第01講平面向量的概念及線性運算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：平面向量的基本概念 2題型二：平面向量的線性運算及求參數(shù)問題 3題型三：共線定理及其應(yīng)用 4題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用 7題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運算 10題型六：向量共線的坐標(biāo)表示 1302重難創(chuàng)新練 1403真題實戰(zhàn)練 21題型一：平面向量的基本概念1．下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行C．模為1的向量都是相等向量D．向量的模可以比較大小【答案】D【解析】向量是有大小又有方向的矢量，不能比較大小，故A錯；由于零向量的方向不確定，故規(guī)定零向量與任意向量平行，故B錯；長度相等、方向相同的向量稱為相等向量，模長為1的向量只規(guī)定了長度相等，方向不一等相同，故C錯；向量的模長是一個數(shù)量，因此可以比較大小，故D正確.故選：D.2．關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（

）A．向量可以比較大小 B．向量的?？梢员容^大小C．速度是向量，位移是數(shù)量 D．零向量是沒有方向的【答案】B【解析】向量不可以比較大小，但向量的模是數(shù)量，可以比較大小，A錯誤，B正確；速度和位移都有方向和大小，是向量，C錯誤；零向量方向任意，D錯誤.故選：B3．若向量與為非零向量，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若非零向量，則與的方向相同D．若，則【答案】C【解析】對于A選項，由于向量不能比大小，所以A選項錯誤；對于B選項，，B錯誤；對于C選項，因為，所以，所以，所以，設(shè)向量又向量與是非零向量，所以，又，所以，故與的方向相同；C正確；若，方向不一定相同，則不一定相等，D錯誤；故選：C.題型二：平面向量的線性運算及求參數(shù)問題4．如圖所示，在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點.若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點，則，所以，則，所以，則.故選：B.5．（2024·山東聊城·一模）是內(nèi)的一點，若，，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】由，則，所以，即，又，故，故.故選：D6．已知向量共線，且，則．【答案】或【解析】由向量共線，故向量可能同向、可能反向，當(dāng)向量同向時，由，則，當(dāng)向量反向時，由，則.即可能為或.故答案為：或.題型三：共線定理及其應(yīng)用7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點共線 B．、、三點共線C．、、三點共線 D．、、三點共線【答案】C【解析】對A，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故A錯誤；對B，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故B錯誤；對C，因為，，則，故、、三點共線，故C正確；對D，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故D錯誤.故選：C8．已知非零向量和不共線，若與共線，則的值為．【答案】/【解析】非零向量和不共線，則，由與共線，得，因此，解得，所以的值為.故答案為：9．已知是不共線的向量，且，則（

）A．三點共線 B．三點共線 C．三點共線 D．三點共線【答案】C【解析】A：假設(shè)存在實數(shù)，使得，則三點共線.，得，無解，所以假設(shè)不成立，故A錯誤；B：假設(shè)存在實數(shù)，使得，則三點共線.，得，無解，所以假設(shè)不成立，故B錯誤；C：，假設(shè)存在實數(shù)，使得，則三點共線.，得，解得，所以假設(shè)成立，故C正確；D：，假設(shè)存在實數(shù)，使得，則三點共線.，得，無解，所以假設(shè)不成立，故D錯誤.故選：C10．已知分別為的邊上的點，線段和相交于點，若，，，其中．則的最小值為．【答案】【解析】如圖所示：因為，所以又，所以，所以,三點共線，，化簡得；，當(dāng)且僅當(dāng)，，取等；故答案為：.11．在中，為上的一點，滿足.若為上的一點，滿足，則與的關(guān)系為；的最小值為.【答案】【解析】如圖所示，由得，即，又，所以，又為上的一點，所以，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：；.題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用12．已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【答案】B【解析】分別為的邊上的中線,則,,由于，，所以,故解得故選：B13．（2024·廣東汕頭·三模）已知四邊形是平行四邊形，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，由，，得.故選：A14．設(shè)為平面內(nèi)的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】平面向量的基底由兩個不共線的非零向量組成，C選項中，，即和為共線向量，所以它們不能作為基底.其它選項中的兩個向量都沒有倍數(shù)關(guān)系，所以可以作為基底.故選：C15．在中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，所以M是位于BC上的靠近點B的四等分點，N為AC的中點，如下圖所示：所以.故選：D16．（2024·高三·貴州貴陽·開學(xué)考試）如圖，在中，點為線段的中點，點是線段上靠近的三等分點，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】因為為線段的中點，則，因為點是線段上靠近的三等分點，則，因此，.故選：A.17．如圖，在平行四邊形中，為的中點，與交于點，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，且，所以，即.故選：D18．（2024·云南昆明·一模）在中，點滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如下圖所示：易知；即可得.故選：C題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運算19．若向量，則對應(yīng)的位置向量的終點坐標(biāo)是．【答案】【解析】，所以對應(yīng)的位置向量的終點坐標(biāo)是.故答案為：20．如圖，直線?與軸正方向的夾角分別為和，，，則的坐標(biāo)是.【答案】【解析】如圖所示，過點A、B分別作垂線，垂足分別為C、D,由題得A的坐標(biāo)為由于,所以點B的坐標(biāo)為所以的坐標(biāo)為即.故答案為：21．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）菱形中，，，則．【答案】-3【解析】由題意，在菱形中，，，可得，，∴，解得：．故答案為：-3．22．已知，，點在線段延長線上，且，則點P的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)是坐標(biāo)原點，由于在線段延長線上，且，所以，則，所以，所以點的坐標(biāo)是.故答案為：23．已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三個頂點A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點D的坐標(biāo)為．【答案】(2，4)【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴,設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，則，，∴，∴，解得，∴點D的坐標(biāo)為(2，4).故答案為：(2，4).24．已知點，O為坐標(biāo)原點，則AC與OB的交點P的坐標(biāo)為.【答案】(3,3)【解析】法一:由O，P，B三點共線，可設(shè),則,又，由共線，得，解得，所以,所以點P的坐標(biāo)為(3,3),故答案為：法二:設(shè)點P(x,y)，則，因為，且與共線，所以，即x=y.又，，且共線，所以，解得x=y=3，所以點P的坐標(biāo)為(3,3)，故答案為：題型六：向量共線的坐標(biāo)表示25．如果三點共線，則的值為.【答案】3【解析】因為三點共線，所以存在使得.即，解得.故答案為：326．已知，，且，則實數(shù)．【答案】【解析】因為，，所以，又，所以，解得.故答案為：27．若，，三點共線，則.【答案】【解析】因為，，，所以，因為，，三點共線，所以與共線，所以，得，故答案為：28．在平面直角坐標(biāo)系中，，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】【解析】A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則與不共線，，若與共線，則有，解得，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，即實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：1．已知向量，不共線，實數(shù)，滿足，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【解析】由，不共線，實數(shù)，滿足，得，解得，，所以.故選：A2．設(shè)是非零向量，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】對于非零向量，由可知向量共線，但不一定是，所以充分性不成立；由，可知向量共線同向，則，所以必要性成立，所以設(shè)是非零向量，則是成立的必要不充分條件，故選：C.3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知點，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，所以，從而與向量同方向的單位向量為.故選：A.4．已知為不共線向量，，則（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線【答案】A【解析】因為，所以三點共線，故選：A．5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在中，，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)的中點為，則，所以，，則．設(shè)，由于，則，則．假如的起點均為，運用加法的平行四邊形法作圖求和，對角線對應(yīng)的終點如圖所示，所以．故選：A．6．（2024·貴州六盤水·三模）已知點O為的重心，，則（）A． B． C．1 D．6【答案】A【解析】根據(jù)向量加法三角形運算法知（?）；F為中點，則（??）；點O為的重心，則，代入（??）得到，，代入（?）得到，，結(jié)合，可得，所以.故選：A.7．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】若，有，解得．故選：B．8．（2024·河北承德·二模）在中，為中點，連接，設(shè)為中點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，所以，故選：D9．（多選題）（2024·高三·山東泰安·期末）如圖，在四邊形ABCD中，為BC邊上一點，且為AE的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，由向量加法的三角形法則得，又F為AE的中點，則，故A正確；，故B正確；，故D正確；，故C錯誤.故選：ABD10．（多選題）（2024·湖南長沙·一模）下列說法不正確的是（

）A．若，則與的方向相同或者相反B．若，為非零向量，且，則與共線C．若，則存在唯一的實數(shù)使得D．若是兩個單位向量，且，則【答案】ACD【解析】對A，若為零向量時，與的方向不確定，故A錯誤；對B，分別表示，方向上的單位向量，根據(jù)題意可知B正確；對C，若為零向量，不為零向量時，不存在實數(shù)使得，故C錯誤；對D，由，所以，故D錯誤.故選：ACD11．（多選題）（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）在中，為邊上一點且滿足，若為邊上一點，且滿足，，為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為4【答案】BD【解析】因為，所以，又，因為、、三點共線，所以，又，為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故A錯誤，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故C錯誤，D正確.故選：BD12．（2024·上?！と＃┰O(shè)平面向量，，若，不能組成平面上的一個基底，則．【答案】/【解析】由，不能組成平面上的一個基底，得，而，，因此，所以.故答案為：13．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在中，，P是線段AD上的動點（與端點不重合），設(shè)，則的最小值是.【答案】【解析】因為在中，，所以，又因為，則，因為三點共線，則，結(jié)合題意知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故答案為：14．（2024·上海·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，為中點，與交于點，若將，作為平面向量的一個基，則向量可表示為（用表示）.

【答案】【解析】由已知，則，所以，所以.故答案為：.15．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，設(shè)向量，，若向量與向量共線，則角．【答案】【解析】因為向量，共線，所以，即，得，在中，由余弦定理得，，又，所以．故答案為：.16．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的邊長為2，點滿足，且，，，則的取值范圍是.【答案】【解析】取的中點，則，又，又因為，故三點共線，即點在中線上運動，在正三角形中，，又，，則，故.故答案為：1．（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（廣東卷））已知平面向量，，且，則等于（

）A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）【答案】D【解析】因為，，且，所以m=-4，，所以=（-4，-8），故選：D2．（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（陜西卷））已知向量，，若，則實數(shù)m等于（

）A．－ B．C．－或 D．0【答案】C【解析】由知：1×2－m2＝0，即或.故選：C.3．（2015年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）如下圖，是線段的中點，設(shè)向量，，那么能夠表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，．故選：B4．（2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】連結(jié)