初中數(shù)學分式運算高效練習題集一、引言分式運算作為初中代數(shù)的核心內容之一，是后續(xù)學習分式方程、函數(shù)（如反比例函數(shù)）、不等式等知識的基礎，也是解決實際問題（如比例分配、濃度問題、工程問題）的重要工具。熟練掌握分式運算，不僅能提升代數(shù)運算能力，更能培養(yǎng)邏輯推理和化簡意識。本練習題集以基礎鞏固—進階提升—綜合應用為梯度，覆蓋分式運算的全部題型（約分、通分、加減、乘除、混合運算、化簡求值），并附知識點回顧、典型例題、高效練習題及解題技巧，旨在幫助學生系統(tǒng)掌握分式運算的規(guī)律與技巧，提高解題效率。二、基礎題型訓練（一）分式的約分與通分知識點回顧約分：根據分式的基本性質（分子、分母同乘/除以不為0的整式，分式值不變），約去分子、分母的公因式，化為最簡分式（分子、分母無公因式）。通分：將異分母分式化為同分母分式，最簡公分母是各分母所有因式的最高次冪的乘積（如分母為\(x^2-4\)和\(x+2\)，最簡公分母為\((x+2)(x-2)\)）。典型例題1.約分：\(\dfrac{xy-x^2}{x^2-2xy+y^2}\)解析：分子因式分解為\(x(y-x)\)，分母因式分解為\((x-y)^2\)，注意\(y-x=-(x-y)\)，故原式\(=\dfrac{-x(x-y)}{(x-y)^2}=-\dfrac{x}{x-y}\)。2.通分：\(\dfrac{1}{x+1}\)與\(\dfrac{1}{x-1}\)解析：最簡公分母為\((x+1)(x-1)\)，通分后分別為\(\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}\)、\(\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}\)。高效練習題1.約分：\(\dfrac{8a^3b^2}{12a^2b^3}\)（答案：\(\dfrac{2a}{3b}\)）2.約分：\(\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}\)（答案：\(\dfrac{x-3}{x+3}\)）3.通分：\(\dfrac{1}{2x}\)與\(\dfrac{1}{3x^2}\)（最簡公分母：\(6x^2\)，通分后：\(\dfrac{3x}{6x^2}\)、\(\dfrac{2}{6x^2}\)）4.通分：\(\dfrac{1}{x^2-2x}\)與\(\dfrac{1}{x-2}\)（最簡公分母：\(x(x-2)\)，通分后：\(\dfrac{1}{x(x-2)}\)、\(\dfrac{x}{x(x-2)}\)）（二）分式的加減運算知識點回顧同分母分式加減：分母不變，分子相加減（結果需化簡）。例：\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{a}=\dfrac{5}{a}\)，\(\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}\)。異分母分式加減：先通分（化為同分母），再按同分母分式加減計算。例：\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{y+x}{xy}\)，\(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}\)。典型例題計算：\(\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{2}{1-x}\)解析：\(1-x=-(x-1)\)，故原式\(=\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}\)（符號處理是關鍵）。高效練習題1.\(\dfrac{5}{2a}+\dfrac{3}{2a}\)（答案：\(\dfrac{4}{a}\)）2.\(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x-2}\)（答案：\(\dfrac{-4}{(x+2)(x-2)}\)）3.\(\dfrac{2}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}\)（提示：分母因式分解為\((x+2)(x-2)\)和\(x+2\)，通分后計算，答案：\(\dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}\)）4.\(\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{1-x}\)（答案：\(1\)）（三）分式的乘除與乘方知識點回顧乘法：分子乘分子，分母乘分母，再約分（\(\dfrac{a}\cdot\dfrac{c}sgai6ya=\dfrac{ac}{bd}\)）。除法：乘以除數(shù)的倒數(shù)，再按乘法計算（\(\dfrac{a}\div\dfrac{c}m664e6s=\dfrac{a}\cdot\dfracaye6wks{c}\)）。乘方：分子、分母分別乘方（\((\dfrac{a})^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)，\(n\)為正整數(shù)）。典型例題1.計算：\(\dfrac{2x}{y^2}\cdot\dfrac{y}{4x^2}\)解析：先約分（\(2x\)與\(4x^2\)約去\(2x\)，\(y\)與\(y^2\)約去\(y\)），得\(\dfrac{1}{2xy}\)（先約分再計算，避免繁瑣）。2.計算：\(\dfrac{3a}{b^2}\div\dfrac{6a^2}\)解析：轉化為乘法\(\dfrac{3a}{b^2}\cdot\dfrac{6a^2}\)，約分后得\(\dfrac{1}{2ab}\)。高效練習題1.\(\dfrac{5a^2b}{3c}\cdot\dfrac{9c^2}{10ab^2}\)（答案：\(\dfrac{3ac}{2b}\)）2.\(\dfrac{x^2-4}{x+2}\div(x-2)\)（提示：分子因式分解為\((x-2)(x+2)\)，答案：\(1\)）3.\((\dfrac{2x}{3y})^2\)（答案：\(\dfrac{4x^2}{9y^2}\)）4.\(\dfrac{2x}{3y}\cdot\dfrac{9y^2}{4x^2}\div\dfrac{3y}{x}\)（提示：轉化為乘法后約分，答案：\(\dfrac{1}{2}\)）三、進階題型訓練（一）分式的混合運算知識點回顧運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號先算括號內（與有理數(shù)混合運算一致）。典型例題計算：\((1-\dfrac{1}{a})\div\dfrac{a^2-1}{a}\)解析：1.算括號內：\(1-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-1}{a}\)；2.除法轉化為乘法：\(\dfrac{a-1}{a}\cdot\dfrac{a}{(a-1)(a+1)}\)；3.約分：約去\(a\)和\((a-1)\)，得\(\dfrac{1}{a+1}\)。高效練習題1.\((\dfrac{x}{x+2}+\dfrac{2}{x-2})\div\dfrac{1}{x^2-4}\)（提示：括號內通分后，乘以\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，答案：\(x^2+4\)）2.\([\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}]\cdot(x^2-1)\)（答案：\(x-3\)）3.\(\dfrac{a^2-1}{a^2+2a+1}\div\dfrac{a-1}{a}\cdot\dfrac{a+1}{a}\)（答案：\(1\)）（二）分式的化簡求值知識點回顧步驟：先化簡（化為最簡分式或整式），再代入數(shù)值計算（避免直接代入的繁瑣，且需注意代入值不能使分母為0）。典型例題化簡求值：\(\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-1}\div\dfrac{x-1}{x+1}\)，其中\(zhòng)(x=3\)。解析：1.因式分解：分子\((x-1)^2\)，分母\((x-1)(x+1)\)；2.化簡：\(\dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}\cdot\dfrac{x+1}{x-1}=1\)；3.代入：\(x=3\)時，結果為\(1\)（化簡后結果與\(x\)無關，需確認化簡是否正確）。高效練習題1.化簡求值：\((\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{x+1})\div\dfrac{1}{x^2-1}\)，其中\(zhòng)(x=2\)（提示：通分后乘以\(x^2-1\)，化簡得\(x^2+1\)，代入得\(5\)）。2.化簡求值：\(\dfrac{a^2-4}{a^2+4a+4}\cdot\dfrac{a+2}{a-2}\)，其中\(zhòng)(a=1\)（提示：分子分母因式分解后約分，化簡得\(1\)，代入得\(1\)）。四、綜合測試題（10道）1.約分：\(\dfrac{12x^3y^2}{18x^2y^3}\)（答案：\(\dfrac{2x}{3y}\)）2.通分：\(\dfrac{1}{x+1}\)與\(\dfrac{1}{x-1}\)（答案：最簡公分母\((x+1)(x-1)\)，通分后為\(\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}\)、\(\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}\)）3.計算：\(\dfrac{3}{2x}+\dfrac{5}{2x}\)（答案：\(\dfrac{4}{x}\)）4.計算：\(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}\)（答案：\(\dfrac{6}{(x-3)(x+3)}\)）5.計算：\(\dfrac{2x}{y}\cdot\dfrac{y^2}{4x^2}\)（答案：\(\dfrac{y}{2x}\)）6.計算：\(\dfrac{x^2-1}{x}\div(x+1)\)（答案：\(\dfrac{x-1}{x}\)）7.混合運算：\((1-\dfrac{1}{a})\cdot\dfrac{a^2}{a-1}\)（答案：\(a\)）8.化簡求值：\(\dfrac{x^2-4}{x+2}\div(x-2)\)，其中\(zhòng)(x=1\)（答案：\(1\)）9.混合運算：\([\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}]\cdot(x^2-1)\)（答案：\(x-3\)）10.化簡求值：\((\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a})\cdot\dfrac{a^2-1}{a}\)，其中\(zhòng)(a=2\)（提示：括號內化簡為\(1\)，結果為\(\dfrac{a^2-1}{a}\)，代入得\(\dfrac{3}{2}\)）五、分式運算解題技巧總結1.因式分解優(yōu)先：約分、通分、處理分子分母多項式時，先因式分解（提公因式、公式法），能快速找到公因式或最簡公分母。2.符號處理謹慎：分式中的負號可移到分子、分母或整個分式前（如\(\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{x-1}\)），避免符號錯誤。3.先約分再計算：分式乘除時，先約去分子分母的公因式，再相乘，減少計算量（如\(\dfrac{2x}{y^2}\cdot\dfrac{y}{4x^2}=\dfrac{1}{2xy}\)）。