第七章數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)202X/01/01§7.8向量法求空間角(二)1.能用向量法解決平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問題中的作用.2.弄清折疊問題中的變量與不變量，掌握折疊問題中線面位置關(guān)系的判斷和空間角的計(jì)算問題.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時(shí)精練目錄落實(shí)主干知識(shí)01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝

.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)二面角的平面角為θ，則兩個(gè)平面的法向量的夾角也是θ.(

)(2)兩個(gè)平面的夾角的余弦值大于0.(

)(3)二面角的范圍是(0，π).(

)(4)若二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量n1，n2的夾角為θ，則二面角α－l－β的大小是π－θ.(

)××××

√3.(2024·酒泉模擬)設(shè)a＝(1，1，0)，b＝(t，0，1)分別為兩平面的法向量，若兩平面的夾角為60°，則t等于A.1 B.－1 C.－1或1 D.2

√4.(2024·安康模擬)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，AE⊥平面ABCD，若AE＝1，則平面ADE與平面BCE的夾角為

.45°

返回微點(diǎn)提醒探究核心題型02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

題型一平面與平面的夾角因?yàn)镻A⊥平面ABCD，而AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，而AB?平面PAB，所以AD⊥AB.因?yàn)锽C2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，根據(jù)平面知識(shí)可知AD∥BC，又AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.

微拓展二面角的大小可以通過這兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角，法向量的方向指向內(nèi)部的稱為“進(jìn)”入半平面；法向量的方向指向外部的稱為穿“出”半平面；當(dāng)法向量m，n“一進(jìn)一出”時(shí)，m，n的夾角就是二面角的大??；當(dāng)法向量m，n“同進(jìn)同出”時(shí)，m，n的夾角就是二面角的補(bǔ)角.利用法向量的方向判斷二面角典例在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，則二面角D1－EC－D的余弦值為

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利用空間向量計(jì)算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，然后通過這兩個(gè)向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2025·南通檢測)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1，BCC1B1均為正方形，AB＝BC＝2，AB⊥BC，D是AB的中點(diǎn).(1)求證：BC1∥平面A1DC；如圖，連接AC1，交A1C于E，連接DE.在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1是平行四邊形，故E是AC1的中點(diǎn)，又因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，則DE∥BC1.因?yàn)镈E?平面A1DC，BC1?平面A1DC，故BC1∥平面A1DC.(2)求平面A1DC與平面A1AC夾角的余弦值.

題型二

折疊問題與空間角

所以AE2＋EF2＝AF2，則AE⊥EF，即EF⊥AD，所以EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE＝E，PE，DE?平面PDE，所以EF⊥平面PDE，又PD?平面PDE，故EF⊥PD.(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.

三步解決平面圖形的折疊問題思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2024·濟(jì)寧模擬)圖1是由正方形ABCD和兩個(gè)正三角形△ADE，△CDF組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝2，現(xiàn)將△ADE沿AD折起使得平面ADE⊥平面ABCD，將△CDF沿CD折起使得平面CDF⊥平面ABCD，連接EF，BE，BF，如圖2.(1)求證：EF∥平面ABCD；

(2)求平面ADE與平面BCF夾角的大小.

返回課時(shí)精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案1234(1)∵CD是圓的直徑，∴CE⊥DE，又∵AD⊥平面CDE，CE?平面CDE，∴CE⊥AD，又∵DE∩AD＝D，DE，AD?平面ADE，∴CE⊥平面ADE，又AE?平面ADE，∴AE⊥CE.1.答案1234

1.答案1234

1.答案1234

1.答案1234

1.答案1234(1)由題可知AB⊥AE，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AB，所以EF⊥EC，EF⊥AE，又因?yàn)镋C∩AE＝E，EC，AE?平面AEC，所以EF⊥平面AEC，因?yàn)镋F?平面ABFE，所以平面AEC⊥平面ABFE.2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

3.答案1234所以CE⊥AB，CE⊥BC1，又因?yàn)锳B∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1，所以CE⊥平面ABC1.3.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

4.答案1234

4.答案1234

4.答案1234

4.1.(2024·茂名模擬)如圖，幾何體是圓柱的一半，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，O為CD的中點(diǎn)，E為半圓弧CD上異于C，D的一點(diǎn).(1)證明：AE⊥CE；1234知識(shí)過關(guān)答案1234答案∵CD是圓的直徑，∴CE⊥DE，又∵AD⊥平面CDE，CE?平面CDE，∴CE⊥AD，又∵DE∩AD＝D，DE，AD?平面ADE，∴CE⊥平面ADE，又AE?平面ADE，∴AE⊥CE.

1234答案1234答案

1234答案

1234答案

1234答案

1234答案由題可知AB⊥AE，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AB，所以EF⊥EC，EF⊥AE，又因?yàn)镋C∩AE＝E，EC，AE?平面AEC，所以EF⊥平面AEC，因?yàn)镋F?平面ABFE，所以平面AEC⊥平面ABFE.1234答案(2)求平面BCF與平面CEF夾角的余弦值.1234答案

1234答案

1234答案

1234答案

1234答案所以CE⊥AB，CE⊥BC1，又因?yàn)锳B∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1，所以CE⊥平面ABC1.1234答案(2)設(shè)二