1.1概述

1.2幾種常用的數(shù)制和碼制

1.3邏輯函數(shù)中三種最基本的邏輯運算

1.4復(fù)合邏輯運算

1.5邏輯函數(shù)的幾種表示方法及其相互轉(zhuǎn)換

1.6邏輯代數(shù)

1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

1.8關(guān)于正邏輯和負(fù)邏輯的規(guī)定及其轉(zhuǎn)換第1章數(shù)字電路基礎(chǔ)1.1.1數(shù)字信號和數(shù)字電路

電子系統(tǒng)中的信號可以分為兩大類：模擬信號和數(shù)字信號(如圖1-1所示)。模擬信號是時間連續(xù)、數(shù)值也連續(xù)的信號。數(shù)字信號是在時間上和數(shù)值上均離散的信號。具有對模擬信號進(jìn)行放大、濾波、調(diào)制、解調(diào)、傳輸?shù)忍幚砟芰Φ碾娐方凶瞿M電路。而數(shù)字電路就是能對數(shù)字信號進(jìn)行產(chǎn)生、存儲、傳輸、變換、運算及處理的電路。數(shù)字電路主要是研究輸出與輸入信號之間的對應(yīng)邏輯關(guān)系，其分析的主要工具是邏輯代數(shù)，因此數(shù)字電路又稱為“邏輯電路”。1.1概述圖1-1模擬信號和數(shù)字信號示意圖(a)模擬信號；(b)數(shù)字信號1.1.2數(shù)字電路的特點

數(shù)字電路具有以下一些特點：

(1)便于高度集成化。由于數(shù)字電路采用二進(jìn)制數(shù)，凡具有兩種狀態(tài)的電路都可用來表示0和1兩個數(shù)。因此基本單元電路的結(jié)構(gòu)簡化對實現(xiàn)數(shù)字電路的集成化十分有利。

(2)工作可靠性高、抗干擾能力強。數(shù)字電路用1和0來表示信號的有和無，數(shù)字電路辨別信號的有和無是很容易做到的，從而大大提高了電路的工作可靠性。同時，只要外界干擾在電路的噪聲容限范圍內(nèi)，電路都能正常工作，因此抗干擾能力強。

(3)便于長期保存。比如可將數(shù)字信息存入磁盤、光盤等長期保存。

(4)產(chǎn)品系列多、通用性強且成本低。可采用標(biāo)準(zhǔn)的邏輯部件和可編程邏輯器件來實現(xiàn)各種各樣的數(shù)字電路和系統(tǒng)，使用靈活。

(5)保密性好?？梢圆捎枚喾N編碼技術(shù)加密數(shù)字信息，使其不易被竊取。

(6)具有“邏輯思維”能力。數(shù)字電路不僅具有算術(shù)運算能力，而且還能按人們設(shè)計的規(guī)則進(jìn)行邏輯推理和邏輯判斷。1.1.3數(shù)字電路的分類

數(shù)字電路具有以下一些分類：

(1)按結(jié)構(gòu)不同，數(shù)字電路分為分立元件電路和集成電路。分立元件電路是將晶體管、電阻和電容等元器件用導(dǎo)線在線路板上連接而成的電路。集成電路(如圖1-2所示)則是將元器件和導(dǎo)線通過半導(dǎo)體制造工藝做在一塊硅片上而成為一個不可分割的整體電路。

根據(jù)集成度的不同把集成電路分為4類，見表1-1。這里的集成度是指組成集成電路的邏輯門或元器件個數(shù)。圖1-2集成電路表1-1集成電路分類

(2)按所集成的元件不同，數(shù)字電路分為雙極型(TTL電路)和單極型(CMOS電路)兩種。

(3)按電路工作原理不同，數(shù)字電路分為組合邏輯電路和時序邏輯電路兩種。關(guān)于這兩種電路的特點和具體電路將在后面的章節(jié)詳細(xì)介紹。1.1.4數(shù)字電路的應(yīng)用

如今，數(shù)字電路已廣泛應(yīng)用于計算機、自動化裝置、醫(yī)療儀器與設(shè)備、交通(如交通燈等)、電信(如衛(wèi)星通信等)、文娛活動等幾乎所有的生產(chǎn)生活領(lǐng)域中，可以毫不夸張地說，幾乎每人每天都在與數(shù)字電路打交道。1.2.1數(shù)制

數(shù)制是數(shù)的表示方法，為了描述數(shù)的大小或多少，人們采用進(jìn)位計數(shù)的方法，稱為進(jìn)位計數(shù)制，簡稱數(shù)制。組成數(shù)制的兩個基本要素是進(jìn)位基數(shù)與數(shù)位權(quán)值，簡稱基數(shù)與位權(quán)。

基數(shù)：一個數(shù)位上可能出現(xiàn)的基本數(shù)碼的個數(shù)，記為R。例如二進(jìn)制一個數(shù)位上包含0、1兩個數(shù)碼，基數(shù)R=2。十進(jìn)制有十個數(shù)碼，則基數(shù)R=10。1.2幾種常用的數(shù)制和碼制位權(quán)：位權(quán)是基數(shù)的冪，記為Ri，它與數(shù)碼在數(shù)中的位置有關(guān)。例如，十進(jìn)制數(shù)137=1×102+3×101+7×100，102、101、100分別為最高位、中間位和最低位的位權(quán)。

同一串?dāng)?shù)字，數(shù)制不同，代表的數(shù)值大小也不同。

1.各種數(shù)制及其表示方法

1)十進(jìn)制

十進(jìn)制的基數(shù)R=10，有0~9十個數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)則是逢十進(jìn)一，各位的權(quán)值為10的冪。

任意一個十進(jìn)制數(shù)(D)10，可以表示為

(D)10=kn10n－1+kn－110n－2+…+k1100+k010－1+…+k－m10m－1

(1.1)

2)二進(jìn)制

二進(jìn)制的基數(shù)R=2，有0、1兩個數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)則是逢二進(jìn)一，各位的權(quán)值是2的冪。

任意一個二進(jìn)制數(shù)(D)2，都可表示為

(D)2=kn2n－1+kn－12n－2+…+k120+k02－1+…+k－m2m－1

(1.2)

3)八進(jìn)制

八進(jìn)制的基數(shù)R=8，有0~7八個數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)則是逢八進(jìn)一，各位的權(quán)值是8的冪。

任意一個八進(jìn)制數(shù)(D)8，都可表示為

(D)8=kn8n－1+kn－18n－2+…+k180+k08－1+…+k－m8m－1

(1.3)

4)十六進(jìn)制

十六進(jìn)制數(shù)的基數(shù)R=16，有0~9、A~F共十六個數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)則是逢十六進(jìn)一，各位的權(quán)值是16的冪。

任意一個十六進(jìn)制數(shù)(D)16，都可表示為

(D)16=kn16n－1+kn－116n－2+…+k1160+k016－1+…+k－m16m－1

(1.4)

5)任意進(jìn)制(R進(jìn)制)

R進(jìn)制的基數(shù)為r，有0~(r－1)個數(shù)碼，一般表示為

(D)r=knrn－1+kn－1rn－2+…+k1r0+k0r－1+…+k－mrm－1

(1.5)為了便于對照，將常用的幾種數(shù)制之間的關(guān)系列于表1-2中。表1-2幾種常用數(shù)制及其對應(yīng)關(guān)系

2．?dāng)?shù)制間的轉(zhuǎn)換

1)R進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)

如果將R進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為等值的十進(jìn)制數(shù)，只需要將R進(jìn)制數(shù)按位權(quán)展開，再按十進(jìn)制運算規(guī)則運算即可得到十進(jìn)制數(shù)。

【例1.1】將二進(jìn)制數(shù)(1101.11)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。

解

(1101.11)2=1×23+1×22+0×21+1×20+1×2－1

+1×2－2=(13.75)10

【例1.2】將八進(jìn)制數(shù)(73.51)8轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。

解

(73.51)8=7×81+3×80+5×8－1+1×8－2=(59.64)10

【例1.3】將十六進(jìn)制數(shù)(F3D.54)16轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。解

(F3D.54)16=15×162+3×161+13×160+5×16－1+4×16－2=(3901.328125)10。

2)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為R進(jìn)制數(shù)

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為R進(jìn)制數(shù)時，需將十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換，然后將轉(zhuǎn)換結(jié)果合并起來。

(1)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

整數(shù)部分：用除2取余的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，先余為低，后余為高。

小數(shù)部分：用乘2取整的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，先整為高，后整為低。

【例1.4】將(27.625)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

解整數(shù)部分：

小數(shù)部分：

所以，有(27.625)10=(11011.101)2。

(2)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。

整數(shù)部分：用除8取余的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，先余為低，后余為高。

小數(shù)部分：用乘8取整的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，先整為高，后整為低。

【例1.5】將(207.5)10轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。

解整數(shù)部分：

小數(shù)部分：0.500×8=4.000。

取出整數(shù)4，余數(shù)為0，轉(zhuǎn)換結(jié)束。

綜上可得(207.5)10=(317.4)8。

(3)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。

整數(shù)部分：用除16取余的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，先余為低，后余為高。

小數(shù)部分：用乘16取整的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，先整為高，后整為低。

【例1.6】將(254.3584)10轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

解整數(shù)部分：

小數(shù)部分：

最終轉(zhuǎn)換結(jié)果為(254.3584)10=(FE.5BC)16。

3)二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)相互轉(zhuǎn)換

二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))的規(guī)則如下：

從小數(shù)點算起，向左或向右每3(或4)位分成一組，最后不足3(或4)位用0補齊，每組用1位等值的八進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))表示，即得到要轉(zhuǎn)換的八進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))。

【例1.7】將(10111011.01111)2轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)。

解二進(jìn)制010111011.011110

八進(jìn)制273.36

所以(10111011.01111)2=(273.36)8。

二進(jìn)制10111011.01111000

十六進(jìn)制BB.78

所以(10111011.01111)2=(BB.78)16。

反之，八進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時，只要將每位八進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))分別寫成相應(yīng)的3(或4)位二進(jìn)制數(shù)，按原來的順序排列起來即可。1.2.2碼制

1.二-十進(jìn)制碼

用4位二進(jìn)制數(shù)碼表示1位十進(jìn)制數(shù)的代碼，稱為二-十進(jìn)制碼，簡稱BCD碼(BinaryCoded

Decimal)。4位二進(jìn)制數(shù)有16種組合，而1位十進(jìn)制數(shù)只需要10種組合，因此，用4位二進(jìn)制碼表示1位十進(jìn)制數(shù)的組合方案有許多種。幾種常用的BCD碼如表1-3所示。表1-3幾種常用的BCD代碼

1)8421碼

8421碼是最常用的一種BCD碼，它和自然二進(jìn)制碼的組成相似，4位的權(quán)值從高到低依次是8、4、2、1。但不同的是，它只選取了4位自然二進(jìn)制碼16個組合中的前10個組合，即0000~1001，分別用來表示0~9十個數(shù)碼，稱為有效碼；剩下的6個組合1010~1111沒有采用，稱為無

效碼。

8421碼是一種有權(quán)碼，因而根據(jù)代碼的組成便可知道它所代表的值。設(shè)8421碼的各位為a3a2a1a0，則它所代表的值為

N=8a3+4a2+2a1+1a0

8421碼編碼簡單直觀，能很容易地實現(xiàn)8421碼到十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換。8421碼與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換只要直接按位轉(zhuǎn)換即可，例如，

(509.37)10=(010100001001.00110111)8421

2)余3碼

余3碼由8421碼加3(0011)得到?；蛘哒f是選取了4位自然二進(jìn)制碼16個組合中的中間10個，而舍棄頭、尾3個組合而形成。因此余3碼所代表的十進(jìn)制數(shù)可由下式算得：

N=8a3+4a2+2a1+1a0－3

式中，a3、a2、a1、a0為余3碼的各位數(shù)(0或1)。

余3碼是一種無權(quán)代碼，該代碼中的各位“1”不表示一個固定值，因而不直觀，且容易搞錯。余3碼也是一種自反代碼。例如，4的余3碼為0111，將它的各位取反得1000，即5的余3碼，而4與5對9互反。余3碼也常用于BCD碼的運算電路中。若將兩個余3碼相加，其和將比所表示的十進(jìn)制數(shù)及所對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)多6。當(dāng)和為10時，正好等于二進(jìn)制數(shù)的16，于是便從高位自動產(chǎn)生進(jìn)位信號。一個十進(jìn)制數(shù)用余3碼表示時，只要按位表示成余3碼即可，例如，

(85.93)10=(10111000.11000110)余3

2.可靠性編碼

1)格雷碼

格雷碼有多種編碼形式，但所有格雷碼都有兩個顯著的特點：一是相鄰性，二是循環(huán)性。相鄰性是指任意兩個相鄰的代碼間僅有1位狀態(tài)不同；循環(huán)性是指首尾的兩個代碼也具有相鄰性。因此，格雷碼也稱循環(huán)碼。表1-4列出了典型的格雷碼與十進(jìn)制碼及二進(jìn)制碼的對應(yīng)關(guān)系。表1-4典型格雷碼與十進(jìn)制碼及二進(jìn)制碼的對應(yīng)關(guān)系

2)奇偶校驗碼

數(shù)碼在傳輸、處理過程中，難免發(fā)生一些錯誤，即有的1錯成0，有的0錯成1。奇偶校驗碼是一種能夠檢驗出這種差錯的可靠性編碼。它的編碼方法是在信息碼組外增加1位監(jiān)督碼元。

增加監(jiān)督碼元后，使得整個碼組中1的數(shù)目為奇數(shù)或者為偶數(shù)。若為奇數(shù)，稱為奇校驗碼；若為偶數(shù)，稱為偶校驗碼。以4位二進(jìn)制代碼為例，采用奇偶校驗碼時，其編碼示于表1-5中。表1-5奇偶校驗碼1.3.1邏輯函數(shù)和邏輯變量

1.邏輯函數(shù)

在研究事件的因果關(guān)系時，決定事件變化的因素稱為邏輯自變量，對應(yīng)事件的結(jié)果稱為邏輯因變量，也叫邏輯結(jié)果，以某種形式表示邏輯自變量與邏輯結(jié)果之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。例如，當(dāng)邏輯自變量A、B、C、D、…的取值確定后，邏輯因變量Y的取值也就唯一確定了，則稱Y是A、B、C、D、…的邏輯函數(shù)，記作Y=f(A,B,C,D,…)。1.3邏輯函數(shù)中三種最基本的邏輯運算

2.邏輯變量

邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量。邏輯變量分為兩類，即輸入邏輯變量和輸出邏輯變量。無論是輸入邏輯變量還是輸出邏輯變量，它們的取值都只有兩種即0和1。這里的0和1并沒有數(shù)的含義，它們表示兩種完全對立的邏輯狀態(tài)。例如，若用1表示開關(guān)閉合，則0表示開關(guān)斷開；1表示電燈亮，則0表示電燈滅；1表示高電平，則0表示低電平等。1.3.2三種基本邏輯關(guān)系及其表示方法

1.與邏輯

當(dāng)決定某個事件的全部條件都具備時，才發(fā)生該事件，這種因果關(guān)系稱為“與邏輯”。

與邏輯最為常見的實際應(yīng)用是控制樓道照明的開關(guān)電路(如圖1-3所示)。

開關(guān)A和B的狀態(tài)(閉合或斷開)與電燈Y的狀態(tài)(亮和滅)之間存在確定的因果關(guān)系。顯然只有當(dāng)串聯(lián)的兩個開關(guān)都閉合時，燈才能亮。如果規(guī)定開關(guān)閉合及燈亮為邏輯1態(tài)，開關(guān)斷開及燈滅為邏輯0態(tài)，則開關(guān)A和B的全部狀態(tài)組合與燈Y狀態(tài)之間的關(guān)系如表1-6所示。這種圖表叫做邏輯真值表，簡稱為真值表。圖1-3控制樓道照明的開關(guān)電路表1-6與邏輯的真值表上述邏輯關(guān)系可用下式表示：

Y=A·B(1.6)

多變量的與邏輯關(guān)系可用下式表示：

Y=A·B·C…(1.7)式中的“·”表示邏輯乘，又稱為“與邏輯運算”。實現(xiàn)與邏輯運算的電路稱為“與門”。在不需要強調(diào)的地方，“·”可省略。

國際標(biāo)準(zhǔn)、常用及美日等國家所用的與門邏輯符號分別如圖1-4所示。圖1-4與門邏輯符號

2.或邏輯

當(dāng)決定某個事件的全部條件中有一個或一個以上條件具備時，才發(fā)生該事件，這種因果關(guān)系稱為“或邏輯”。

或邏輯最為常見的實際應(yīng)用是并聯(lián)開關(guān)控制的電燈電路，如圖1-5所示。

或邏輯的真值表如表1-7所示。圖1-5并聯(lián)開關(guān)控制的電燈電路表1-7或邏輯的真值表上述邏輯關(guān)系可用下式表示：

Y=A+B

(1.8)

多變量的或邏輯關(guān)系可用下式表示：

Y=A+B+C+…

(1.9)

式中的“+”表示邏輯加，又稱為“或邏輯運算”。實現(xiàn)或邏輯運算的電路稱為“或門”。

國際標(biāo)準(zhǔn)、常用及美日等國家所用的或門邏輯符號分別如圖1-6所示。圖1-6或門邏輯符號

3.非邏輯

非邏輯也稱為“邏輯反”，數(shù)字電路中的反相器即為實現(xiàn)非邏輯的電子元件，在實際中經(jīng)常使用。

決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。

非邏輯的實際應(yīng)用是開關(guān)與負(fù)載并聯(lián)的控制電路，如圖1-7所示。

非邏輯的真值表如表1-8所示。圖1-7開關(guān)與負(fù)載并聯(lián)的控制電路表1-8非邏輯的真值表非邏輯表達(dá)式為

(1.10)在變量上方的“—”號表示非，讀作“A非”。顯然，A和

互為反變量。實現(xiàn)非運算的電路稱為“非門”。由于非門的輸出信號和輸入信號反相，故“非門”又稱為“反相器”。

國際標(biāo)準(zhǔn)、常用及美日等國家所用的非門邏輯符號分別如圖1-8所示。圖1-8非門邏輯符號與、或、非是三種基本邏輯運算，實際的邏輯問題往往比與、或、非復(fù)雜得多，不過這些復(fù)雜的邏輯運算都可以通過三種基本的邏輯運算組合而成。最常見的復(fù)合邏輯運算有：與非運算、或非運算、異或運算、同或運算以及與或非運算。它們所對應(yīng)的邏輯門分別是與非門、或非門、異或門、同或門及與或非門。其邏輯表達(dá)式、真值表、邏輯符號及邏輯功能特征如表1-9、表1-10所示。1.4復(fù)合邏輯運算表1-9幾種常見的復(fù)合邏輯運算表1-10與或非運算真值表1.5.1已知真值表求邏輯表達(dá)式和邏輯圖

由真值表求邏輯表達(dá)式的一般方法：

(1)找出使邏輯函數(shù)Y=1的行，每一行用一個乘積項表示，其中變量取值為“1”時用原變量表示，變量取值為“0”時用反變量表示。

(2)將所有的乘積項或運算，即可以得到Y(jié)的邏輯表達(dá)式。1.5邏輯函數(shù)的幾種表示方法及其相互轉(zhuǎn)換由真值表求邏輯圖的一般方法是：

(1)根據(jù)真值表寫出邏輯函數(shù)的邏輯表達(dá)式。

(2)對邏輯表達(dá)式進(jìn)行化簡(化簡的方法將在1.6節(jié)中作詳細(xì)介紹)。

(3)把邏輯表達(dá)式中各個變量之間的邏輯運算用相應(yīng)的邏輯符號表示出來，就得到了對應(yīng)的邏輯圖。

【例1.8】已知一個函數(shù)的真值表(見表1-11)，試寫出它的邏輯表達(dá)式并畫出邏輯圖。

解在表1-11中查到，使函數(shù)Y為1的變量取值組合是：

A=0，B=1，C=1

A=1，B=0，C=1

A=1，B=1，C=0

A=1，B=1，C=1

得到乘積項為、、和ABC，將這四個乘積項相加，得到的邏輯表達(dá)式為

有了邏輯表達(dá)式，按照先后順序，用邏輯符號表示并正確連接起來就可以畫出如圖1-9所示的邏輯圖。表1-11例1.8的真值表圖1-9例1.8的邏輯圖1.5.2已知邏輯函數(shù)式求真值表和邏輯圖

【例1.9】已知邏輯表達(dá)式，求與它對應(yīng)的真值表和邏輯圖。

解觀察表達(dá)式中的A、B、C三個輸入變量，因此它們的各種可能取值有23=8組，將每組取值一一代入表達(dá)式，求出對應(yīng)Y值，列成表格，即得其真值表如表1-12所示。

根據(jù)邏輯表達(dá)式，得邏輯圖如圖1-10所示。表1-12例1.9的真值表圖1-10例1.9的邏輯圖1.5.3已知邏輯圖求邏輯函數(shù)式和真值表

【例1.10】試寫出圖1-11所示邏輯圖的邏輯表達(dá)式并列出其真值表。

解由圖1-11知:

，

故

其真值表如表1-13所示。表1-13例1.10的真值表圖1-11例1.10的邏輯圖1.6.1基本公式、定律和常用規(guī)則

1.邏輯代數(shù)的基本公式、定律

邏輯代數(shù)的基本公式和定律見表1-14。1.6邏輯代數(shù)表1-14邏輯代數(shù)的基本公式和定律

2.邏輯代數(shù)常用公式

利用表1-14中的運算定律可以得到更多的公式。

公式1

(1.11)

證明

公式1的含義是：兩個乘積項相加時，如果一項取反后是另一項的因子，則此因子是多余的，可以消去。

公式2

(1.12)

證明

公式3

(1.13)

證明公式4

(1.14)

證明由反演律得

由于，A⊙，所以式(1.14)可寫為

⊙B

(1.15)

3.邏輯代數(shù)的常用規(guī)則

1)代入規(guī)則

在任一個邏輯等式中，若將等式兩邊出現(xiàn)的某變量A都用同一個邏輯函數(shù)替代且替代后等式仍然成立，這個規(guī)則稱為“代入規(guī)則”。

代入規(guī)則的正確性是由邏輯變量和邏輯函數(shù)值的二值性保證的，因為邏輯變量只有0和1兩種取值，無論A=0或A=1代入邏輯等式，等式一定成立；而邏輯函數(shù)值也只有0和1兩種取值，所以用它替代邏輯等式中的變量A后，等式當(dāng)然仍成立。

代入規(guī)則在推導(dǎo)公式中有很大用途，因為將已知等式中的某一變量用任一個函數(shù)代替后得到一個新的等式，所以擴大了等式的應(yīng)用范圍。

【例1.11】已知，試證明

。

證明將中兩邊的變量B都用同一個

函數(shù)f(B,C)=B·C替代得：

2)反演規(guī)則

對任何一個邏輯函數(shù)式Y(jié)，如果將式中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則可得到原來邏輯函數(shù)Y的反函數(shù)，這種變換規(guī)則稱為“反演規(guī)則”。

在應(yīng)用反演規(guī)則變換時必須注意下面的問題。

(1)不能改變原來的運算順序，變換后的運算順序要保持變換前的運算優(yōu)先順序，必要時可加括號表明運算的順序。

(2)反變量換成原變量只對單個變量有效，而與非及或非等運算的長非號則保持不變。

【例1.12】已知邏輯函數(shù)，試用反演規(guī)則求反函數(shù)。

解根據(jù)反演規(guī)則，可寫出：

3)對偶規(guī)則

對任何一個邏輯函數(shù)式Y(jié)，如果將式中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則可得到一個新的邏輯函數(shù)式Y(jié)′。Y和Y′是互為對偶式，這種變換規(guī)則稱為“對偶規(guī)則”。

對偶變換要注意保持變換前運算的優(yōu)先順序不變。

【例1.13】已知下列邏輯函數(shù)表達(dá)式，求其相應(yīng)的對偶式：

解根據(jù)對偶規(guī)則，可寫出：

對偶規(guī)則的意義在于若兩個函數(shù)式相等，則其對偶式也一定相等。因此對偶規(guī)則也適用于邏輯等式，如將邏輯等式兩邊同時進(jìn)行對偶變換，則得到的對偶式仍然相等。

利用對偶規(guī)則，可以把基本邏輯定律和公式擴展一倍。1.6.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法

1.簡化邏輯函數(shù)的意義

我們知道，同一個邏輯函數(shù)可以寫成不同的表達(dá)式。用基本邏輯門電路實現(xiàn)某函數(shù)時表達(dá)式越簡單，需用門電路的個數(shù)就越少，因而也就越經(jīng)濟可靠。進(jìn)行邏輯設(shè)計時根據(jù)邏輯問題歸納出來的邏輯函數(shù)式往往不是最簡邏輯函數(shù)式，并且可以有不同的形式，因此實現(xiàn)這些邏輯函數(shù)就會有不同的邏輯電路。實現(xiàn)邏輯函數(shù)之前，往往要進(jìn)行簡化，即求出其最簡表達(dá)式，然后根據(jù)最簡表達(dá)式實現(xiàn)邏輯函數(shù)。簡化和變換邏輯函數(shù)可以得到最簡的邏輯函數(shù)式和所需要的形式，設(shè)計出最簡捷的邏輯電路。對于節(jié)省元器件，優(yōu)化生產(chǎn)工藝，降低成本和提高系統(tǒng)的可靠性，提高產(chǎn)品在市場的競爭力非常重要。

2.邏輯函數(shù)式的幾種常見形式及其變換

邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的，可以有多種形式，并且能相互變換，這種變換在邏輯分析和設(shè)計中經(jīng)常用到。常見的邏輯式主要有與或式、與或非式、或與式、與非—與非式和或非—或非式。

例如，的5種形式分別如下：

(1)最簡與或式：

(2)對最簡與或式兩次求反，上面的反號不動，下面的反號用德·摩根定律，就可以得到最簡與非—與非式。

(3)用反演規(guī)則求的反函數(shù)的最簡與或式，再對求反，就可以得到最簡與或非式：

(4)對最簡與或非式兩次用德·摩根定律，可以得到最簡或與式：

(5)對最簡或與式兩次求反，上面的反號不動，下面的反號用德·摩根定律，可以得到最簡或非—或非式：

【例1.14】將最簡與或式Y(jié)=AC+BC轉(zhuǎn)換成最簡與非—與非式和最簡或非—或非式。

解①最簡與非—與非式：

②最簡或非—或非式：

因為Y=AC+BC，所以

3.邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法

1)并項法

利用互補律，可以將兩項合并為一項，并消去一對因子。

【例1.15】化簡函數(shù)，寫出它的最簡與或式。

解

【例1.16】試用并項法化簡函數(shù)，寫出它的最簡與或式。

解

2)吸收法

利用和A+A·B=A，將多余項或因子吸收。

【例1.17】試用吸收法化簡函數(shù)，寫出它的最簡與或式。

解

【例1.18】試用吸收法化簡函數(shù)Y=AD(B+C+D)，寫出它的最簡與或式。

解

Y=AD(B+C+D)=ADB+ADC+AD=AD+ADC=AD

【例1.19】試用吸收法化簡函數(shù)，寫出它的最簡與或式。

解

3)配項法

利用A+A=A，和配項或增加多余項，再和其他項合并。

【例1.20】試用配項法化簡函數(shù)

，寫出它的最簡與或式。

解

【例1.21】試用配項法化簡函數(shù)

，寫出它的最簡與或式。

解

【例1.22】試用配項法化簡函數(shù)

，寫出它的最簡與或式。

解

4)消去法

利用，和

,消去多余項。

【例1.23】試用消去法化簡函數(shù)，寫出它的最簡與或式。

解

【例1.24】試用消去法化簡函數(shù)

，寫出它的最簡與或式。

解

【例1.25】試用消去法化簡函數(shù)，寫出它的最簡與或式。

解1.7.1邏輯函數(shù)的最小項及最小項表達(dá)式

1.最小項的定義

如果P是由n個變量組成的一個與項，在P中每個變量都以原變量或反變量作為一個因子出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，則稱P為n個變量的一個最小項。顯然，n個變量一共有2n個最小項。1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法以三個變量A、B和C為例，共有23=8種取值組合：000、001、010、011、100、101、110和111，其對應(yīng)的與項表示為：

、、、、

、、、ABC

2.最小項的編號

為了書寫方便，對最小項采用編號的形式。編號的方法是：

(1)將最小項所對應(yīng)的取值組合看成二進(jìn)制數(shù)，原變量為1，反變量為0。

(2)將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。

(3)該十進(jìn)制數(shù)就是最小項所對應(yīng)的編號，記作mi。

3.最小項的性質(zhì)

(1)任何一個最小項，都對應(yīng)一組變量取值組合，有且只有一組變量取值組合使它的值為1。

(2)任何兩個最小項的乘積為0。例如。

(3)全部最小項的和為1。

(4)具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子。

4.最小項表達(dá)式(標(biāo)準(zhǔn)與或式)

利用真值表可以直接寫出邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式。其方法是：首先找出使邏輯函數(shù)輸出值為1的所有的輸入變量的取值組合，將每組取值組合按照1表示原變量、0表示反變量的方法用與項表示，然后將這些與項進(jìn)行邏輯加，就得到該邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式。

【例1.26】某一含變量A、B、C的邏輯函數(shù)的真值表如表1-15所示，試寫出該邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式。表1-15某邏輯函數(shù)的真值表

解根據(jù)上述方法，其最小項表達(dá)式為

式中，∑為累計或運算符號。

對于任意一個邏輯函數(shù)，也可以表示成標(biāo)準(zhǔn)與或式，方法是將每個與項進(jìn)行等值變換，將與項中所缺變量補齊，即可得到該邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式。

【例1.27】將邏輯函數(shù)Y=AB+BC展開成標(biāo)準(zhǔn)與或式。解利用公式，對所缺變量補齊，則得

1.7.2邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

1.卡諾圖

卡諾圖是邏輯函數(shù)的一種圖示表示方法。它是將邏輯函數(shù)的最小項按一定的規(guī)律(相鄰性原則)排列成方格矩陣，每個方格對應(yīng)一個最小項。

如果兩個最小項中只有一個變量不同，則稱這兩個最小項為邏輯相鄰，簡稱相鄰項。若將n變量的全部2n個最小項用2n個小方格表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，則所得的圖形稱為n變量卡諾圖。畫變量卡諾圖的步驟如下：

(1)根據(jù)輸入變量的個數(shù)確定卡諾圖。n個輸入變量的邏輯函數(shù)有2n個最小項，因此，應(yīng)將卡諾圖分割成2n個小方格，每個小方格對應(yīng)一個最小項。

(2)最小項的序號。最小項的序號與方格的序號相同，根據(jù)方格外邊行變量和列變量的取值決定。方格左邊是列輸入變量，方格上邊是行輸入變量。如A=1，BC=01，對應(yīng)的小方格序號為101(或5)，對應(yīng)的最小項序號為m5(或5)。

(3)變量取值順序采用的是循環(huán)碼(格雷碼)順序。變量卡諾圖的變量取值之所以按循環(huán)碼的順序排列，是為了保證凡是幾何相鄰的最小項在邏輯上也相鄰。下面介紹幾何相鄰和邏輯相鄰的定義和特點。

①幾何相鄰。最小項在卡諾圖中凡是滿足下面三種情況中的一種或一種以上的就叫幾何相鄰。

相接——挨著的最小項；

相對——一行或一列兩頭的最小項；

相重——對折起來能夠重合的最小項。②邏輯相鄰。只有一個變量不同，其余變量都相同的兩個最小項叫做在邏輯上是相鄰的。例如，和兩個最小項，只有A的形式不同，其余變量都相同，所以和

是邏輯相鄰的最小項。

圖1-12是二至五變量的卡諾圖。圖1-12二變量至五變量卡諾圖

(a)二變量卡諾圖;(b)三變量卡諾圖；(c)四變量卡諾圖；(d)五變量卡諾圖

2.邏輯函數(shù)的卡諾圖的畫法

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，一般按下列步驟進(jìn)行：

(1)根據(jù)邏輯式中的變量n，繪制n變量最小項卡諾圖；(2)在卡諾圖上，與邏輯函數(shù)中的最小項相對應(yīng)的位置上填入1，其余填入0或不填。這樣就得到了邏輯函數(shù)的卡諾圖。

【例1.28】試?yán)L制的卡諾圖。

解圖1-13例1.28的卡諾圖這是個三變量邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式，首先繪制一個三變量最小項卡諾圖，在卡諾圖的1、2、5和7中填入“1”，其余的位置不填，結(jié)果如圖1-13所示。

邏輯函數(shù)的卡諾圖是邏輯函數(shù)的一種表示方法。邏輯函數(shù)的卡諾圖也具有唯一性，即一個邏輯函數(shù)只有一個卡諾圖。

邏輯函數(shù)真值表和邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式是一一對應(yīng)的關(guān)系，所以可以直接根據(jù)真值表填卡諾圖。

【例1.29】已知邏輯函數(shù)Y的真值表如表1-16所示，試?yán)L制邏輯函數(shù)Y的卡諾圖。表1-16邏輯函數(shù)Y的真值表

解首先畫出三變量卡諾圖，如圖1-14所示。然后將真值表中Y=1對應(yīng)的最小項m1、m2、m4、m7在卡諾圖中對應(yīng)的方格里填寫1，其余方格不填。

當(dāng)一個邏輯函數(shù)為一般表達(dá)式時，可將其化成標(biāo)準(zhǔn)與或式后繪制卡諾圖。但這樣做往往很麻煩，實際上只需把邏輯函數(shù)式展開成與或式即可，然后根據(jù)與或式每個與項的特征直接填入卡諾圖。具體方法是把每一個與項所含的最小項對應(yīng)的卡諾圖小方格中均填入1，直到填完邏輯式的全部與項。圖1-14例1.29的卡諾圖

【例1.30】已知邏輯函數(shù)，試?yán)L制其卡諾圖。

解

(1)把邏輯式展開成與或式：

(2)繪制四變量最小項卡諾圖，如圖1-15所示。

(3)將與或式每個與項所含的最小項對應(yīng)的小方格中均填入1。圖1-15例1.30的卡諾圖1.7.3用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

1.合并最小項的規(guī)律

(1)若兩個最小項邏輯相鄰，則可合并為一項，同時消去一個互反變量。合并后的結(jié)果只剩下公共變量。

圖1-16(a)和圖1-16(b)中畫出了兩個最小項相鄰的情況。對于圖1-16(a)，m0和m2相鄰，m3和m2相鄰，m5和m7相鄰，所以合并時可以消去一對互反因子。例如：

圖1-16最小項合并時邏輯相鄰的幾種情況(a)2個最小項相鄰；(b)2個最小項相鄰；(c)4個最小項相鄰；

(d)4個最小項相鄰(e)8個最小項相鄰

(2)若4個最小項邏輯相鄰，則可合并為一項，同時消去兩個互反的變量。合并后的結(jié)果只剩下公共變量。

圖1-16(c)和圖1-16(d)的矩形框中是4個最小項相鄰的情況。對于圖1-16(d)，有3組4個最小項相鄰情況，它們分別是m4、m5、m12和m13，m3、m7、m15和m11，m3、m2、m11和m10。第3組合并得到

(3)若8個最小項邏輯相鄰并且排列成一個矩形組，則可合并為一項并消去3個互反變量。合并后的結(jié)果只剩下公共變量。

例如在圖1-16(e)中左右兩列的8個最小項是相鄰的，可將它們合并為一項，其他3個變量被消去了。

至此，可以歸納出合并最小項的一般規(guī)律：在n個變量的卡諾圖中，若有2k個方格邏輯相鄰，它們可以圈在一起加以合并，合并時消去k個變量，簡化為具有n－k個變量的乘積項。若k等于n則可以消去全部變量，結(jié)果為1。

2.卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟

(1)卡諾圖化簡法的步驟：

①繪制邏輯函數(shù)的卡諾圖。

②為填“1”的相鄰最小項繪制包圍圈。

③分別簡化各圖的包圍圈。

④將各圈簡化結(jié)果進(jìn)行邏輯加，得到邏輯函數(shù)的最簡與或式。

(2)繪制包圍圈的原則：

①只有相鄰的“1”方格才能合并，且每個包圍圈內(nèi)必須包圍2n個相鄰的“1”方格。

②為了充分簡化，“1”可以被重復(fù)圈在不同的包圍圈中，但新繪制的圈中必須有未被圈過的“1”。

③包圍圈的個數(shù)盡量少，這樣邏輯函數(shù)的與項就少。

④包圍圈盡量大，這樣消去的變量就多，與門輸入端的數(shù)目就少。

⑤繪制包圍圈時應(yīng)包含所有的最小項，即覆蓋卡諾圖中所有的“1”。

(