高三數(shù)學函數(shù)與微積分專題復習卷——核心考點梳理與解題策略引言函數(shù)是高中數(shù)學的“基石”，導數(shù)與微積分則是函數(shù)研究的“工具”與“延伸”。在高考中，函數(shù)與微積分專題占分比例約為30%~40%，涵蓋選擇、填空、解答題等多種題型，重點考查邏輯推理、數(shù)學運算與直觀想象能力。本復習卷圍繞函數(shù)綜合應用、導數(shù)的核心應用、微積分初步三大專題，梳理核心考點、解析典型例題、警示易錯點，并配套針對性練習，助力學生系統(tǒng)復習、高效提分。專題一：函數(shù)的綜合應用函數(shù)的基本性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）是導數(shù)與微積分的基礎，也是高考的“必考點”。一、核心考點梳理1.定義域：求定義域的關鍵是滿足“有意義”條件：分式：分母≠0；根式（偶次）：被開方數(shù)≥0；對數(shù)：真數(shù)>0，底數(shù)>0且≠1；三角函數(shù)：如tanx的定義域為\(x≠kπ+\frac{π}{2}\)（\(k∈Z\)）；復合函數(shù)：從內(nèi)到外逐層求定義域。2.值域：常用方法：單調(diào)性法（適用于單調(diào)函數(shù)）；換元法（如\(y=ax+b+\sqrt{cx+d}\)，設\(t=\sqrt{cx+d}\)）；判別式法（適用于二次分式函數(shù)，如\(y=\frac{x2+1}{x2-1}\)）；幾何法（如三角函數(shù)有界性：\(sinx∈[-1,1]\)）。3.單調(diào)性：定義法：取值→作差→變形→定號→結(jié)論；導數(shù)法（后續(xù)專題詳細講解）。4.奇偶性：定義：\(f(-x)=f(x)\)（偶函數(shù)，圖像關于y軸對稱）；\(f(-x)=-f(x)\)（奇函數(shù)，圖像關于原點對稱）；前提：定義域關于原點對稱。5.周期性：常見周期函數(shù)形式：\(f(x+a)=-f(x)\)，周期為\(2a\)；\(f(x+a)=\frac{1}{f(x)}\)，周期為\(2a\)；\(f(x+a)=f(x-a)\)，周期為\(2a\)。6.圖像變換：平移：左加右減（x軸），上加下減（y軸）；伸縮：橫坐標伸縮為\(\frac{1}{k}\)（\(y=f(kx)\)），縱坐標伸縮為\(k\)（\(y=kf(x)\)）；對稱：關于x軸對稱（\(y=-f(x)\)）、關于y軸對稱（\(y=f(-x)\)）、關于原點對稱（\(y=-f(-x)\)）。二、典型例題解析例1（定義域）：求函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{ln(2-x)}\)的定義域。解析：根號內(nèi)非負：\(x-1≥0\)→\(x≥1\)；分母≠0：\(ln(2-x)≠0\)→\(2-x≠1\)→\(x≠1\)；對數(shù)真數(shù)>0：\(2-x>0\)→\(x<2\)。綜上，定義域為\((1,2)\)。例2（值域）：求函數(shù)\(y=x+\sqrt{1-2x}\)的值域。解析：設\(t=\sqrt{1-2x}\)（\(t≥0\)），則\(x=\frac{1-t2}{2}\)，代入得：\(y=\frac{1-t2}{2}+t=-\frac{1}{2}t2+t+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(t-1)2+1\)。當\(t=1\)時，\(y_{max}=1\)；當\(t→+∞\)時，\(y→-∞\)。故值域為\((-∞,1]\)。三、易錯點警示1.定義域遺漏條件：如\(f(x)=\frac{1}{lnx}\)，易忽略\(lnx≠0\)（即\(x≠1\)），導致定義域錯誤為\((0,+∞)\)（正確應為\((0,1)∪(1,+∞)\)）。2.奇偶性判斷忽略定義域：如\(f(x)=x2\)（\(x∈[1,2]\)），定義域不關于原點對稱，非奇非偶。3.圖像變換方向錯誤：如\(y=f(x+1)\)是\(y=f(x)\)向左平移1個單位，而非向右。四、針對性練習1.求函數(shù)\(f(x)=\frac{log?(4-x2)}{\sqrt{x+1}}\)的定義域；2.求函數(shù)\(y=2x-1+\sqrt{x-1}\)的值域；3.判斷函數(shù)\(f(x)=\frac{x3}{x2+1}\)的奇偶性。專題二：導數(shù)的應用導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的“利器”，也是高考解答題的“壓軸考點”（如2023年全國卷Ⅰ第21題）。一、核心考點梳理1.導數(shù)的幾何意義：曲線\(y=f(x)\)在點\((x?,f(x?))\)處的切線斜率為\(f’(x?)\)，切線方程為：\[y-f(x?)=f’(x?)(x-x?)\]（注：過點\((a,b)\)求切線時，需先判斷點是否在曲線上，若不在，設切點為\((x?,f(x?))\)，再列方程求解）。2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間：若\(f’(x)>0\)在區(qū)間\(I\)上恒成立，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增；若\(f’(x)<0\)在區(qū)間\(I\)上恒成立，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞減；單調(diào)區(qū)間是定義域的子集（如\(f(x)=lnx\)的導數(shù)\(f’(x)=\frac{1}{x}>0\)，但單調(diào)遞增區(qū)間為\((0,+∞)\)）。3.極值與最值：極值：導數(shù)為0的點（臨界點），且左右導數(shù)符號變化（左正右負為極大值，左負右正為極小值）；最值：閉區(qū)間\([a,b]\)上的最值出現(xiàn)在端點或極值點處。4.導數(shù)與零點：函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)有零點的條件：零點存在定理：\(f(a)f(b)<0\)；結(jié)合單調(diào)性：若\(f(x)\)在\((a,b)\)單調(diào)，則零點唯一。5.導數(shù)與不等式：證明\(f(x)≥g(x)\)（\(x∈I\)）的步驟：構(gòu)造輔助函數(shù)\(h(x)=f(x)-g(x)\)；求\(h(x)\)的導數(shù)\(h’(x)\)，分析其單調(diào)性；求\(h(x)\)的最小值，若最小值≥0，則不等式成立。二、典型例題解析例3（切線方程）：過點\((2,5)\)求曲線\(y=x2\)的切線方程。解析：點\((2,5)\)不在曲線上，設切點為\((x?,x?2)\)，導數(shù)\(f’(x)=2x\)，切線斜率為\(2x?\)。切線方程為：\(y-x?2=2x?(x-x?)\)，代入點\((2,5)\)得：\[5-x?2=2x?(2-x?)\]化簡得：\(x?2-4x?+5=0\)？不，等一下，計算錯誤：\(5-x?2=2x?*2-2x?*x?\)→\(5-x?2=4x?-2x?2\)→\(x?2-4x?+5=0\)？不對，應該是\(5-x?2=4x?-2x?2\)→\(x?2-4x?+5=0\)？判別式\(16-20=-4<0\)，這說明我哪里錯了？哦，等一下，\(y=x2\)在點\((x?,x?2)\)的切線方程是對的，但代入點\((2,5)\)應該是：\(5-x?2=2x?(2-x?)\)，展開右邊是\(4x?-2x?2\)，移項得\(5-x?2-4x?+2x?2=0\)→\(x?2-4x?+5=0\)？不對，這說明點\((2,5)\)不在切線上？不，等一下，\(y=x2\)在\(x=2\)處的點是\((2,4)\)，切線方程是\(y=4x-4\)，過點\((2,5)\)的切線應該是怎樣的？哦，我犯了計算錯誤，正確的計算應該是：\(5-x?2=2x?(2-x?)\)→\(5-x?2=4x?-2x?2\)→\(x?2-4x?+5=0\)？不對，這說明我哪里錯了？哦，等一下，\(y=x2\)的導數(shù)是\(2x\)，所以切線方程是\(y=2x?(x-x?)+x?2=2x?x-x?2\)，代入點\((2,5)\)得\(5=4x?-x?2\)→\(x?2-4x?+5=0\)？不對，這說明點\((2,5)\)不在任何切線上？不對，比如\(x?=1\)，切線方程是\(y=2x-1\)，過點\((2,3)\)；\(x?=3\)，切線方程是\(y=6x-9\)，過點\((2,3)\)；哦，我剛才的點\((2,5)\)是不是錯了？比如換一個點，比如過點\((1,0)\)求\(y=x3\)的切線方程，這樣更合理。好的，調(diào)整例題：例3（切線方程）：過點\((1,0)\)求曲線\(y=x3\)的切線方程。解析：點\((1,0)\)不在曲線上（\(13=1≠0\)），設切點為\((x?,x?3)\)，導數(shù)\(f’(x)=3x2\)，切線斜率為\(3x?2\)。切線方程為：\(y-x?3=3x?2(x-x?)\)，代入點\((1,0)\)得：\[0-x?3=3x?2(1-x?)\]化簡得：\(-x?3=3x?2-3x?3\)→\(2x?3-3x?2=0\)→\(x?2(2x?-3)=0\)。解得\(x?=0\)或\(x?=\frac{3}{2}\)。當\(x?=0\)時，切線方程為\(y=0\)；當\(x?=\frac{3}{2}\)時，切線斜率為\(3*(\frac{3}{2})2=\frac{27}{4}\)，切線方程為\(y=\frac{27}{4}(x-1)\)。例4（單調(diào)性與極值）：求函數(shù)\(f(x)=x3-3x2+2\)的單調(diào)區(qū)間與極值。解析：求導：\(f’(x)=3x2-6x=3x(x-2)\)；找臨界點：\(f’(x)=0\)→\(x=0\)或\(x=2\)；分析單調(diào)性：當\(x<0\)時，\(f’(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當\(0<x<2\)時，\(f’(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當\(x>2\)時，\(f’(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；求極值：\(x=0\)時，\(f(0)=2\)，極大值；\(x=2\)時，\(f(2)=-2\)，極小值。三、易錯點警示1.切線方程忽略點的位置：過點\((a,b)\)求切線時，若點不在曲線上，必須設切點，否則會漏解（如例3中\(zhòng)(x?=0\)的情況）。2.單調(diào)區(qū)間忽略定義域：如\(f(x)=lnx-x\)，導數(shù)\(f’(x)=\frac{1}{x}-1\)，單調(diào)遞增區(qū)間為\((0,1)\)（而非\((-∞,1)\)）。3.極值點誤判：導數(shù)為0的點不一定是極值點（如\(f(x)=x3\)，\(x=0\)處導數(shù)為0，但非極值點），需判斷左右導數(shù)符號變化。四、針對性練習1.求曲線\(y=e^x\)在點\((0,1)\)處的切線方程；2.求函數(shù)\(f(x)=x2-2lnx\)的單調(diào)區(qū)間與極值；3.證明：當\(x>0\)時，\(x>ln(x+1)\)。專題三：微積分初步微積分是導數(shù)的“逆運算”，主要考查定積分的幾何意義與牛頓-萊布尼茨公式，難度適中但易失分。一、核心考點梳理1.定積分的概念：定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示“曲邊梯形的面積代數(shù)和”（\(f(x)≥0\)時為面積，\(f(x)≤0\)時為面積的相反數(shù)）。2.定積分的幾何意義：\(\int_{a}^\sqrt{R2-x2}dx\)：表示半徑為\(R\)的圓在第一象限的面積（\(\frac{1}{4}πR2\)）；奇函數(shù)在對稱區(qū)間的積分：\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)（如\(\int_{-1}^{1}x3dx=0\)）；偶函數(shù)在對稱區(qū)間的積分：\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)（如\(\int_{-1}^{1}x2dx=2\int_{0}^{1}x2dx\)）。3.基本積分公式：\(\intx?dx=\frac{x??1}{n+1}+C\)（\(n≠-1\)）；\(\inte^xdx=e^x+C\)；\(\int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C\)；\(\intsinxdx=-cosx+C\)；\(\intcosxdx=sinx+C\)。4.微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的原函數(shù)，則：\[\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\]二、典型例題解析例5（定積分的幾何意義）：求\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x2}dx\)的值。解析：該積分表示單位圓\(x2+y2=1\)在第一象限的面積，即\(\frac{1}{4}\)圓的面積，故值為\(\frac{π}{4}\)。例6（牛頓-萊布尼茨公式）：求\(\int_{0}^{2}(x2+1)dx\)的值。解析：找原函數(shù)：\(\intx2dx=\frac{x3}{3}\)，\(\int1dx=x\)，故原函數(shù)為\(F(x)=\frac{x3}{3}+x\)；代入上下限：\(F(2)-F(0)=(\frac{8}{3}+2)-0=\frac{14}{3}\)。三、易錯點警示1.定積分符號錯誤：求曲線\(y=x2-1\)與x軸圍成的面積時，應計算\(\int_{-1}^{1}|x2-1|dx\)（正確值為\(\frac{4}{3}\)），而非\(\int_{-1}^{1}(x2-1)dx\)（值為0）。2.積分公式記錯：\(\int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C\)（漏掉絕對值會導致定義域錯誤）；\(\inta^xdx=\frac{a^x}{lna}+C\)（易與\(e^x\)的積分混淆）。四、針對性練習1.求\(\int_{-1}^{1}x2dx\)的值；2.求曲線\(y=x\)與\(y=x2\)圍成的面積；3.求\(\int_{0}^{π}sinxdx\)的值。復習建議1.夯實基礎：熟練掌握函數(shù)性質(zhì)、導數(shù)公式、積分公式，確?！盎A題不丟分”。2.總結(jié)方法：針對切線方程、單調(diào)區(qū)間、不等式證明等考點，總結(jié)固定解題步驟（如切線方程的“設切點→列方程→求解”步驟）。3.重視錯題：整理易錯點（如定義域遺漏、切線漏解、定積分符號錯誤），定期復習，避免重復犯錯。4.綜合練習：選擇高考真題（如2021年全國卷Ⅱ第21題、2022年全國卷Ⅰ第19題）進行模擬訓練，提高解題速度與綜合能力。針對性練習參考答案專題一：1.\((-1,2)\)；2.\([1,+∞)\)（提示：設\(t=\sqrt{x-1}\)，則\(y=2(t2+1)-1+t=2t2+t+1\)，開口向上，最小值在\(t=0\)時