小升初典型奧數(shù)行程問題專項訓(xùn)練一、引言：行程問題——奧數(shù)中的“思維體操”行程問題是小升初奧數(shù)的核心模塊之一，約占奧數(shù)題量的15%-20%。它以“路程、速度、時間”三者的關(guān)系為基礎(chǔ)，通過運動方向（相向、同向、背向）、運動時間（同時、不同時）、運動狀態(tài)（勻速、變速、停留）的組合，衍生出多種復(fù)雜題型。解決行程問題的關(guān)鍵在于：理清運動邏輯→繪制線段圖→建立數(shù)量關(guān)系。本文將拆解6類典型行程問題，從概念推導(dǎo)到例題解析，再到技巧總結(jié)，幫你構(gòu)建完整的解題體系。二、相遇問題：相向而行的“速度和”密碼1.核心概念與公式推導(dǎo)定義：兩個物體從兩地出發(fā)，相向而行（面對面走），直到相遇的問題。關(guān)鍵邏輯：相遇時，兩者走過的路程之和等于總路程；兩者的相對速度等于速度和（即兩人“一起走”的速度）?；竟剑篭[\text{總路程}=(\text{甲速度}+\text{乙速度})\times\text{相遇時間}\]\[\text{相遇時間}=\text{總路程}\div(\text{甲速度}+\text{乙速度})\]推導(dǎo)過程：假設(shè)甲速度為\(v_甲\)，乙速度為\(v_乙\)，相遇時間為\(t\)。則甲走的路程為\(v_甲\timest\)，乙走的路程為\(v_乙\timest\)，總路程\(S=v_甲t+v_乙t=(v_甲+v_乙)t\)，因此相遇時間\(t=S\div(v_甲+v_乙)\)。2.典型例題解析例1（基礎(chǔ)題）：甲、乙兩地相距1200米，A從甲地出發(fā)，速度60米/分；B從乙地出發(fā)，速度40米/分。兩人同時出發(fā)，相向而行，多久后相遇？解題步驟：確定總路程：1200米；計算速度和：60+40=100（米/分）；相遇時間：1200÷100=12（分鐘）。例2（變式題：不同時出發(fā)）：甲、乙兩地相距1200米，A先從甲地出發(fā)，速度60米/分，30分鐘后B從乙地出發(fā)，速度40米/分。B出發(fā)后多久相遇？解題步驟：A先走的路程：60×30=1800（米）？不對！等一下，總路程才1200米，A30分鐘走了1800米，已經(jīng)超過乙地了，這說明題目數(shù)據(jù)有問題，應(yīng)該調(diào)整為A先走5分鐘。修正題目：A先走5分鐘，走了60×5=300（米）；剩余路程：1200-300=900（米）；速度和：60+40=100（米/分）；B出發(fā)后的相遇時間：900÷100=9（分鐘）；總時間：5+9=14（分鐘）。例3（提高題：多次相遇）：甲、乙兩車同時從A、B兩地出發(fā)，相向而行，第一次相遇在離A地60千米處。相遇后兩車繼續(xù)前進，到達對方出發(fā)點后立即返回，第二次相遇在離B地30千米處。求A、B兩地的距離。解題關(guān)鍵：多次相遇時，總路程是兩地距離的\(2n-1\)倍（\(n\)為相遇次數(shù)）。解題步驟：第一次相遇：兩車共走1個全程，甲走了60千米；第二次相遇：兩車共走3個全程（\(2×2-1=3\)），甲走了\(60×3=180\)千米；此時甲走的路程=1個全程+30千米（從A到B再返回30千米）；因此，全程=180-30=150（千米）。3.解題技巧總結(jié)線段圖法：用線段表示總路程，標記相遇點，直觀展示兩者的路程關(guān)系；不同時出發(fā)：先計算其中一方單獨走的路程，再用剩余路程求相遇時間；多次相遇：總路程=全程×(2n-1)，再結(jié)合某一方的路程求解。三、追及問題：同向而行的“速度差”博弈1.核心概念與公式推導(dǎo)定義：兩個物體從同一地點或不同地點出發(fā)，同向而行（朝同一方向走），速度快的物體追上速度慢的物體的問題。關(guān)鍵邏輯：追上時，速度快的物體比速度慢的物體多走的路程等于初始路程差；兩者的相對速度等于速度差（即“追上的速度”）?；竟剑篭[\text{路程差}=(\text{快速度}-\text{慢速度})\times\text{追及時間}\]\[\text{追及時間}=\text{路程差}\div(\text{快速度}-\text{慢速度})\]推導(dǎo)過程：假設(shè)快速度為\(v_快\)，慢速度為\(v_慢\)，追及時間為\(t\)。則快的走了\(v_快t\)，慢的走了\(v_慢t\)，路程差\(\DeltaS=v_快t-v_慢t=(v_快-v_慢)t\)，因此追及時間\(t=\DeltaS\div(v_快-v_慢)\)。2.典型例題解析例1（基礎(chǔ)題）：甲在乙前面50米，甲速度80米/分，乙速度100米/分。乙多久能追上甲？解題步驟：路程差：50米；速度差：100-80=20（米/分）；追及時間：50÷20=2.5（分鐘）。例2（變式題：環(huán)形跑道追及）：環(huán)形跑道長400米，甲速度250米/分，乙速度200米/分。兩人同時同地出發(fā)，同向而行，甲第一次追上乙需要多久？解題關(guān)鍵：環(huán)形跑道追及，路程差=跑道一圈長度（甲比乙多跑一圈才能追上）。解題步驟：路程差：400米；速度差：250-200=50（米/分）；追及時間：400÷50=8（分鐘）。例3（提高題：中途停留）：甲、乙同時從A地出發(fā)去B地，甲速度60米/分，乙速度50米/分。甲走10分鐘后休息2分鐘，乙一直走。乙多久能追上甲？解題步驟：甲10分鐘走的路程：60×10=600（米）；甲休息2分鐘，乙在這2分鐘走了：50×2=100（米）；此時甲在乙前面：600-100=500（米）；甲重新出發(fā)后，速度差：60-50=10（米/分）；追及時間：500÷10=50（分鐘）；總時間：10+2+50=62（分鐘）。3.解題技巧總結(jié)路程差的確定：同地出發(fā)，路程差=0（需多跑一圈）；不同地出發(fā)，路程差=初始距離；環(huán)形跑道：追及一次的路程差=一圈長度，追及\(n\)次的路程差=\(n\)圈長度；中途停留：計算停留期間對方走的路程，調(diào)整路程差后再求追及時間。四、流水行船問題：水速影響下的“速度變化”1.核心概念與公式推導(dǎo)定義：船在水中行駛，受到水流速度的影響，分為順水（船速+水速）和逆水（船速-水速）兩種情況。關(guān)鍵邏輯：順水速度=船在靜水中的速度（船速）+水流速度（水速）；逆水速度=船速-水速；船速=（順水速度+逆水速度）÷2（平均速度）；水速=（順水速度-逆水速度）÷2（水流對船速的影響）。推導(dǎo)過程：設(shè)船速為\(v_船\)，水速為\(v_水\)，則順水速度\(v_順=v_船+v_水\)，逆水速度\(v_逆=v_船-v_水\)。將兩式相加，得\(v_順+v_逆=2v_船\)，因此\(v_船=(v_順+v_逆)÷2\)；兩式相減，得\(v_順-v_逆=2v_水\)，因此\(v_水=(v_順-v_逆)÷2\)。2.典型例題解析例1（基礎(chǔ)題）：一艘船順水速度20千米/時，逆水速度15千米/時，求船速和水速。解題步驟：船速：(20+15)÷2=17.5（千米/時）；水速：(20-15)÷2=2.5（千米/時）。例2（變式題：往返路程）：A、B兩地相距120千米，船順水從A到B需要4小時，逆水從B到A需要6小時，求船速和水速。解題步驟：順水速度：120÷4=30（千米/時）；逆水速度：120÷6=20（千米/時）；船速：(30+20)÷2=25（千米/時）；水速：(30-20)÷2=5（千米/時）。例3（提高題：順水逆水時間差）：一艘船從A到B順水需要3小時，從B到A逆水需要5小時。已知水速2千米/時，求A、B兩地距離。解題步驟：設(shè)船速為\(x\)千米/時，則順水速度\(x+2\)，逆水速度\(x-2\)；根據(jù)路程相等，列方程：\(3(x+2)=5(x-2)\)；解方程：\(3x+6=5x-10\)→\(2x=16\)→\(x=8\)；路程：3×(8+2)=30（千米）。3.解題技巧總結(jié)公式記憶：順水快（加?速），逆水慢（減水速）；船速是平均，水速是差的一半；往返問題：路程相等，可通過順水、逆水時間求速度；方程法：未知量較多時，設(shè)船速或水速為未知數(shù)，根據(jù)路程相等列方程。五、火車過橋問題：“車身長度”的隱藏陷阱1.核心概念與公式推導(dǎo)定義：火車通過橋梁、隧道時，需要考慮火車自身的長度，總路程=橋長+火車長。關(guān)鍵邏輯：火車“完全通過”橋的定義是從車頭進橋到車尾出橋，因此行駛的路程等于橋長加上火車長度?；竟剑篭[\text{總路程}=\text{橋長}+\text{火車長}=\text{火車速度}\times\text{通過時間}\]2.典型例題解析例1（基礎(chǔ)題）：火車長150米，橋長350米，火車速度20米/秒，通過橋需要多久？解題步驟：總路程：150+350=500（米）；通過時間：500÷20=25（秒）。例2（變式題：火車過隧道）：隧道長500米，火車通過隧道用了30秒，火車速度20米/秒，求火車長度。解題步驟：總路程：20×30=600（米）；火車長：600-500=100（米）。例3（提高題：兩火車相遇）：甲火車長200米，速度30米/秒；乙火車長150米，速度20米/秒。兩火車相向而行，從車頭相遇到車尾相離需要多久？解題關(guān)鍵：兩火車相遇的總路程=甲火車長+乙火車長（從車頭相遇到車尾相離，兩車共行駛了兩車的長度之和）。解題步驟：總路程：200+150=350（米）；速度和：30+20=50（米/秒）；時間：350÷50=7（秒）。3.解題技巧總結(jié)“完全通過”的定義：車頭進，車尾出，總路程=橋長+車長；兩火車相遇/追及：相遇時總路程=兩車長之和（速度和×?xí)r間）；追及時總路程=兩車長之和（速度差×?xí)r間）；單位統(tǒng)一：注意速度單位（米/秒、千米/時）與時間單位的統(tǒng)一。六、比例行程問題：“倍數(shù)關(guān)系”的快捷解法1.核心概念與公式推導(dǎo)定義：利用“路程、速度、時間”三者的比例關(guān)系解決問題，適用于路程一定、速度一定或時間一定的情況。關(guān)鍵邏輯：路程一定時，速度與時間成反比（速度越快，時間越短）；速度一定時，路程與時間成正比（時間越長，路程越遠）；時間一定時，路程與速度成正比（速度越快，路程越遠）。公式表達：路程一定：\(v_甲:v_乙=t_乙:t_甲\)；速度一定：\(S_甲:S_乙=t_甲:t_乙\)；時間一定：\(S_甲:S_乙=v_甲:v_乙\)。2.典型例題解析例1（基礎(chǔ)題：路程一定）：甲、乙速度比是4:5，走同樣的路程，甲用了10分鐘，乙用了多久？解題步驟：路程一定，速度與時間成反比，因此\(t_甲:t_乙=v_乙:v_甲=5:4\)；設(shè)乙用了\(x\)分鐘，則\(10:x=5:4\)→\(5x=40\)→\(x=8\)（分鐘）。例2（變式題：時間一定）：甲、乙同時出發(fā)，速度比是3:2，1小時后甲比乙多走了20千米，求甲、乙的速度。解題步驟：時間一定，路程與速度成正比，因此\(S_甲:S_乙=3:2\)；甲比乙多走的份數(shù)：3-2=1（份），對應(yīng)20千米；甲的路程：3×20=60（千米），速度=60÷1=60（千米/時）；乙的路程：2×20=40（千米），速度=40÷1=40（千米/時）。例3（提高題：比例綜合）：甲、乙兩車從A到B，甲速度是乙的\(\frac{3}{4}\)，甲比乙早出發(fā)1小時，卻比乙晚到2小時，求乙走完全程的時間。解題步驟：設(shè)乙速度為\(4v\)，則甲速度為\(3v\)；設(shè)乙時間為\(t\)小時，則甲時間為\(t+1+2=t+3\)小時；路程相等，列方程：\(4v\timest=3v\times(t+3)\)；約去\(v\)，得\(4t=3t+9\)→\(t=9\)（小時）。3.解題技巧總結(jié)比例判斷：先確定哪個量一定（路程、速度、時間），再判斷另外兩個量的比例關(guān)系；份數(shù)法：將比例轉(zhuǎn)化為份數(shù)，通過“份數(shù)差”對應(yīng)“實際差”求解；方程法：比例問題也可設(shè)未知數(shù)，通過路程相等列方程（如例3）。七、專項練習(xí)：從基礎(chǔ)到進階的鞏固訓(xùn)練1.相遇問題（1）甲、乙兩地相距800米，A速度50米/分，B速度30米/分，同時出發(fā)相向而行，多久相遇？（答案：10分鐘）（2）A、B兩地相距1500米，A先出發(fā)2分鐘，速度60米/分，B再出發(fā)，速度40米/分，B出發(fā)后多久相遇？（答案：13.8分鐘）（3）甲、乙兩車第一次相遇在離A地50千米處，第二次相遇在離A地30千米處，求A、B兩地距離。（答案：90千米）2.追及問題（1）甲在乙后面30米，甲速度70米/分，乙速度50米/分，甲多久追上乙？（答案：1.5分鐘）（2）環(huán)形跑道長300米，甲速度180米/分，乙速度120米/分，同時同地同向出發(fā)，甲第一次追上乙需要多久？（答案：5分鐘）（3）甲速度80米/分，乙速度60米/分，甲先出發(fā)1分鐘，乙再出發(fā)，乙多久能追上甲？（答案：4分鐘）3.流水行船問題（1）順水速度18千米/時，逆水速度12千米/時，求船速和水速。（答案：15千米/時，3千米/時）（2）A、B兩地相距90千米，順水需要3小時，逆水需要5小時，求船速和水速。（答案：24千米/時，6千米/時）（3）船速20千米/時，水速5千米