全國卷二高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={1},則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1

B.-1

C.1或-1

D.0

3.已知向量a=(1,k),b=(3,-2),且a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為（）

A.-3/2

B.3/2

C.-2/3

D.2/3

4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是1/2，連續(xù)拋擲3次，恰好出現(xiàn)兩次正面的概率是（）

A.1/8

B.3/8

C.1/4

D.1/2

5.已知函數(shù)f(x)=log_a(x),若f(2)=1,則a的值為（）

A.2

B.1/2

C.4

D.1/4

6.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3,b=4,c=5,則角B的大小為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

7.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1,且S_n=2a_n-1,則a_3的值為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

8.已知點(diǎn)P(x,y)在圓x^2+y^2=1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線3x+4y-5=0的距離的最大值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1處取得極值，且極值為0，則a+b的值為（）

A.3

B.4

C.5

D.6

10.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_4=10,S_6=42,則a_10的值為（）

A.16

B.18

C.20

D.22

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=2x+1

B.y=x^2

C.y=3^x

D.y=log_1/2(x)

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2,b=√3,c=1,則下列結(jié)論正確的有（）

A.sinA=√3/2

B.cosB=1/2

C.tanC=√3

D.sinC=1/2

3.已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a_1=1,a_3=8,則下列結(jié)論正確的有（）

A.公比q=2

B.a_5=32

C.S_6=63

D.a_n=2^(n-1)

4.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b,則a^2>b^2

B.若a>b,則log_a(x)>log_b(x)(x>0)

C.若a>b,則1/a<1/b

D.若a>b>0,則√a>√b

5.已知直線l1:ax+by+c=0與直線l2:mx+ny+p=0，下列條件中，能保證l1與l2平行的有（）

A.a/m=b/n≠c/p

B.a=m,b=n,c≠p

C.a/m=b/n=c/p

D.a=-m,b=-n,c≠p

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(x)的最小值為________。

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3,b=4,c=5，則cosA的值為________。

3.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_1=1，公差d=2，則a_10的值為________。

4.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2，且S_n=n(a_n+1)，則a_5的值為________。

5.已知點(diǎn)P(x,y)在圓x^2+y^2=4上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最大值為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程:2^(x+1)-2^x=8.

2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的極值。

3.已知向量a=(3,4),b=(-1,2)，求向量a+2b的坐標(biāo)及|a+2b|的值。

4.已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a_1=4,a_4=16，求公比q及a_7的值。

5.求函數(shù)y=sin(x)+cos(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值和最小值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最小正周期為2π/|ω|=2π/1=2π.

2.C

解析：集合A={1,2}，由A∩B={1}可得1∈B，即a*1=1，解得a=1或a=-1.若a=1，則B={1}，與A∩B={1}矛盾；若a=-1，則B={-1}，滿足A∩B={1}.

3.A

解析：向量a⊥b意味著a·b=0，即(1,k)·(3,-2)=1*3+k*(-2)=3-2k=0，解得k=3/2.

4.B

解析：每次拋擲出現(xiàn)正面的概率為1/2，出現(xiàn)反面的概率也為1/2.連續(xù)拋擲3次，恰好出現(xiàn)兩次正面的情況有C(3,2)種，即{正正反,正反正,反正正}，每種情況的概率為(1/2)^2*(1/2)=1/8，總概率為C(3,2)*1/8=3*1/8=3/8.

5.A

解析：由f(2)=log_a(2)=1可得a^1=2，即a=2.

6.D

解析：由a=3,b=4,c=5可得a^2+b^2=c^2，即3^2+4^2=5^2，即9+16=25，滿足勾股定理，故△ABC為直角三角形，直角位于角C，即角B=90°-30°=60°.

7.C

解析：由S_n=2a_n-1可得a_1=S_1=2a_1-1，解得a_1=1.對于n≥2，a_n=S_n-S_(n-1)=(2a_n-1)-(2a_(n-1)-1)=2a_n-2a_(n-1)，整理得a_n=2a_(n-1).故{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，a_n=1*2^(n-1)=2^(n-1)，則a_3=2^(3-1)=2^2=4.

8.C

解析：圓x^2+y^2=1的半徑為1，圓心為(0,0).點(diǎn)P到直線3x+4y-5=0的距離d=|3*0+4*0-5|/√(3^2+4^2)=|-5|/√(9+16)=5/√25=1.點(diǎn)P到直線的距離的最大值為圓心到直線距離加上半徑，即1+1=2.

9.A

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b.由題意，x=1處取得極值，則f'(1)=0，即3*1^2-2a*1+b=3-2a+b=0，得b=2a-3.又由極值為0，即f(1)=1^3-a*1^2+b*1+1=1-a+b+1=2-a+b=0，代入b=2a-3得2-a+(2a-3)=0，即a-1=0，解得a=1.則b=2*1-3=-1.故a+b=1+(-1)=0.這里原參考答案有誤，a+b=0，修正后選項(xiàng)無正確答案。重新檢查：f(1)=0=>1-a+b+1=0=>b=2a-2.3-2a+b=0=>3-2a+(2a-2)=0=>1=0，矛盾。原題條件可能設(shè)錯(cuò)，若改為f(1)=1，則b=2a-1，3-2a+b=0=>3-2a+(2a-1)=0=>2=0，矛盾。若改為f(1)=-1，則b=2a+1，3-2a+b=0=>3-2a+(2a+1)=0=>4=0，矛盾?？磥碓}條件確實(shí)有誤。假設(shè)題目條件無誤，a+b=0是正確的。那么可能是選項(xiàng)有誤，或者題目本身有問題。按照a=1,b=-1，a+b=0。如果必須選擇一個(gè)選項(xiàng)，可能是印刷錯(cuò)誤，選A.

10.B

解析：等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a_1+(n-1)d，前n項(xiàng)和公式為S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*(2a_1+(n-1)d).由a_4=10可得a_1+3d=10.由S_6=42可得6/2*(2a_1+5d)=42，即3*(2a_1+5d)=42，得2a_1+5d=14.解方程組:

a_1+3d=10

2a_1+5d=14

第一個(gè)方程乘以2得2a_1+6d=20.

用(2)減去(3)得(2a_1+5d)-(2a_1+6d)=14-20，即-d=-6，得d=6.

將d=6代入a_1+3d=10，得a_1+3*6=10，即a_1+18=10，得a_1=-8.

要求a_10，即a_1+9d=-8+9*6=-8+54=46.

故a_10=46.檢查選項(xiàng)，無46.重新計(jì)算：(2a_1+6d=20)-(2a_1+5d=14)=>d=6.(a_1+3d=10)=>a_1+18=10=>a_1=-8.a_10=a_1+9d=-8+9*6=-8+54=46.選項(xiàng)無正確答案。題目或選項(xiàng)有誤。若按原參考答案B=18，則需a_1+3d=10,2a_1+5d=18.(2a_1+6d=20)-(2a_1+5d=18)=>d=2.(a_1+3d=10)=>a_1+6=10=>a_1=4.a_10=a_1+9d=4+9*2=4+18=22.檢查選項(xiàng)，D.22.所以很可能題目條件S_6=18而非42，或者a_4=10有誤。按S_6=18計(jì)算，a_10=22，選D.

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C

解析：函數(shù)y=2x+1是正比例函數(shù)，斜率為正，在其定義域R上單調(diào)遞增。函數(shù)y=3^x是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)3>1，在其定義域R上單調(diào)遞增。函數(shù)y=x^2是二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為x=0，在(-∞,0]上單調(diào)遞減，在[0,+∞)上單調(diào)遞增，在其定義域R上不是單調(diào)遞增的。函數(shù)y=log_1/2(x)是對數(shù)函數(shù)，底數(shù)1/2∈(0,1)，在其定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減。

2.A,B,C

解析：由a=3,b=4,c=5，a^2+b^2=9+16=25=c^2，故△ABC為直角三角形，直角位于角C。sinA=對邊/斜邊=b/c=4/5.cosB=cos(90°-A)=sinA=4/5.tanC=對邊/鄰邊=a/b=3/4.sinC=對邊/斜邊=a/c=3/5.故選項(xiàng)A,B,C正確，D錯(cuò)誤。

3.A,B,C

解析：等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a_1*q^(n-1)，前n項(xiàng)和公式為S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)(q≠1).由a_1=1,a_3=8可得a_3=a_1*q^(3-1)=1*q^2=q^2.解得q^2=8，即q=±√8=±2√2.若q=2√2:

a_n=(2√2)^(n-1).

a_5=(2√2)^(5-1)=(2√2)^4=2^4*(√2)^4=16*4=64.

S_6=a_1*(q^6-1)/(q-1)=1*((2√2)^6-1)/(2√2-1)=(64^2-1)/(√8-1)=(4096-1)/(√8-1)=4095/(√8-1).不能化簡為63.

若q=-2√2:

a_n=(-2√2)^(n-1).

a_5=(-2√2)^(5-1)=(-2√2)^4=16*4=64.

S_6=1*((-2√2)^6-1)/(-2√2-1)=(64^2-1)/(-√8-1)=4095/(-√8-1).也不能化簡為63.

看起來原參考答案B,C有誤。假設(shè)a_3=8是正確的，則q=±2√2，a_5=64，S_6不能等于63。如果題目要求選擇所有正確的，則沒有選項(xiàng)正確。如果題目或答案有誤，假設(shè)a_3=4，則q=±2，a_5=32，S_6=63(q=2時(shí))或S_6=-63(q=-2時(shí))。若必須選擇，可能題目有印刷錯(cuò)誤。按q=2√2計(jì)算，a_5=64,S_6=4095/(√8-1)。按q=-2√2計(jì)算，a_5=64,S_6=4095/(-√8-1)。沒有選項(xiàng)滿足。假設(shè)題目條件a_3=4，q=±2，a_5=32，S_6=63(q=2)。選項(xiàng)B(32),C(63)為真。但原題a_3=8。無法選擇正確選項(xiàng)。

4.B,C,D

解析：A.若a>b，例如a=2,b=1，則a^2=4,b^2=1，有a^2>b^2.但若a=-1,b=-2，則a=-1>b=-2，但a^2=1<b^2=4.故A錯(cuò)誤。

B.若a>b>0，則對數(shù)函數(shù)y=log_a(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。故a>b=>log_a(x)<log_b(x)(x>0).但若a,b為負(fù)數(shù)，對數(shù)無意義。若0<a<b<1，則對數(shù)函數(shù)y=log_a(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。故a<b<1=>log_a(x)>log_b(x)(x>0).故B錯(cuò)誤。

C.若a>b，則-a<-b.若a,b均不為0，則1/a和1/b均為正數(shù)。由-a<-b=>1/a<1/b(兩邊同時(shí)除以正數(shù)b和a的絕對值，不等號(hào)方向不變)。若a,b中有一個(gè)為0，例如a=1,b=0，則a>b，但1/a=1>1/b=無窮大無意義。若a=0,b=-1，則a>b，但1/a無意義，1/b=-1.無法比較。故C錯(cuò)誤。

D.若a>b>0，則兩邊開平方根，不等號(hào)方向不變，得√a>√b.故D正確。

5.A,D

解析：l1:ax+by+c=0與l2:mx+ny+p=0平行意味著它們的法向量(a,b)與(m,n)成比例，即存在非零實(shí)數(shù)k使得a=km,b=kn.

A.a/m=b/n≠c/p.這意味著a=km,b=kn.但c/p≠km/p=>c≠kp.法向量成比例(a/m=b/n=k)，但常數(shù)項(xiàng)不成比例(c/p≠k)，故l1與l2平行。正確。

B.a=m,b=n,c≠p.這意味著法向量(a,b)=(m,n).若c=p，則兩直線重合；若c≠p，則法向量相同，兩直線平行。故條件c≠p不能保證平行，只有a=m,b=n即可。錯(cuò)誤。

C.a/m=b/n=c/p.這意味著a=km,b=kn,且c=kp.法向量成比例(a/m=b/n=k)，常數(shù)項(xiàng)也成比例(c/p=k)，這意味著兩直線重合。故條件是兩直線重合，不是平行。錯(cuò)誤。

D.a=-m,b=-n,c≠p.這意味著法向量(a,b)=(-m,-n)=-1*(m,n).法向量成比例(a/m=b/n=-1)，但常數(shù)項(xiàng)c/p≠-1=>c≠-p.故l1與l2平行。正確。

故選項(xiàng)A,D正確。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段討論：

當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-x+1-x-2=-2x-1.

當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=-x+1+x+2=3.

當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=x-1+x+2=2x+1.

函數(shù)在x=-2處，f(-2)=-2(-2)-1=4-1=3.

函數(shù)在x=1處，f(1)=3.

在區(qū)間[-2,1]上，f(x)=3.故f(x)的最小值為3.

2.3/5

解析：由a=3,b=4,c=5，a^2+b^2=c^2，故cosA=b/c=4/5.

3.21

解析：等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a_1+(n-1)d.a_1=1,d=2.a_10=1+(10-1)*2=1+9*2=1+18=19.

4.34

解析：由S_n=n(a_n+1)可得a_1=S_1=1(a_1+1)，解得a_1=1.對于n≥2，a_n=S_n-S_(n-1)=n(a_n+1)-(n-1)(a_(n-1)+1).

整理得na_n+n-na_(n-1)-n+a_(n-1)=n(a_n+1)-(n-1)(a_(n-1)+1).

na_n-na_(n-1)+a_(n-1)=na_n+n-na_(n-1)-n+a_(n-1).

0=n.這意味著對所有n≥2，0=n.這是矛盾的。故此題條件S_n=n(a_n+1)不可能成立。題目可能有誤。如果題目意圖是S_n=n(a_n+1)*a_1，即S_n=n(a_n+1)*1=n(a_n+1)，則a_1=1,a_2=S_2-S_1=2(a_2+1)-1=>2a_2+2-1=2a_2+1=0，矛盾。如果題目意圖是S_n=n(a_n+1)*a_1=n(a_n+1)*2，即S_n=2n(a_n+1)，則a_1=S_1=2*1(a_1+1)=2(a_1+1)=>a_1=2a_1+2=>-a_1=2=>a_1=-2.對于n≥2,a_n=S_n-S_(n-1)=2n(a_n+1)-2(n-1)(a_(n-1)+1).

2na_n-2na_(n-1)=2na_n+2n-2na_(n-1)-2(n-1).

0=2n.矛盾。無論如何假設(shè)，條件S_n=n(a_n+1)導(dǎo)致矛盾，題目無法解答。

5.√10/2

解析：圓心(0,0)到直線x+y=0的距離d=|0+0-0|/√(1^2+1^2)=0/√2=0.點(diǎn)P在圓上，圓心到直線的距離為0，意味著圓與直線相切。當(dāng)點(diǎn)P在切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離取得最大值，即圓的半徑，為2.最大值為√(2^2+0^2)=2.參考答案√10/2=√5/√2=(√5*√2)/2=√10/2=1.414/2=0.707.這顯然小于2.原參考答案計(jì)算錯(cuò)誤。最大距離應(yīng)為2.

四、計(jì)算題答案及解析

1.x=3

解析：2^(x+1)-2^x=8

2*2^x-2^x=8

2^x=8

2^x=2^3

x=3.

2.極小值f(1)=0,極大值f(-1)=6

解析：f(x)=x^3-3x^2+2x+1.f'(x)=3x^2-6x+2.

令f'(x)=0=>3x^2-6x+2=0=>x^2-2x+2/3=0.

Δ=(-2)^2-4*1*2/3=4-8/3=4/3>0.方程有兩個(gè)實(shí)根.

x=(2±√(4/3))/2=1±√(1/3)=1±1/(√3).

設(shè)x1=1-1/(√3),x2=1+1/(√3).

f''(x)=6x-6=6(x-1).

當(dāng)x<1時(shí)，f''(x)<0，f(x)在x<1時(shí)凹向下，在x1處取得極大值.

當(dāng)x>1時(shí)，f''(x)>0，f(x)在x>1時(shí)凹向上，在x2處取得極小值.

f(x1)=(1-1/√3)^3-3(1-1/√3)^2+2(1-1/√3)+1=(1-3√3+3*3-√3^3)-3(1-2/√3+1/3)+2-2/√3+1

=(1-3√3+9-3√3)-3(2-2/√3)+3

=10-6√3-6+6/√3+3

=7-6√3+6/√3=7-6√3+6√3/3=7-6√3+2√3=7-4√3.

f(x2)=(1+1/√3)^3-3(1+1/√3)^2+2(1+1/√3)+1=7+4√3.

f(1)=1^3-3*1^2+2*1+1=1-3+2+1=1.

故極大值為f(x2)=7+4√3，極小值為f(x1)=7-4√3.

檢查參考答案f(-1)=6:f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)+1=-1-3-2+1=-5.錯(cuò)誤.

檢查參考答案f(1)=0:f(1)=1-3+2+1=1.錯(cuò)誤.

檢查參考答案極小值f(1)=0:錯(cuò)誤.

檢查參考答案極大值f(-1)=6:錯(cuò)誤.

結(jié)論：極小值為f(1)=1，極大值為f(1+√(1/3))=7+4√3.

3.a+2b=(-1,6),|a+2b|=√((-1)^2+6^2)=√37

解析：a+2b=(3,4)+2*(-1,2)=(3,4)+(-2,4)=(3-2,4+4)=(1,8).

|a+2b|=√(1^2+8^2)=√(1+64)=√65.

檢查參考答案(1,6),√37:a+2b=(3,-2)+2*(3,-2)=(3,-2)+(6,-4)=(9,-6).錯(cuò)誤.

正確答案：a+2b=(1,8),|a+2b|=√65.

4.q=±√2,a_7=±32√2

解析：a_1=4,a_4=16.a_4=a_1*q^3.

16=4*q^3=>q^3=4=>q=?4=?(2^2)=±?2=±√2.

若q=√2:

a_7=a_1*q^6=4*(√2)^6=4*8=32.

若q=-√2:

a_7=a_1*q^6=4*(-√2)^6=4*8=32.

故a_7=32(無論q取正負(fù)).參考答案a_7=32√2有誤.

若題目意圖a_4=a_1*q^3=>16=4*q^3=>q^3=4=>q=?4=?(2^2)=√2.

則a_7=a_1*q^6=4*(√2)^6=4*8=32.

參考答案a_7=32√2有誤.

可能題目條件有誤，或參考答案有誤。若按q=√2,a_7=32.若按q=-√2,a_7=32.若參考答案a_7=32√2是正確的，則q=±?(32√2)=±2√2.但a_4=4*q^3=4*(±2√2)^3=4*(±8*√2)=±32√2.a_4=16,±32√2≠16.矛盾。參考答案a_7=32√2是錯(cuò)誤的。

5.最大值√2,最小值-√2

解析：y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4).

函數(shù)y=√2sin(x+π/4)的最小正周期為2π/|ω|=2π/1=2π.

在一個(gè)周期[0,2π]上，sin函數(shù)的最大值為1，最小值為-1.

當(dāng)sin(x+π/4)=1時(shí)，y=√2*1=√2.對應(yīng)x+π/4=π/2+2kπ,x=π/4+2kπ.在[0,2π]上，x=π/4.

當(dāng)sin(x+π/4)=-1時(shí)，y=√2*(-1)=-√2.對應(yīng)x+π/4=3π/2+2kπ,x=3π/4+2kπ.在[0,2π]上，x=3π/4.

故函數(shù)y=sin(x)+cos(x)在[0,2π]上的最大值為√2，最小值為-√2.

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分類和總結(jié)如下：

一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)基本概念：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。

2.基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像。

3.函數(shù)的運(yùn)算：加、減、乘、除、復(fù)合函數(shù)。

4.導(dǎo)數(shù)的概念：瞬時(shí)變化率、幾何意義（切線斜率）。

5.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（和、差、積、商）。

6.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值。

二、三角函數(shù)

1.任意角的概念：角度制與弧度制、終邊相同的角