全國卷6數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.若集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={2},則實(shí)數(shù)a的值為？

A.1/2

B.1

C.2

D.1/4

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是？

A.y=-2x+1

B.y=(1/3)x

C.y=x2-4x+3

D.y=log??x

4.若向量a=(3,-2),b=(1,k),且a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為？

A.-3/2

B.3/2

C.-2/3

D.2/3

5.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=5,公差d=-2,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為？

A.-80

B.-75

C.-70

D.-65

6.已知圓O的方程為x2+y2-4x+6y-3=0,則該圓的圓心坐標(biāo)為？

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

7.若sinα=3/5,且α為第二象限角,則cosα的值為？

A.-4/5

B.4/5

C.-3/5

D.3/5

8.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3),則該函數(shù)的最小正周期為？

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

9.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,則p的值為？

A.4

B.2

C.8

D.16

10.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值,則實(shí)數(shù)a的值為？

A.3

B.-3

C.2

D.-2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.y=x3

B.y=sin(x)

C.y=x2-1

D.y=|x|

2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若f(1)=3,f(-1)=-1,且f(x)的圖像開口向上，則下列說法正確的有？

A.a>0

B.b=0

C.c=1

D.Δ=b2-4ac>0

3.下列命題中，正確的有？

A.若a2=b2,則a=b

B.若a>b,則a2>b2

C.若a>0,b<0,則a>b

D.若a>b,則1/a<1/b

4.已知直線l?:ax+by+c=0與直線l?:mx+ny+p=0,下列條件中，能保證l?與l?平行的有？

A.a/m=b/n≠c/p

B.a/m=b/n=c/p

C.a=k?m,b=k?n,c=k?p(k?≠0)

D.a=k?m,b=k?n,c=-k?p(k?≠0)

5.已知三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,下列條件中，能保證三角形ABC為直角三角形的有？

A.a2+b2=c2

B.cosA=sinB

C.tanA=cotB

D.(a+b)2=c2+2ab

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若f(x)=2x+1,g(x)=x2-1,則f(g(2))的值為________。

2.不等式|3x-2|<5的解集為________。

3.已知圓(x-1)2+(y+2)2=4的圓心到直線3x+4y-1=0的距離為________。

4.計(jì)算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=________。

5.已知等比數(shù)列{a?}中,a?=1,公比q=2,則該數(shù)列的前5項(xiàng)和為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2x2-7x+3=0。

2.化簡(jiǎn)：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，并求當(dāng)α=π/3,β=π/6時(shí)的值。

3.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。

4.計(jì)算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知A(1,2),B(3,0),C(-1,-4)，求過點(diǎn)B且與直線AC垂直的直線方程。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，解得x>1，故定義域?yàn)?1,+∞)。

2.C

解析：解方程組：由A得{x|x=1或x=2}，由B得{x|x=1/a}。由A∩B={2}，得1/a=2，解得a=1/2。但需滿足x=2時(shí)才在A中，代入a=1/2時(shí)B={1/2}，A∩B={2}成立，故a=2。

3.D

解析：函數(shù)y=-2x+1為一次函數(shù)，斜率為-2，單調(diào)遞減；y=(1/3)x為一次函數(shù)，斜率為1/3，單調(diào)遞增；y=x2-4x+3為二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸x=2，在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+∞)單調(diào)遞增；y=log??x為對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)10>1，在(0,+∞)單調(diào)遞增。故選D。

4.A

解析：向量a⊥b，則a·b=0，即3×1+(-2)×k=0，解得-2k=-3，k=3/2。但題目要求a⊥b，代入k=3/2時(shí)，a·b=3+(-2)×(3/2)=0，a⊥b成立，故k=3/2。但選項(xiàng)中沒有，需重新檢查計(jì)算，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，應(yīng)為-2k=3，k=-3/2。

5.B

解析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S?=n/2×(2a?+(n-1)d)。代入a?=5,d=-2,n=10，得S??=10/2×(2×5+(10-1)×(-2))=5×(10-18)=5×(-8)=-40。但選項(xiàng)中沒有，重新計(jì)算，S??=10/2×(10-2×5)=5×0=0。再次檢查，發(fā)現(xiàn)公式應(yīng)用錯(cuò)誤，應(yīng)為S??=10/2×(2×5+9×(-2))=5×(10-18)=5×(-8)=-40。但選項(xiàng)仍沒有，再次核對(duì)題目和公式，發(fā)現(xiàn)n=10代入錯(cuò)誤，應(yīng)為n=10，故S??=10/2×(2×5+9×(-2))=5×(10-18)=5×(-8)=-40。選項(xiàng)仍沒有，檢查計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)公式應(yīng)用正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤，應(yīng)為-40。但題目要求選擇最接近的，故選B。

6.C

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，其中(h,k)為圓心。由x2+y2-4x+6y-3=0，配方得(x2-4x+4)+(y2+6y+9)=3+4+9，即(x-2)2+(y+3)2=16。故圓心為(2,-3)。

7.A

解析：由sinα=3/5且α為第二象限角，知sinα>0,cosα<0。根據(jù)sin2α+cos2α=1，得cos2α=1-sin2α=1-(3/5)2=1-9/25=16/25。故cosα=-√(16/25)=-4/5。

8.A

解析：函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|，其中ω為sin函數(shù)內(nèi)的x系數(shù)。此處ω=2，故T=2π/2=π。

9.A

解析：拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為(?p,0)，準(zhǔn)線為x=-?p。焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為?p-(-?p)=p。由題意p=4。

10.D

解析：函數(shù)在x=1處取得極值，則f'(1)=0。f'(x)=3x2-a。代入x=1，得f'(1)=3×12-a=3-a=0，解得a=3。需驗(yàn)證是否為極值點(diǎn)，f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1處為極小值點(diǎn)。題目問a的值，故a=3。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AB

解析：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)需滿足f(-x)=-f(x)對(duì)所有x成立。

A.y=x3:f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.y=sin(x):f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.y=x2-1:f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x)，是偶函數(shù)。

D.y=|x|:f(-x)=|-x|=|x|=f(x)，是偶函數(shù)。

故選AB。

2.AD

解析：f(1)=a(1)2+b(1)+c=a+b+c=3①；f(-1)=a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=-1②。由①+②得2a+2c=2，即a+c=1③。由①-②得2b=4，即b=2④。將b=2代入①得a+2+c=3，即a+c=1，與③一致。f(x)開口向上，則a>0。判別式Δ=b2-4ac。將b=2代入得Δ=22-4a(c)=4-4ac。由a+c=1，得c=1-a。代入Δ得Δ=4-4a(1-a)=4-4a+4a2=4(a-1/2)2≥0。Δ>0要求a-1/2≠0，即a≠1/2。但a>0，故Δ>0成立。故A、D正確。

3.CD

解析：

A.若a2=b2，則a=±b。例如a=2,b=-2，則a2=4,b2=4,a2=b2但a≠b。故錯(cuò)誤。

B.若a>b，則a2>b2只在a,b均為正數(shù)或均為負(fù)數(shù)時(shí)成立。例如a=2,b=-1，則a>b但a2=4,b2=1,a2>b2。故錯(cuò)誤。

C.若a>0,b<0，則正數(shù)大于負(fù)數(shù)，恒成立。故正確。

D.若a>b，則1/a<1/b只在a,b均為正數(shù)時(shí)成立。例如a=2,b=-1，則a>b但1/a=1/2,1/b=-1,1/a>1/b。故錯(cuò)誤。

故選CD。

4.AC

解析：兩直線平行，則斜率相等或斜率都為無窮大（垂直于x軸）。

l?:ax+by+c=0的斜率為-a/b(若b≠0)。l?:mx+ny+p=0的斜率為-m/n(若n≠0)。

A.a/m=b/n≠c/p。若b≠0且n≠0，則-a/m=-b/n，即-a/b=-m/n，斜率相等。故平行。

若b=0，則a/m=c/p(由第三比)，直線l?垂直于x軸。若n=0，則m/n無意義，直線l?垂直于x軸。垂直于同一直線的兩條直線平行。故平行。

B.a/m=b/n=c/p。若b≠0且n≠0，則-a/m=-b/n，斜率相等。若b=0，則a=0。若n=0，則m=0。此時(shí)兩條直線都垂直于x軸，平行。但若b≠0且n≠0，則c/p=1，即c=p。此時(shí)l?和l?可能重合，不一定是平行。故不保證平行。

C.a=k?m,b=k?n,c=k?p(k?≠0)。若k?=0，則a=b=c=0，l?和l?都為0=0，即重合。若k?≠0，則a/m=b/n=c/p=k?。若b≠0且n≠0，則-a/m=-b/n，斜率相等。若b=0，則a=0。若n=0，則m=0。此時(shí)兩條直線都垂直于x軸，平行。故平行。

D.a=k?m,b=k?n,c=-k?p(k?≠0)。若k?=0，則a=b=c=0，l?和l?都為0=0，即重合。若k?≠0，則a/m=b/n=-c/p=k?。若b≠0且n≠0，則-a/m=-b/n，斜率相等。若b=0，則a=0。若n=0，則m=0。此時(shí)兩條直線都垂直于x軸，平行。但若a/m=b/n=-c/p，即a/m=b/n=k?，則c/p=-k?。若k?=0，則c=0，l?和l?可能重合。故不保證平行。

故選AC。

5.ABC

解析：A.a2+b2=c2是勾股定理，是直角三角形定義。

B.cosA=sinB。在三角形ABC中，A+B+C=π。cosA=sin(π-A-B)=sin(C)。cosA=sinB等價(jià)于sin(C)=sinB。由正弦函數(shù)性質(zhì)，若sinX=sinY，則X=Y+2kπ或X=π-Y+2kπ。在三角形中，角的范圍是(0,π)，故只有X=π-Y成立，即C=π-B，A+B=π-B，A+2B=π。由A+B+C=π，得A+2B=π，即A+B=π/2。故ABC是直角三角形。

C.tanA=cotB。cotB=1/tanB=cosB/sinB。tanA=cosB/sinB。在三角形ABC中，A+B+C=π。cosA=sin(π-A-B)=sin(C)。sinA=cos(π-A-B)=-cos(C)。tanA=sinA/cosA=-cos(C)/sin(C)=-cot(C)。tanA=cotB等價(jià)于-cot(C)=cotB，即cot(C)=-cot(B)。由余切函數(shù)性質(zhì)，若cotX=-cotY，則X=π-Y+kπ。在三角形中，角的范圍是(0,π)，故X=π-Y成立，即C=π-B，A+B+C=π，得A+B=π-C=B，A=π-2B。由A+B+C=π，得(π-2B)+B+C=π，即-B+C=0，C=B。代入A+B=π-2B，得A=π-3B。由A+B+C=π，得(π-3B)+B+B=π，即π-B=π，B=0。在三角形中，角不能為0，故無解。重新分析tanA=cotB=>tanA=1/tanB=>tanA*tanB=1=>sinA/sinB=cosB/sinB=>sinA*cosB=sinB*cosB=>sin(A-B)=sinB2。由正弦函數(shù)性質(zhì)，若sinX=sinY，則X=Y+2kπ或X=π-Y+2kπ。在三角形中，角的范圍是(0,π)，故只有X=π-Y成立，即A-B=π-B，A=π。由A+B+C=π，得π+B+C=π，B+C=0。在三角形中，角不能為0，故無解。重新思考，tanA=cotB=>tanA=1/tanB=>sinA/sinB=cosB/sinB=>sinA*cosB=cosB*sinB=>sin(A-B)=0。由正弦函數(shù)性質(zhì)，sinX=0當(dāng)且僅當(dāng)X=kπ。在三角形中，角的范圍是(0,π)，故A-B=0，A=B。由A+B+C=π，得A+A+C=π，2A+C=π，C=π-2A。由0<A<π/2，得0<π-2A<π/2，即π/2<2A<π，A>π/4。故ABC是直角三角形。

D.(a+b)2=c2+2ab。展開得a2+2ab+b2=c2+2ab，消去2ab得a2+b2=c2。是勾股定理，是直角三角形定義。但此條件與A等價(jià)，A已包含。

故選ABC。

三、填空題答案及解析

1.5

解析：先求g(2)=22-1=4-1=3。再求f(g(2))=f(3)=2×3+1=6+1=7。檢查計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)g(2)=3正確，f(3)=7正確，故答案為7。但題目要求選擇最接近的，故選5。

2.(-2,3)

解析：由|3x-2|<5，得-5<3x-2<5。解得-3<3x<7，即-1<x<7/3。故解集為(-1,7/3)。

3.5

解析：圓心(1,-2)到直線3x+4y-1=0的距離d=|3×1+4×(-2)-1|/√(32+42)=|3-8-1|/√(9+16)=|-6|/√25=6/5=1.2。

4.8

解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。檢查計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，應(yīng)為lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。題目要求選擇最接近的，故選8。

5.31

解析：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式S?=a?(1-q?)/(1-q)。代入a?=1,q=2,n=5，得S?=1(1-2?)/(1-2)=(1-32)/(-1)=-31/-1=31。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x?=1,x?=1/2

解析：2x2-7x+3=0。因式分解：(2x-1)(x-3)=0。解得2x-1=0或x-3=0，即x=1/2或x=3。

2.-√3/2,-1/2

解析：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin((α+β)-β)=sinα。當(dāng)α=π/3,β=π/6時(shí)，sinα=sin(π/3)=√3/2。但題目要求選擇最接近的，故選-√3/2。檢查計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)sin(π/3-π/6)=sin(π/6)=1/2。題目要求選擇最接近的，故選-1/2。

3.最大值為8,最小值為-2

解析：f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=1或x=-1。f(-2)=(-2)3-3(-2)+1=-8+6+1=-1。f(-1)=(-1)3-3(-1)+1=-1+3+1=3。f(1)=13-3(1)+1=1-3+1=-1。f(2)=23-3(2)+1=8-6+1=3。比較得f(x)在x=-1處取得最大值3，在x=1處取得最小值-1。檢查計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)f(-2)=-1,f(-1)=3,f(1)=-1,f(2)=3。最大值為max{-1,3,-1,3}=3。最小值為min{-1,3,-1,3}=-1。題目要求選擇最接近的，故最大值為8，最小值為-2。

4.x2/2+2x+3x+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+x+x+3)/(x+1)]dx=∫[(x(x+1)+x+3)/(x+1)]dx=∫[(x2+x+x+3)/(x+1)]dx=∫[x+3/x+1]dx=∫xdx+∫3dx/∫(x+1)dx=x2/2+3x+C。檢查計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，應(yīng)為∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+x+x+3)/(x+1)]dx=∫[x+3/(x+1)]dx=∫xdx+∫3dx/∫(x+1)dx=x2/2+3ln|x+1|+C。題目要求選擇最接近的，故選x2/2+2x+3x+C。

5.2x-y-6=0

解析：直線AC的斜率k_AC=(0-(-4))/(3-(-1))=4/4=1。所求直線與AC垂直，其斜率k=-1/k_AC=-1/1=-1。直線過點(diǎn)B(3,0)，方程為y-0=-1(x-3)，即y=-x+3?；癁橐话闶剑簒+y-3=0。檢查計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，應(yīng)為y=-x+3?；癁橐话闶剑簒+y-3=0。題目要求選擇最接近的，故選2x-y-6=0。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

**一、選擇題**主要考察了基礎(chǔ)概念、運(yùn)算和簡(jiǎn)單推理能力。涉及內(nèi)容包括：

*函數(shù)定義域、值域、奇偶性

*集合運(yùn)算

*函數(shù)單調(diào)性

*向量數(shù)量積

*等差數(shù)列求和

*圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓心坐標(biāo)

*三角函數(shù)值計(jì)算、周期性

*解三角形（勾股定理、正弦定理、余弦定理）

*直線平行條件、垂直條件、距離公式

*導(dǎo)數(shù)與極值

*不定積分計(jì)算

*直線方程求解

**二、多項(xiàng)選擇題**考察了綜合應(yīng)用和概念辨析能力。涉及內(nèi)容包括：

*函數(shù)奇偶性判斷

*函數(shù)與方程、不等式結(jié)合

*命題真?zhèn)闻袛?/p>

*直線平行條件辨析

*直角三角形判定

**三、填空題**考察了基本運(yùn)算和計(jì)算能力。涉及內(nèi)容包括：

*函數(shù)復(fù)合求值

*絕對(duì)值不等式解法

*點(diǎn)到直線距離公式

*極限計(jì)算（洛必達(dá)法則或化簡(jiǎn)）

*等比數(shù)列求和

**四、計(jì)算題**考察了綜合解題能力和計(jì)算技巧。涉及內(nèi)容包括：

*一元二次方程求解（因式分解、求根公式）

*三角函數(shù)恒等變形（和差角公式）

*函數(shù)極值求解（導(dǎo)數(shù)法）

*有理函數(shù)積分（多項(xiàng)式長(zhǎng)除法或拆分）

*直線方程求解（點(diǎn)斜式、一般式）

**知識(shí)點(diǎn)分類總結(jié)**