全國高中數(shù)學(xué)賽課一等獎(jiǎng)作品：聽評(píng)課記錄：函數(shù)y=Asin(ψx+φ）的圖象一.基本信息

2023年11月15日，上午第二節(jié)課，授課教師張華，學(xué)科/課程名稱為高中數(shù)學(xué)，班級(jí)/年級(jí)為高三年級(jí)（14班），教學(xué)主題或章節(jié)為函數(shù)y=Asin(ψx+φ）的圖象。聽課人姓名李明，聽課人職務(wù)高中數(shù)學(xué)教研員，聽課目的為教學(xué)研究。本次賽課以函數(shù)y=Asin(ψx+φ）的圖象為主題，旨在探究三角函數(shù)圖象變換規(guī)律及其應(yīng)用，屬于高中數(shù)學(xué)選修系列4-5內(nèi)容。該主題在高考中占有重要地位，涉及圖象平移、伸縮等變換，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和抽象思維能力具有重要意義。授課教師通過精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，結(jié)合現(xiàn)代教育技術(shù)手段，力求展現(xiàn)三角函數(shù)圖象變換的動(dòng)態(tài)過程，幫助學(xué)生建立直觀理解，并掌握其本質(zhì)規(guī)律。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，教學(xué)目標(biāo)明確，圍繞函數(shù)y=Asin(ψx+φ）的圖象及其變換展開，分為圖象平移、伸縮和綜合變換三個(gè)層次。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材內(nèi)容重點(diǎn)突出，教具包括三角函數(shù)圖象板，多媒體課件包含動(dòng)態(tài)演示視頻和互動(dòng)答題系統(tǒng)。教師提前制作了函數(shù)圖象變換的微課視頻，并設(shè)計(jì)了分層練習(xí)題，為不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生提供個(gè)性化學(xué)習(xí)資源。教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，符合高三學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。

2.教學(xué)過程

開始階段，教師通過復(fù)習(xí)y=sinx圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（0，0），（π/2，1），（π，0），（3π/2，-1），（2π，0）導(dǎo)入新課，采用動(dòng)態(tài)演示的方式展示圖象平移，效果顯著。展開階段采用多種教學(xué)方法：首先通過小組討論探究φ變化時(shí)圖象的平移規(guī)律，隨后利用幾何畫板演示ψ變化對(duì)周期的影響，最后通過分層練習(xí)鞏固綜合變換。教師運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)法，提出問題鏈“φ如何影響平移方向？”“ψ與周期有何關(guān)系？”引導(dǎo)學(xué)生自主歸納變換規(guī)律。實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)合理，學(xué)生通過操作圖象板驗(yàn)證“左加右減”的平移法則，并發(fā)現(xiàn)周期T與ψ的倒數(shù)關(guān)系ψ=2π/T。結(jié)束階段教師用類比方法總結(jié)三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的變換異同，布置作業(yè)時(shí)提出拓展問題“如何用五點(diǎn)法作y=Asin(ψx+φ）圖象？”

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率高，教師每分鐘提問約4次，涵蓋概念辨析、規(guī)律發(fā)現(xiàn)和變式訓(xùn)練。學(xué)生參與度達(dá)90%，典型互動(dòng)包括：教師提問“ψ＜0時(shí)圖象如何變化？”學(xué)生回答“沿x軸壓縮”后教師糾正為“周期變化方向相反”；小組討論時(shí)學(xué)生提出“φ與平移距離單位不同”引發(fā)全班思考。課堂中有12次學(xué)生主動(dòng)發(fā)言，教師采用“追問法”深化理解，如“你為什么認(rèn)為周期縮短了？”促使學(xué)生解釋?duì)自龃蟮挠绊??；?dòng)形式多樣，包括教師主導(dǎo)的講解、小組合作的探究、全班展示的匯報(bào)，以及通過答題系統(tǒng)進(jìn)行的即時(shí)反饋。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高，課堂專注度達(dá)85%，尤其在動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)，學(xué)生主動(dòng)觀察圖象變化特征。合作學(xué)習(xí)效果顯著，4人小組在探究平移規(guī)律時(shí)形成“記錄員”“講解員”“操作員”分工，有2組提出“平移距離與φ絕對(duì)值成正比”的猜想。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)表現(xiàn)出創(chuàng)造性思維，有3組嘗試用幾何畫板制作動(dòng)畫展示變換過程。當(dāng)教師提問“如何用平移法將y=sinx變?yōu)閥=sinx+2”時(shí)，有5名學(xué)生舉手，最終選擇學(xué)生上臺(tái)演示，其步驟清晰但遺漏關(guān)鍵點(diǎn)，教師引導(dǎo)其他學(xué)生補(bǔ)充完善。課堂中有8名學(xué)生使用草稿紙記錄推導(dǎo)過程，反映出深度學(xué)習(xí)行為。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生遵守發(fā)言規(guī)則，小組討論時(shí)采用“輕聲討論”模式。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入5分鐘、展開35分鐘、結(jié)束10分鐘，各環(huán)節(jié)過渡自然。教師通過手勢和表情控制課堂節(jié)奏，當(dāng)發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生走神時(shí)及時(shí)采用“眼神提示法”，動(dòng)態(tài)演示視頻播放時(shí)間嚴(yán)格控制在3分鐘內(nèi)。變式訓(xùn)練環(huán)節(jié)采用“分層投放”策略，基礎(chǔ)題通過答題系統(tǒng)匿名提交，難題設(shè)置“挑戰(zhàn)卡”供學(xué)有余力學(xué)生完成。在處理小組分歧時(shí)，教師采用“中立仲裁法”：“請(qǐng)正反方代表分別說明依據(jù)”，最終達(dá)成共識(shí)。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，動(dòng)態(tài)演示視頻直觀展示φ、ψ變化對(duì)圖象的影響，答題系統(tǒng)實(shí)時(shí)生成錯(cuò)誤率熱力圖。幾何畫板操作環(huán)節(jié)中，教師提前錄制好動(dòng)畫制作教程，學(xué)生通過二維碼自主學(xué)習(xí)。技術(shù)支持主要體現(xiàn)在：1）可視化呈現(xiàn)變換過程，如平移時(shí)圖象移動(dòng)軌跡的軌跡線；2）數(shù)據(jù)采集功能，如通過傳感器測量周期變化；3）互動(dòng)性增強(qiáng)，答題系統(tǒng)提供即時(shí)糾錯(cuò)和變式練習(xí)。但存在技術(shù)局限，部分學(xué)生因操作不熟練導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)延遲，教師通過“一對(duì)一指導(dǎo)”解決技術(shù)障礙。技術(shù)使用符合SMART原則，即動(dòng)態(tài)演示視頻的“S”特性和“M”多感官刺激，但需加強(qiáng)技術(shù)前測確保公平性。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確且適切，聚焦于函數(shù)y=Asin(ψx+φ）的圖象及其變換規(guī)律，具體包括：理解A、ψ、φ對(duì)圖象的影響；掌握“五點(diǎn)法”作圖步驟；能綜合運(yùn)用變換規(guī)律解決實(shí)際問題。目標(biāo)設(shè)定符合高三年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平，既包含對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握要求，也提出對(duì)規(guī)律遷移和綜合應(yīng)用的能力要求。從課堂表現(xiàn)和課后檢測來看，目標(biāo)達(dá)成度較高。在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，學(xué)生能準(zhǔn)確回憶y=sinx圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。展開階段通過小組討論和實(shí)驗(yàn)操作，約92%的學(xué)生能歸納出φ平移、ψ伸縮的基本規(guī)律，課堂練習(xí)正確率達(dá)87%。在變式訓(xùn)練中，90%以上的學(xué)生能正確處理y=Asin(ψx+φ）向右平移c個(gè)單位的問題，表明目標(biāo)達(dá)成較為理想。存在個(gè)別差異，約8%的學(xué)生對(duì)周期T與ψ的倒數(shù)關(guān)系理解模糊，需后續(xù)個(gè)別輔導(dǎo)。目標(biāo)適切性體現(xiàn)在：1）與高考要求高度契合，如2022年全國卷II第12題涉及此類變換；2）符合課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角函數(shù)圖象變換的要求；3）考慮了學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)（同角三角函數(shù)基本關(guān)系式）。目標(biāo)達(dá)成度高的原因包括：教學(xué)設(shè)計(jì)遵循認(rèn)知規(guī)律，從特殊到一般；采用多元教學(xué)方法激發(fā)興趣；及時(shí)反饋矯正錯(cuò)誤。

2.知識(shí)掌握

學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶情況良好。在概念層面，約95%的學(xué)生能準(zhǔn)確表述A決定振幅、ψ決定周期、φ決定平移的內(nèi)涵。記憶效果體現(xiàn)在：1）關(guān)鍵公式記憶，如平移公式x→x+φ/ψ的遷移應(yīng)用；2）圖象變換規(guī)律的記憶，90%的學(xué)生能默寫“左加右減”法則；3）五點(diǎn)法作圖步驟的記憶，小組匯報(bào)中多數(shù)能完整說出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律。技能掌握程度方面表現(xiàn)突出：1）動(dòng)態(tài)演示操作技能，學(xué)生能熟練使用幾何畫板調(diào)整參數(shù)觀察圖象變化；2）作圖技能，課堂練習(xí)中85%的學(xué)生能正確畫出y=2sin(1/2x+π/4)的簡圖；3）綜合應(yīng)用技能，在解決y=sinx向左平移π/3后與y=cosx圖象重合問題時(shí)，78%的學(xué)生能建立方程ψx+φ=-π/2+2kπ求解。存在的主要問題是：部分學(xué)生對(duì)參數(shù)變化的順序敏感度不足，如先伸縮后平移時(shí)易混淆；少數(shù)學(xué)生未掌握周期T的取整技巧（T=2kπ/|ψ|）。教師通過類比方法（與指數(shù)函數(shù)變換對(duì)比）強(qiáng)化理解，效果顯著。知識(shí)掌握的差異分析顯示：實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?qiáng)的學(xué)生更易理解變換本質(zhì)，而邏輯思維占優(yōu)的學(xué)生在推導(dǎo)周期公式時(shí)表現(xiàn)更佳。建議后續(xù)增加參數(shù)綜合變化（如同時(shí)改變A和ψ）的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，以強(qiáng)化認(rèn)知。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

本節(jié)課有效促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。在情感態(tài)度方面：1）學(xué)習(xí)興趣激發(fā)，動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)學(xué)生表現(xiàn)出濃厚興趣，課堂提問率達(dá)88%；2）探究欲望培養(yǎng)，小組討論中提出“ψ＜0時(shí)圖象翻折”的猜想，教師引導(dǎo)其驗(yàn)證，培養(yǎng)科學(xué)探究精神；3）合作意識(shí)增強(qiáng)，4人小組分工協(xié)作完成任務(wù)，記錄員負(fù)責(zé)歸納，講解員負(fù)責(zé)展示，體現(xiàn)團(tuán)隊(duì)精神。在數(shù)學(xué)態(tài)度方面：1）嚴(yán)謹(jǐn)性培養(yǎng)，教師強(qiáng)調(diào)參數(shù)單位不同的問題，如φ是角度制還是弧度制；2）批判性思維發(fā)展，當(dāng)某小組提出“平移距離與|φ|成正比”時(shí)，教師沒有直接否定而是引導(dǎo)分析其適用條件；3）審美能力提升，通過圖象美展示數(shù)學(xué)文化，如“圖象變換的藝術(shù)性”引發(fā)學(xué)生思考。在價(jià)值觀方面：1）應(yīng)用意識(shí)增強(qiáng)，教師結(jié)合航海中雷達(dá)信號(hào)傳播問題引入平移變換，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值；2）辯證思維培養(yǎng)，通過對(duì)比y=sinx與y=Asin(x+φ)圖象的異同，學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系；3）終身學(xué)習(xí)意識(shí)萌芽，拓展作業(yè)中提出“如何用計(jì)算機(jī)編程作圖”的問題，激發(fā)進(jìn)一步學(xué)習(xí)興趣。課堂生成性資源豐富，有學(xué)生提出“能否用分形幾何解釋圖象自相似性”，教師雖未深入但肯定其創(chuàng)意，保護(hù)了好奇心。情感態(tài)度的測評(píng)方法包括：1）觀察記錄，如85%的學(xué)生在實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)主動(dòng)分享發(fā)現(xiàn)；2）訪談片段，有學(xué)生表示“原來平移是φ的倒數(shù)作用”；3）作品分析，優(yōu)秀作業(yè)中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的審美追求。不足之處在于價(jià)值觀滲透需更自然，如數(shù)學(xué)史料的融入可以更緊密，建議在后續(xù)版本中增加中國古代樂律與三角函數(shù)變換的關(guān)聯(lián)案例。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象優(yōu)秀，是一堂體現(xiàn)新課標(biāo)理念、符合學(xué)情、富有探究性的高效數(shù)學(xué)課。最突出的優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先，教學(xué)設(shè)計(jì)邏輯清晰，環(huán)環(huán)相扣，從y=sinx的復(fù)習(xí)引入，到參數(shù)A、ψ、φ的逐個(gè)探究，再到綜合變換的應(yīng)用，符合高三年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了由淺入深、由具體到抽象的教學(xué)原則。其次，教學(xué)方法多元有效，融合了教師啟發(fā)式講授、學(xué)生小組討論、幾何畫板動(dòng)態(tài)演示、答題系統(tǒng)即時(shí)反饋等多種教學(xué)手段，特別是動(dòng)態(tài)演示視頻的應(yīng)用，將抽象的圖象變換過程可視化，極大地提高了學(xué)生的直觀理解能力。再次，師生互動(dòng)充分，教師通過精心設(shè)計(jì)的問題鏈引導(dǎo)學(xué)生思考，如“φ如何影響平移方向？”“ψ與周期有何關(guān)系？”，激發(fā)了學(xué)生的思維活躍度，課堂提問覆蓋面廣，學(xué)生參與度高，達(dá)到了85%以上。此外，課堂管理有序，教師通過合理的節(jié)奏控制、明確的指令和適時(shí)的肢體語言，維持了良好的課堂紀(jì)律，時(shí)間分配科學(xué)，各環(huán)節(jié)過渡自然，教學(xué)重點(diǎn)突出，對(duì)y=Asin(ψx+φ）圖象變換規(guī)律的探究時(shí)間充足，變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)合理，滿足了不同層次學(xué)生的需求。最后，教學(xué)技術(shù)使用恰當(dāng)，現(xiàn)代教育技術(shù)手段有效輔助了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，如動(dòng)態(tài)演示視頻、幾何畫板、答題系統(tǒng)等，不僅提高了教學(xué)效率，也培養(yǎng)了學(xué)生的信息技術(shù)素養(yǎng)?？傮w而言，本節(jié)課達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生在知識(shí)、技能和情感態(tài)度價(jià)值觀方面均獲得了顯著發(fā)展，是一堂值得學(xué)習(xí)和推廣的優(yōu)質(zhì)課。

2.改進(jìn)建議

盡管本節(jié)課已展現(xiàn)出諸多亮點(diǎn)，但仍有提升空間，針對(duì)存在的問題提出以下具體改進(jìn)措施：首先，在知識(shí)掌握方面，部分學(xué)生對(duì)參數(shù)變化的順序敏感度不足，如先伸縮后平移時(shí)易混淆，建議增加對(duì)比實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)y=sinx先壓縮再平移，與y=sinx先平移再壓縮的對(duì)比作圖實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生直觀感受順序影響，并在實(shí)驗(yàn)后組織小組討論，總結(jié)規(guī)律。其次，在技能訓(xùn)練方面，少數(shù)學(xué)生未掌握周期T的取整技巧（T=2kπ/|ψ|），建議增加“周期取整”的專項(xiàng)練習(xí)，設(shè)計(jì)如“求y=3sin(2x+π/6)的最小正周期”等基礎(chǔ)題，并引入變式題“若T∈(π/2，2π)，求ψ范圍”，強(qiáng)化理解。再次，在師生互動(dòng)方面，雖然課堂提問頻率較高，但部分問題設(shè)計(jì)可以更具層次性，如將“如何用平移法將y=sinx變?yōu)閥=sinx+2”改為“觀察y=sinx+2與y=sinx圖象關(guān)系，猜想平移方向和距離，并嘗試證明”，引導(dǎo)學(xué)生從觀察→猜想→證明的完整數(shù)學(xué)思維過程。此外，在技術(shù)使用方面，部分學(xué)生因操作不熟練導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)延遲，建議增加課前5分鐘的技術(shù)培訓(xùn)環(huán)節(jié)，提供微課視頻和操作指南二維碼，讓學(xué)生提前熟悉軟件基本操作，并設(shè)置“技術(shù)求助”環(huán)節(jié)，安排學(xué)生互助或教師定點(diǎn)指導(dǎo)。最后，在價(jià)值觀滲透方面，數(shù)學(xué)史料的融入可以更緊密，建議在導(dǎo)入環(huán)節(jié)增加中國古代“以矢代數(shù)”思想與三角函數(shù)變換的關(guān)聯(lián)介紹，如《周髀算經(jīng)》中的勾股弦關(guān)系與sin函數(shù)圖像的內(nèi)在聯(lián)系，增強(qiáng)文化育人效果。

如何進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量？可以從以下幾方面著手：第一，深化教材研究，挖掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如本節(jié)課中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，可以設(shè)計(jì)專題活動(dòng)，讓學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中持續(xù)應(yīng)用。第二，加強(qiáng)學(xué)情分析，利用學(xué)情調(diào)查問卷、課前訪談等方式，更精準(zhǔn)地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和需求，實(shí)施差異化教學(xué)。第三，優(yōu)化教學(xué)評(píng)價(jià)，建立多元化的評(píng)價(jià)體系，包括過程性評(píng)價(jià)（課堂表現(xiàn)、小組貢獻(xiàn)）和結(jié)果性評(píng)價(jià)（作業(yè)質(zhì)量、檢測成績），并注重評(píng)價(jià)的反饋功能，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。第四，拓展教學(xué)資源，開發(fā)校本課程資源，如制作函數(shù)圖象變換的動(dòng)態(tài)幾何題庫，提供更多變式練習(xí)和探究性問題，滿足學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)需求。第五，加強(qiáng)教學(xué)反思，教師課后及時(shí)記錄教學(xué)得失，形成教學(xué)日志，并積極參加集體備課和教學(xué)研討，通過同伴互助提升教學(xué)能力。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)改進(jìn)情況。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長：首先，安排一次回聽課，重點(diǎn)關(guān)注教師對(duì)改進(jìn)建議的落實(shí)情況，特別是對(duì)比實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、周期取整技巧的專項(xiàng)訓(xùn)練等環(huán)節(jié)的實(shí)施效果?；芈犝n后，將組織評(píng)課議課活動(dòng)，針對(duì)改進(jìn)亮點(diǎn)和仍需完善之處進(jìn)行深入研討，提供具體修改建議。其次，提供專業(yè)發(fā)展支持，邀請(qǐng)數(shù)學(xué)教育專家進(jìn)行專題講座，內(nèi)容可圍繞“三角函數(shù)圖象變換的教學(xué)策略”展開，分享最新的教學(xué)研究成果和優(yōu)秀教學(xué)案例，拓寬教師的教學(xué)視野。同