.（本題12分）設(shè)$z=f(x+y,xy)$，其中$f$具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partial^{2}z}{\partialx\partialy}$。解：令$u=x+y$，$v=xy$。（1）求$\frac{\partialz}{\partialx}$：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialf}{\partialu}\cdot\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialf}{\partialv}\cdot\frac{\partialv}{\partialx}$。因?yàn)?\frac{\partialu}{\partialx}=1$，$\frac{\partialv}{\partialx}=y$，所以$\frac{\partialz}{\partialx}=f_1+yf_2$，其中$f_1=\frac{\partialf(u,v)}{\partialu}$，$f_2=\frac{\partialf(u,v)}{\partialv}$。（2）求$\frac{\partial^{2}z}{\partialx\partialy}$：$\frac{\partial^{2}z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial}{\partialy}(f_1+yf_2)=\frac{\partialf_1}{\partialy}+f_2+y\frac{\partialf_2}{\partialy}$。對(duì)于$\frac{\partialf_1}{\partialy}$，$f_1$仍是關(guān)于$u$和$v$的函數(shù)，$u=x+y$，$v=xy$，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：$\frac{\partialf_1}{\partialy}=\frac{\partialf_1}{\partialu}\cdot\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialf_1}{\partialv}\cdot\frac{\partialv}{\partialy}=f_{11}+xf_{12}$。對(duì)于$\frac{\partialf_2}{\partialy}$，同理可得：$\frac{\partialf_2}{\partialy}=\frac{\partialf_2}{\partialu}\cdot\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialf_2}{\partialv}\cdot\frac{\partialv}{\partialy}=f_{21}+xf_{22}$。由于$f$具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，$f_{12}=f_{21}$，所以：$\frac{\partial^{2}z}{\partialx\partialy}=f_{11}+xf_{12}+f_2+y(f_{21}+xf_{22})=f_{11}+(x+y)f_{12}+f_2+xyf_{22}$。3.（本題12分）已知向量組$\alpha_1=(1,2,-1,0)^T$，$\alpha_2=(1,1,0,2)^T$，$\alpha_3=(2,1,1,a)^T$，問當(dāng)a為何值時(shí)，向量組$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$線性相關(guān)？并在此時(shí)求出向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。解：設(shè)存在一組數(shù)$k_1$，$k_2$，$k_3$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$，即：$\begin{pmatrix}1&1&2\\2&1&1\\-1&0&1\\0&2&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$對(duì)系數(shù)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&1&1\\-1&0&1\\0&2&a\end{pmatrix}$進(jìn)行初等行變換：$A=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&1&1\\-1&0&1\\0&2&a\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&1&2\\0&-1&-3\\-1&0&1\\0&2&a\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+r_1}\begin{pmatrix}1&1&2\\0&-1&-3\\0&1&3\\0&2&a\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+r_2}\begin{pmatrix}1&1&2\\0&-1&-3\\0&0&0\\0&2&a\end{pmatrix}\xrightarrow{r_4+2r_2}\begin{pmatrix}1&1&2\\0&-1&-3\\0&0&0\\0&0&a-6\end{pmatrix}$當(dāng)$a=6$時(shí)，$R(A)=2<3$，向量組$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$線性相關(guān)。此時(shí)，繼續(xù)對(duì)矩陣進(jìn)行變換：$\begin{pmatrix}1&1&2\\0&-1&-3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1+r_2}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&-1&-3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$取$\alpha_1$，$\alpha_2$為一個(gè)極大線性無關(guān)組。由$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&-1&-3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$，可得$k_1=k_3$，$k_2=-3k_3$，令$k_3=1$，則$\alpha_3=\alpha_1-3\alpha_2$。4.（本題12分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為$f(x)=\begin{cases}Ax^{2},&0\leqx\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}$。（1）求常數(shù)A；（2）求$P\{0.5<X<1\}$；（3）求X的分布函數(shù)$F(x)$。解：（1）根據(jù)概率密度函數(shù)的性質(zhì)$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$，有：$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{0}^{1}Ax^{2}dx=A\cdot\frac{1}{3}x^{3}\big|_{0}^{1}=\frac{A}{3}=1$，解得$A=3$。（2）$P\{0.5<X<1\}=\int_{0.5}^{1}3x^{2}dx=x^{3}\big|_{0.5}^{1}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$。（3）當(dāng)$x<0$時(shí)，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=0$；當(dāng)$0\leqx\leq1$時(shí)，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}3t^{2}dt=t^{3}\big|_{0}^{x}=x^{3}$；當(dāng)$x>1$時(shí)，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}3t^{2}dt=1$。所以$F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\x^{3},&0\leqx\leq1\\1,&x>1\end{cases}$。5.（本題12分）計(jì)算二重積分$\iint\limits_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy$，其中D是由圓$x^{2}+y^{2}=2y$所圍成的閉區(qū)域。解：將圓$x^{2}+y^{2}=2y$化為極坐標(biāo)方程：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，則$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，$r^{2}=2r\sin\theta$，即$r=2\sin\theta$。在極坐標(biāo)下，$D=\{(r,\theta)|0\leqr\leq2\sin\theta,0\leq\theta\leq\pi\}$。$\iint\limits_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy=\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{2\sin\theta}r\cdotrdr$$=\int_{0}^{\pi}\left[\frac{1}{3}r^{3}\right]_{0}^{2\sin\theta}d\theta=\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\thetad\theta$$=\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)d\theta$令$t=\cos\theta$，則$dt=-\sin\thetad\theta$。當(dāng)$\theta=0$時(shí)，$t=1$；當(dāng)$\theta=\pi$時(shí)，$t=-1$。$\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)d\theta=-\frac{8}{3}\int_{1}^{-1}(1-t^{2})dt$$=\frac{8}{3}\int_{-1}^{1}(1-t^{2})dt=\frac{8}{3}\left[t-\frac{1}{3}t^{3}\right]_{-1}^{1}$$=\frac{8}{3}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)\right]=\frac{32}{9}$。6.（本題12分）設(shè)A為3階矩陣，$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$是線性無關(guān)的3維列向量，且滿足$A\alpha_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_2=2\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_3=2\alpha_2+3\alpha_3$。（1）求矩陣B，使得$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)B$；（2）求矩陣A的特征值；（3）求可逆矩陣P，使得$P^{-1}AP$為對(duì)角矩陣。解：（1）已知$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)B$，且$A\alpha_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_2=2\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_3=2\alpha_2+3\alpha_3$，則$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&2\\1&1&3\end{pmatrix}$。（2）因?yàn)?\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$線性無關(guān)，矩陣$C=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$可逆，且$A=CBC^{-1}$，所以A與B相似，A與B有相同的特征值。求B的特征值，由$|\lambdaE-B|=\begin{vmatrix}\lambda-1&0&0\\-1&\lambda-2&-2\\-1&-1&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-1)\begin{vmatrix}\lambda-2&-2\\-1&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-1)[(\lambda-2)(\lambda-3)-2]=(\lambda-1)(\lambda^{2}-5\lambda+4)=(\lambda-1)^{2}(\lambda-4)=0$。解得B的特征值為$\lambda_1=\lambda_2=1$，$\lambda_3=4$，所以矩陣A的特征值為$\lambda_1=\lambda_2=1$，$\lambda_3=4$。（3）對(duì)于$\lambda_1=\lambda_2=1$，解齊次線性方程組$(E-B)X=0$，$E-B=\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&-1&-2\\-1&-1&-2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_2}\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&-1&-2\\0&0&0\end{pmatrix}$，取$x_2=1$，$x_3=0$，得$x_1=-1$；取$x_2=0$，$x_3=1$，得$x_1=-2$。對(duì)應(yīng)的特征向量為$\xi_1=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$，$\xi_2=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$。對(duì)于$\lambda_3=4$，解齊次線性方程組$(4E-B)X=0$，$4E-B=\begin{pmatrix}3&0&0\\-1&2&-2\\-1&-1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2+\frac{1}{3}r_1}\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&-2\\-1&-1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+\frac{1}{3}r_1}\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&-2\\0&-1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+\frac{1}{2}r_2}\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&-2\\0&0&0\end{pmatrix}$，取$x_3=1$，得$x_2=1$，$x_1=0$。對(duì)應(yīng)的特征向量為$\xi_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$。令$Q=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\begin{pmatrix}-1&-2&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$，則$Q^{-1}BQ=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{pmatrix}$。因?yàn)?A=CBC^{-1}$，令$P=CQ$，則$P^{-1}AP=Q^{-1}(C^{-1}AC)Q=Q^{-1}BQ=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{pmatrix}$。7.（本題13分）設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，在$(0,1)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(0)=0$，$f(1)=1$。證明：（1）存在$\xi\in(0,1)$，使得$f(\xi)=1-\xi$；（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)$\eta$，$\zeta\in(0,1)$，使得$f^\prime(\eta)f^\prime(\zeta)=1$。證明：（1）令$g(x)=f(x)+x-1$，因?yàn)?f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，所以$g(x)$在$[0,1]$上連續(xù)。$g(0)=f(0)+0-1=-1<0$，$g(1)=f(1)+1-1=1>0$。由零點(diǎn)定理可知，存在$\xi\in(0,1)$，使得$g(\xi)=0$，即$f(\xi)=1-\xi$。（2）因?yàn)?f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，在$(0,1)$內(nèi)可導(dǎo)，$f(x)$在$[0,\xi]$上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，所以存在$\eta\in(0,\xi)$，使得$f^\prime(\eta)=\frac{f(\xi)-f(0)}{\xi-0}=\frac{1-\xi}{\xi}$。$f(x)$在$[\xi,1]$上也滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，所以存在$\zeta\in(\xi,1)$，使得$f^\prime(\zeta)=\frac{f(1)-f(\xi)}{1-\xi}=\frac{1-(1-\xi)}{1-\xi}=\frac{\xi}{1-\xi}$。則$f^\prime(\eta)f^\prime(\zeta)=\frac{1-\xi}{\xi}\cdot\frac{\xi}{1-\xi}=1$，且$\eta\neq\zeta$，$\eta,\zeta\in(0,1)$。8.（本題12分）設(shè)總體X的概率密度為$f(x;\the