難度系數(shù)0.7數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B的符號(hào)表示是？

A.A∩B

B.A∪B

C.A?B

D.A?B

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是一條拋物線，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開(kāi)口方向是？

A.向上

B.向下

C.平行于x軸

D.平行于y軸

3.極限lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)的值是？

A.0

B.1/5

C.3/5

D.∞

4.在三角函數(shù)中，sin(π/2)的值是？

A.0

B.1

C.-1

D.√2/2

5.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的轉(zhuǎn)置矩陣A^T是？

A.[[1,3],[2,4]]

B.[[1,2],[3,4]]

C.[[2,4],[1,3]]

D.[[3,4],[1,2]]

6.在概率論中，事件A和事件B互斥的意思是？

A.A發(fā)生時(shí)B一定發(fā)生

B.A發(fā)生時(shí)B一定不發(fā)生

C.A和B同時(shí)發(fā)生概率為1

D.A和B同時(shí)發(fā)生概率為0

7.在線性代數(shù)中，向量v=[1,2,3]的模長(zhǎng)|v|是？

A.√14

B.√15

C.√6

D.√10

8.在微積分中，導(dǎo)數(shù)f'(x)表示的是？

A.函數(shù)f(x)的斜率

B.函數(shù)f(x)的面積

C.函數(shù)f(x)的積分

D.函數(shù)f(x)的極限

9.在數(shù)列中，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是？

A.Sn=n(a1+an)/2

B.Sn=n^2(a1+an)/2

C.Sn=na1

D.Sn=n(an-a1)/2

10.在復(fù)數(shù)中，復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)是？

A.a-bi

B.-a+bi

C.-a-bi

D.bi-a

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的包括？

A.f(x)=x^2

B.f(x)=1/x

C.f(x)=|x|

D.f(x)=tan(x)

E.f(x)=sin(x)

2.在空間解析幾何中，向量a=[1,2,3]與向量b=[4,5,6]的向量積（叉積）是？

A.[-3,6,-3]

B.[3,-6,3]

C.[-1,2,-1]

D.[1,-2,1]

E.[0,0,0]

3.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，以下屬于隨機(jī)變量的是？

A.某班學(xué)生的平均身高

B.某城市某天的降雨量

C.拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面或反面的次數(shù)

D.圓的面積

E.某商品的價(jià)格

4.在微積分中，以下關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)法正確的有？

A.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處切線的斜率

B.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處瞬時(shí)變化率

C.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處平均變化率的極限

D.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)性的必要條件

E.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處可導(dǎo)性的充分條件

5.在線性代數(shù)中，以下關(guān)于矩陣的說(shuō)法正確的有？

A.矩陣的轉(zhuǎn)置不改變矩陣的秩

B.兩個(gè)可逆矩陣的乘積仍然可逆

C.矩陣的行列式為零當(dāng)且僅當(dāng)矩陣不可逆

D.矩陣的秩等于其列向量組的最大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)

E.矩陣的秩等于其行向量組的最大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=2，則lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h=_______。

2.已知向量a=[1,2,3]與向量b=[2,-1,1]，則向量a與向量b的夾角的余弦值是_______。

3.在等比數(shù)列{an}中，若首項(xiàng)a1=3，公比q=2，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和S5=_______。

4.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且事件A與事件B相互獨(dú)立，則事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的概率P(A∩B)=_______。

5.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的特征值是_______和_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限：lim(x→0)(sin(3x)-3sin(x))/x^3

2.計(jì)算定積分：∫[0,π/2]xsin(x)dx

3.求解微分方程：y'-y=e^x

4.計(jì)算向量積：設(shè)向量a=[1,2,3]，向量b=[4,5,6]，求向量a×b

5.求解線性方程組：x+2y+3z=1,2x+y+2z=3,3x+3y+z=2

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.A

3.B

4.B

5.A

6.D

7.B

8.A

9.A

10.A

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.A,C,E

2.A

3.A,B,C,E

4.A,B,C,D,E

5.A,B,C,D,E

三、填空題答案

1.2

2.1/3

3.45

4.0.42

5.-1,5

四、計(jì)算題答案及過(guò)程

1.解：

lim(x→0)(sin(3x)-3sin(x))/x^3=lim(x→0)[3cos(3x)-3cos(x)]/(3x^2)

=lim(x→0)[-9sin(3x)+3sin(x)]/(6x)

=lim(x→0)[-27cos(3x)+3cos(x)]/6

=(-27×1+3×1)/6=-24/6=-4

2.解：

∫[0,π/2]xsin(x)dx=-xcos(x)|[0,π/2]+∫[0,π/2]cos(x)dx

=-π/2×cos(π/2)+0×cos(0)+sin(x)|[0,π/2]

=0+(sin(π/2)-sin(0))=1-0=1

3.解：

y'-y=e^x

y'=y+e^x

y'-y=e^x

令y=e^(∫1dx)(u+v)'=u'v+uv'

令v=e^x，則v'=e^x

y=e^x(u+v)

y'=e^x(u'+v)+e^x(u+v)

y'=e^x(u'+v+u+v)

y'=e^x(u'+2v+u)

代入原方程：

e^x(u'+2v+u)-e^x(u+v)=e^x

e^x(u'+v)=e^x

u'+v=1

v=e^x

u'+e^x=1

u'=1-e^x

u=∫(1-e^x)dx=x-e^x+C

y=e^x(u+v)=e^x(x-e^x+C+e^x)=e^x(x+C)

特解為y=e^x(x+1)

4.解：

設(shè)向量a=[a1,a2,a3],向量b=[b1,b2,b3]

則a×b=[a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1]

對(duì)于a=[1,2,3],b=[4,5,6]

a×b=[2×6-3×5,3×4-1×6,1×5-2×4]

=[12-15,12-6,5-8]

=[-3,6,-3]

5.解：

使用高斯消元法：

x+2y+3z=1(1)

2x+y+2z=3(2)

3x+3y+z=2(3)

從(1)式得到x=1-2y-3z

代入(2)式：

2(1-2y-3z)+y+2z=3

2-4y-6z+y+2z=3

-3y-4z=1(4)

代入(3)式：

3(1-2y-3z)+3y+z=2

3-6y-9z+3y+z=2

-3y-8z=-1(5)

從(4)式和(5)式得到：

-3y-4z=1(4)

-3y-8z=-1(5)

用(4)式減去(5)式：

4z=2

z=1/2

代入(4)式：

-3y-4(1/2)=1

-3y-2=1

-3y=3

y=-1

代入x=1-2y-3z：

x=1-2(-1)-3(1/2)

x=1+2-3/2

x=3/2

解為x=3/2,y=-1,z=1/2

五、知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)和總結(jié)

1.函數(shù)與極限：函數(shù)的概念，極限的定義，極限的計(jì)算方法，連續(xù)性

2.導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，微分的概念，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3.不定積分：不定積分的概念，不定積分的計(jì)算方法，不定積分的應(yīng)用

4.定積分：定積分的概念，定積分的計(jì)算方法，定積分的應(yīng)用

5.向量代數(shù)：向量的基本運(yùn)算，向量的坐標(biāo)表示，向量的應(yīng)用

6.線性代數(shù)：矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣的秩，線性方程組

7.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)事件，概率，隨機(jī)變量，期望，方差

六、各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

1.選擇題：考察學(xué)生對(duì)基本概念的掌握程度，例如函數(shù)，極限，導(dǎo)數(shù)，積分，向量，矩陣，概率等

2.多項(xiàng)選擇題：考察學(xué)生對(duì)多個(gè)概念的掌握程度，以及概念之間的聯(lián)系，例如向量積與向量夾角的關(guān)系，隨機(jī)事件與概率的關(guān)系等

3.填空題：考察學(xué)生對(duì)基本計(jì)