新人教A版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）1.5.1《曲邊梯形的面積》聽(tīng)評(píng)課記錄一.基本信息

聽(tīng)課日期：2023年10月26日

聽(tīng)課時(shí)間：上午第二節(jié)課（45分鐘）

授課教師姓名：李明

學(xué)科/課程名稱：高中數(shù)學(xué)（選修2-2）

班級(jí)/年級(jí)：高二（7）班

教學(xué)主題或章節(jié)：1.5.1《曲邊梯形的面積》

聽(tīng)課人姓名：張華

聽(tīng)課人職務(wù)：數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)

聽(tīng)課目的：教學(xué)研究、教師培訓(xùn)

本節(jié)課圍繞“曲邊梯形的面積”展開(kāi)教學(xué)，屬于微積分初步的重要內(nèi)容。曲邊梯形作為連接定積分與實(shí)際應(yīng)用的橋梁，其面積計(jì)算方法的學(xué)習(xí)是學(xué)生理解定積分概念的關(guān)鍵。李明老師通過(guò)引入實(shí)際生活案例，結(jié)合幾何直觀與極限思想，引導(dǎo)學(xué)生探究曲邊梯形面積的計(jì)算過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程。課程設(shè)計(jì)注重學(xué)生動(dòng)手操作與思維碰撞，通過(guò)小組討論、自主探究等方式，幫助學(xué)生建立“分割、近似、求和、取極限”的數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)定積分學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰明確，圍繞“曲邊梯形的面積”這一核心概念展開(kāi)，分為情境導(dǎo)入、探究方法、實(shí)踐應(yīng)用、總結(jié)歸納四個(gè)環(huán)節(jié)。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，包括人教A版選修2-2教材、幾何畫(huà)板軟件、平板電腦等多媒體設(shè)備，以及打印的曲邊梯形示意圖和分割表格。教具方面準(zhǔn)備了直尺、剪刀、膠水等，用于學(xué)生動(dòng)手制作近似圖形。教學(xué)目標(biāo)明確，既包含知識(shí)目標(biāo)（理解曲邊梯形面積計(jì)算的數(shù)學(xué)思想），也涵蓋能力目標(biāo)（掌握“以直代曲”的極限方法），符合高二學(xué)生的認(rèn)知水平。

2.教學(xué)過(guò)程

（1）開(kāi)始階段（導(dǎo)入新課）

教師以“如何在跑道上鋪設(shè)最省材料的緩沖帶”為生活情境引入課題，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示（幾何畫(huà)板展示汽車通過(guò)跑道時(shí)受力變化），引出曲邊梯形面積的實(shí)際意義。學(xué)生反應(yīng)活躍，部分學(xué)生提出“圓形跑道是否也是曲邊梯形”的疑問(wèn)，教師借此機(jī)會(huì)點(diǎn)明“曲邊”的幾何本質(zhì)。導(dǎo)入環(huán)節(jié)采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法，效果顯著，約3分鐘完成情境過(guò)渡。

（2）展開(kāi)階段（教學(xué)方法）

教學(xué)方法以“講授+探究”為主，穿插小組合作。教師首先展示標(biāo)準(zhǔn)曲邊梯形，引導(dǎo)學(xué)生觀察“曲邊”與“直邊”的差異，提出“如何用直邊逼近曲邊”的數(shù)學(xué)問(wèn)題。關(guān)鍵步驟設(shè)計(jì)如下：

-分割：教師演示將曲邊梯形分割為小矩形的幾何畫(huà)板操作，學(xué)生同步在平板電腦上完成電子版分割，教師實(shí)時(shí)巡視指導(dǎo)。

-近似：小組討論“小矩形面積如何代表曲邊梯形部分面積”，得出“足夠小則近似精確”的結(jié)論。教師補(bǔ)充“割痕越密誤差越小”的類比實(shí)驗(yàn)（展示放大鏡下的曲線圖）。

-求和與取極限：教師引導(dǎo)學(xué)生用求和公式表示近似面積，再通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示分割數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)的極限過(guò)程。這一環(huán)節(jié)耗時(shí)約20分鐘，學(xué)生通過(guò)多次操作和討論，對(duì)“無(wú)限逼近”思想形成初步理解。

（3）結(jié)束階段

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率高，教師每5分鐘組織一次提問(wèn)，如“分割的小塊是否必須矩形？”“為何不用三角形？”等，覆蓋90%學(xué)生?；?dòng)質(zhì)量突出，如討論“小矩形高度變化時(shí)如何保證面積不變”時(shí)，教師采用“反例法”強(qiáng)化認(rèn)知，學(xué)生自發(fā)提出“用平行線分割會(huì)更好”的優(yōu)化建議。小組合作中，教師通過(guò)“角色分配”（記錄員、發(fā)言人、質(zhì)疑者）提升參與度，課堂生成性問(wèn)題如“0.9999是否等于1”被教師轉(zhuǎn)化為極限討論。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

課堂前30分鐘專注度達(dá)92%，后15分鐘因平板電腦操作略分散，教師通過(guò)“限時(shí)挑戰(zhàn)”（3分鐘內(nèi)完成10個(gè)分割任務(wù)）恢復(fù)秩序。合作學(xué)習(xí)中，約60%學(xué)生主動(dòng)使用幾何畫(huà)板調(diào)整分割參數(shù)，發(fā)現(xiàn)“參數(shù)間隔越小曲線越平直”的規(guī)律。典型錯(cuò)誤如將“無(wú)限小”等同于“0”，教師通過(guò)“錯(cuò)題投影+學(xué)生辨析”解決。學(xué)生間形成互助氛圍，有學(xué)生用“螞蟻搬家”比喻分割求和過(guò)程，教師立即肯定該類比。

5.課堂管理

紀(jì)律良好，教師通過(guò)“眼神暗示”“桌牌顏色提示”管理課堂行為。時(shí)間分配合理：導(dǎo)入5分鐘、探究20分鐘、總結(jié)10分鐘、作業(yè)布置5分鐘，預(yù)留5分鐘應(yīng)對(duì)突發(fā)討論。節(jié)奏控制得當(dāng)，當(dāng)學(xué)生陷入“矩形個(gè)數(shù)無(wú)限怎么辦”的困境時(shí)，教師用“二分法”動(dòng)畫(huà)演示，避免陷入形式主義。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)應(yīng)用充分且有效。幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示分割效果，平板電腦的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)采集功能（如小組平均分割數(shù)統(tǒng)計(jì)）增強(qiáng)可視化，但存在技術(shù)短板：部分學(xué)生因操作不熟練導(dǎo)致探究延遲，教師雖提供“分步操作指南”，但影響約8分鐘效率。技術(shù)優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在：通過(guò)“動(dòng)畫(huà)快放”壓縮極限過(guò)程演示，彌補(bǔ)傳統(tǒng)板書(shū)的抽象性。技術(shù)對(duì)教學(xué)效果的支持作用主要體現(xiàn)在“具象化抽象概念”和“數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)反饋”兩方面。

（注：本記錄聚焦曲邊梯形面積計(jì)算的核心教學(xué)環(huán)節(jié)，未展開(kāi)后續(xù)定積分定義的關(guān)聯(lián)教學(xué)，符合課時(shí)主題要求。）

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)明確且適切，符合高二學(xué)生的認(rèn)知水平和課程要求。目標(biāo)分為三個(gè)維度：知識(shí)目標(biāo)（理解曲邊梯形面積計(jì)算的“分割、近似、求和、取極限”思想）、能力目標(biāo)（掌握用小矩形逼近曲邊圖形的數(shù)學(xué)方法）、情感目標(biāo)（培養(yǎng)幾何直觀與邏輯推理的辯證思維）。目標(biāo)適切性體現(xiàn)在：

-知識(shí)目標(biāo)達(dá)成度較高。通過(guò)課堂觀察，90%學(xué)生能復(fù)述“曲邊梯形面積等于無(wú)窮多個(gè)小矩形面積之和”的數(shù)學(xué)表達(dá)，80%學(xué)生能解釋“分割越細(xì)誤差越小”的極限內(nèi)涵。典型表現(xiàn)如學(xué)生在練習(xí)中自主將拋物線下的曲邊梯形分割為等寬小矩形，并推導(dǎo)面積公式S=nh+bh÷2（n為矩形數(shù)，h為寬度，b為底邊高度），反映出對(duì)核心思想的遷移應(yīng)用能力。

-能力目標(biāo)達(dá)成顯著。技能掌握方面，85%學(xué)生能獨(dú)立操作幾何畫(huà)板完成曲邊梯形動(dòng)態(tài)分割，技能測(cè)試中“參數(shù)調(diào)整與圖形變化”的匹配題正確率達(dá)88%。思維發(fā)展方面，學(xué)生提出的“用對(duì)角線分割是否更優(yōu)”問(wèn)題，雖超出本課范圍，但教師引導(dǎo)其與“誤差收斂速度”關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究的拓展性。

-情感目標(biāo)滲透自然。課堂中，當(dāng)學(xué)生因“無(wú)限小”概念困惑時(shí)，教師用“電子顯微鏡”比喻，激發(fā)學(xué)生幽默感，緩解認(rèn)知壓力。小組合作中，有學(xué)生因爭(zhēng)執(zhí)分割方式而主動(dòng)調(diào)整分工，教師借機(jī)講解“數(shù)學(xué)分工協(xié)作”的意義，促進(jìn)團(tuán)隊(duì)意識(shí)。目標(biāo)達(dá)成驗(yàn)證方式包括：教師設(shè)計(jì)的“四步法流程卡”（分割→近似→求和→極限）的課堂練習(xí)正確率（92%），以及學(xué)生自評(píng)問(wèn)卷中“數(shù)學(xué)思想理解程度”評(píng)分（4.3/5分）。

2.知識(shí)掌握

知識(shí)點(diǎn)理解與記憶呈現(xiàn)層次化特點(diǎn)：

-核心概念掌握牢固。曲邊梯形的定義、分割方法、極限思想等主干知識(shí)，90%學(xué)生能在3分鐘口述測(cè)試中準(zhǔn)確描述。如“割圓術(shù)”的歷史類比（教師用“曲邊梯形面積類比內(nèi)接多邊形面積”）被學(xué)生用于錯(cuò)題訂正，體現(xiàn)知識(shí)遷移能力。

-技能掌握存在差異?；A(chǔ)技能（如幾何畫(huà)板操作）達(dá)成度高，但進(jìn)階技能（如非標(biāo)準(zhǔn)分割）存在短板。典型問(wèn)題如部分學(xué)生用“等距分割”代替“等積分割”，導(dǎo)致近似效果不佳。教師通過(guò)“對(duì)比實(shí)驗(yàn)”（展示等距與等積分割的誤差曲線），強(qiáng)化“極限依賴函數(shù)值分布”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。技能測(cè)試中，復(fù)雜函數(shù)（如y=sinx）曲邊梯形面積計(jì)算的正確率僅為65%，反映出對(duì)“函數(shù)性質(zhì)與分割策略”關(guān)聯(lián)的認(rèn)知不足。

-記憶方式多樣化。教師通過(guò)“極限思想七字口訣”（“化曲為直，積少成多”）幫助學(xué)生記憶，配合“曲邊梯形面積公式”的類比記憶（與梯形中位線公式對(duì)比），學(xué)生自評(píng)記憶效率提升40%。但抽象概念如“ε-δ語(yǔ)言”的雛形（教師用“誤差小于任意正數(shù)”通俗解釋），僅被少數(shù)優(yōu)等生初步接受。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

課堂促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展，具體表現(xiàn)如下：

-數(shù)學(xué)興趣提升。教師用“航天器發(fā)射緩沖帶”案例引入，播放火箭降落時(shí)緩沖裝置的動(dòng)態(tài)視頻，激發(fā)學(xué)生“數(shù)學(xué)服務(wù)于科技”的成就感。課堂末尾展示航天工程中實(shí)際應(yīng)用的曲邊梯形計(jì)算案例，學(xué)生課后提問(wèn)量增加35%。

-探究精神培養(yǎng)。當(dāng)小組發(fā)現(xiàn)“矩形數(shù)量與誤差收斂速度”的非線性關(guān)系時(shí)，教師引導(dǎo)其用“對(duì)數(shù)坐標(biāo)系”分析，雖未深入講解，但學(xué)生自發(fā)查閱相關(guān)資料的行為被教師記錄為成長(zhǎng)案例。實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中，有學(xué)生提出“用梯形代替矩形是否更優(yōu)”的質(zhì)疑，教師組織辯論賽，最終形成“函數(shù)形狀決定近似方式”的共識(shí)，強(qiáng)化了批判性思維。

-合作意識(shí)強(qiáng)化。教師設(shè)計(jì)的“異質(zhì)分組”（按基礎(chǔ)能力搭配）策略效果顯著，后進(jìn)生在優(yōu)等生的“極限動(dòng)畫(huà)制作”任務(wù)中承擔(dān)素材搜集工作，通過(guò)“合作積分制”激勵(lì)主動(dòng)參與，課堂觀察顯示低分組學(xué)生發(fā)言次數(shù)提升50%。

-價(jià)值觀塑造。教師用“中國(guó)古代曲率計(jì)算”故事（劉徽割圓術(shù)）對(duì)比西方微積分發(fā)展史，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化的傳承性。學(xué)生作業(yè)中，有學(xué)生繪制“割圓術(shù)與現(xiàn)代極限思想的對(duì)比圖”，教師評(píng)價(jià)其“數(shù)學(xué)文化認(rèn)同感較強(qiáng)”。

-理性精神滲透。在討論“是否所有曲線都能分割”時(shí)，教師強(qiáng)調(diào)“函數(shù)連續(xù)性”的隱含要求，學(xué)生用“分母為0”的案例反駁“無(wú)限分割”的絕對(duì)性，體現(xiàn)理性思辨能力。

綜合評(píng)價(jià)顯示，本節(jié)課在知識(shí)傳遞、能力培養(yǎng)、情感熏陶方面達(dá)成良好平衡，尤其突出“思想方法可視化”的教學(xué)創(chuàng)新。但需關(guān)注：部分學(xué)生對(duì)極限概念的抽象性仍存在認(rèn)知障礙，建議后續(xù)結(jié)合“動(dòng)態(tài)幾何”軟件的“無(wú)限逼近”可視化功能強(qiáng)化理解；技能訓(xùn)練需增加“非標(biāo)準(zhǔn)分割”的針對(duì)性練習(xí)，以彌補(bǔ)探究環(huán)節(jié)的泛化傾向。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象優(yōu)秀，是一節(jié)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法、突出學(xué)生主體參與的典型探究式課例。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于“抽象概念具象化”的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師通過(guò)多維度技術(shù)手段（幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示、平板電腦實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)采集、電子白板互動(dòng)批注）將“曲邊梯形面積”這一微積分初步核心概念轉(zhuǎn)化為可視化學(xué)習(xí)對(duì)象，有效降低了學(xué)生理解抽象思想的認(rèn)知門檻。具體表現(xiàn)在：

-教學(xué)邏輯清晰，環(huán)節(jié)過(guò)渡自然。從“生活情境導(dǎo)入”到“數(shù)學(xué)模型建構(gòu)”，再到“極限思想的滲透”，形成完整的知識(shí)生成鏈。特別是“割圓術(shù)”的歷史類比，既激發(fā)文化興趣，又為“無(wú)限逼近”思想提供直觀支撐，體現(xiàn)了知識(shí)性與趣味性的統(tǒng)一。

-學(xué)生參與深度高。小組合作中“角色分工”機(jī)制確保全員參與，探究任務(wù)設(shè)計(jì)梯度合理，既包含基礎(chǔ)操作（幾何畫(huà)板分割），也設(shè)置思維挑戰(zhàn)（非標(biāo)準(zhǔn)分割的誤差分析）。課堂生成性問(wèn)題如“用對(duì)角線分割是否更優(yōu)”被教師有效轉(zhuǎn)化，成為深化理解的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

-技術(shù)應(yīng)用精準(zhǔn)?，F(xiàn)代教育技術(shù)不僅用于演示，更服務(wù)于數(shù)據(jù)分析和思維可視化。如通過(guò)平板電腦統(tǒng)計(jì)小組分割參數(shù)，形成“誤差收斂速度”的直觀分布圖；用動(dòng)畫(huà)快放壓縮極限過(guò)程，避免陷入形式主義細(xì)節(jié)，體現(xiàn)了技術(shù)為教學(xué)目標(biāo)服務(wù)的理念。

-課堂生成資源豐富。學(xué)生在探究中提出的“螞蟻搬家”類比、參數(shù)調(diào)整與圖形變化的規(guī)律性發(fā)現(xiàn)，教師均予以肯定并引導(dǎo)深入，形成了“師生共創(chuàng)”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)了動(dòng)態(tài)生成的課堂魅力。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)課堂觀察發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，提出以下改進(jìn)措施：

-優(yōu)化極限思想的滲透方式。當(dāng)前極限概念仍存在部分學(xué)生理解的“懸浮狀態(tài)”，建議后續(xù)教學(xué)增加“極限的動(dòng)態(tài)定義雛形”的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。例如，用幾何畫(huà)板制作“矩形數(shù)量→面積變化”的連續(xù)動(dòng)畫(huà)，疊加“誤差小于任意ε”的數(shù)學(xué)描述，形成“視覺(jué)-符號(hào)-邏輯”的協(xié)同認(rèn)知路徑。針對(duì)“0.9999=1”的典型困惑，可設(shè)計(jì)“無(wú)限循環(huán)小數(shù)逼近”的幾何模型（如用單位正方形不斷填充1/3面積），強(qiáng)化“無(wú)限過(guò)程”與“瞬時(shí)結(jié)果”的辯證關(guān)系。

-強(qiáng)化技能訓(xùn)練的針對(duì)性。當(dāng)前技能掌握呈現(xiàn)“兩極分化”現(xiàn)象，建議調(diào)整技能訓(xùn)練策略：基礎(chǔ)技能通過(guò)“分層作業(yè)”鞏固，優(yōu)等生完成“非標(biāo)準(zhǔn)分割”的誤差理論推導(dǎo)，后進(jìn)生強(qiáng)化“等距分割”的幾何直觀；進(jìn)階技能需增加“函數(shù)性質(zhì)與分割策略關(guān)聯(lián)”的專題練習(xí)，如設(shè)計(jì)“指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)曲邊梯形面積”的對(duì)比探究，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)“函數(shù)增長(zhǎng)速度決定分割優(yōu)化方向”的規(guī)律。

-調(diào)整技術(shù)使用的平衡性。當(dāng)前技術(shù)優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在“具象化”層面，建議后續(xù)探索“技術(shù)支持的深度探究”。例如，用GeoGebra的“參數(shù)化探究”功能，讓學(xué)生動(dòng)態(tài)調(diào)整分割參數(shù)并觀察誤差收斂曲線的形態(tài)變化；開(kāi)發(fā)“誤差分析”的交互式程序，允許學(xué)生輸入函數(shù)表達(dá)式自動(dòng)生成誤差表，將技術(shù)從“演示工具”升級(jí)為“思維實(shí)驗(yàn)平臺(tái)”。同時(shí)需加強(qiáng)操作培訓(xùn)，課前發(fā)放“平板電腦操作微課”，避免因技術(shù)障礙干擾核心探究。

-完善課堂管理細(xì)節(jié)。針對(duì)平板電腦操作引發(fā)的短暫混亂，建議采用“雙軌制管理”策略：前20分鐘聚焦核心概念，后25分鐘分組探究，通過(guò)“時(shí)間膠囊”機(jī)制（如前10分鐘完成基礎(chǔ)操作，后10分鐘深入探究，剩余5分鐘成果展示）平衡任務(wù)量；設(shè)計(jì)“技術(shù)使用積分榜”，對(duì)主動(dòng)優(yōu)化操作方案的小組給予加分，強(qiáng)化正向激勵(lì)。

-豐富知識(shí)遷移途徑。當(dāng)前案例局限于物理緩沖帶，建議后續(xù)增加跨學(xué)科應(yīng)用。如結(jié)合“計(jì)算機(jī)圖形學(xué)”中的貝塞爾曲線面積計(jì)算，或“經(jīng)濟(jì)學(xué)”中的邊際成本積分模型，形成“曲邊梯形面積”在多元場(chǎng)景的應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)的工具價(jià)值?？稍O(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)應(yīng)用故事會(huì)”活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生搜集相關(guān)案例進(jìn)行課堂分享。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽(tīng)課跟進(jìn)，重點(diǎn)觀察以下改進(jìn)措施的落實(shí)效果：

-第一輪改進(jìn)課：聚焦“極限思想的動(dòng)態(tài)定義雛形”實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，觀察學(xué)生對(duì)“無(wú)限過(guò)程”的認(rèn)知是否從“幾何直觀”向“符號(hào)理解”過(guò)渡。建議安排同課異構(gòu)，對(duì)比不同教學(xué)設(shè)計(jì)的效果差異。

-第二輪改進(jìn)課：針對(duì)技能訓(xùn)練策略調(diào)整，觀察“分層作業(yè)”與“專題練習(xí)”的匹配度，以及學(xué)生“函數(shù)性質(zhì)與分割策略關(guān)聯(lián)”的自主發(fā)現(xiàn)能力?？裳?qǐng)學(xué)生代表進(jìn)行課前訪談，了解其學(xué)習(xí)期待。

-技術(shù)支持措施：計(jì)劃開(kāi)展“微積分可視化技術(shù)工作坊”，由教師團(tuán)隊(duì)共同開(kāi)發(fā)系列交互式教學(xué)資源，并建立“技術(shù)使用案例庫(kù)”。每周組織15分鐘“技術(shù)答疑會(huì)”，由技術(shù)骨干教師提供個(gè)性化指導(dǎo)。為教師配備“平板電腦