202X臺州市初一數(shù)學(xué)上冊期末壓軸題匯編一、七年級上冊數(shù)學(xué)壓軸題1．如圖1，在平面內(nèi)，已知點O在直線上，射線、均在直線的上方，（），，平分，與互余．（1）若，則________°；（2）當(dāng)在內(nèi)部時①若，請在圖2中補全圖形，求的度數(shù)；②判斷射線是否平分，并說明理由；（3）若，請直接寫出的值．答案：（1）；（2）①補全圖形見解析；；②OF平分，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根據(jù)∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；解析：（1）；（2）①補全圖形見解析；；②OF平分，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根據(jù)∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；（2）①根據(jù)題意即可補全圖形；根據(jù)∠DOF與∠AOC互余，可求出∠DOF，又因為OD平分∠COE，可求得∠DOE，根據(jù)∠EOF=∠DOF-∠DOE即可求解；②根據(jù)∠DOF=-∠AOC，∠BOF=，即可求證；（3）分兩種情況進(jìn)行計算：①OF在∠BOC內(nèi)部，根據(jù)∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，可得∠DOE=∠COD=，繼而可得∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，根據(jù)∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°即可求出的值；②OF在∠BOC外部，根據(jù)∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF，可得到∠AOF=，又因為∠DOF與∠AOC互余，可得到∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，繼而可求出的值．【詳解】解：（1）∵AB為直線，∴∠AOE+∠BOE=180°，又∵∠AOE：∠BOE=1：5，∴∠AOE=，∵∠AOC=，∠COE=，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=+==30°，解得：；（2）①補全的圖形見下圖：∵∠DOF與∠AOC互余，∴∠DOF=-∠AOC=70°，∵OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE==20°，∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=；②OF平分∠BOD，理由如下：由題意得：∠DOF=-∠AOC=-，∠BOF===，∴∠DOF=∠BOF，∴OF平分∠BOD；（3）分兩種情況：①當(dāng)OF在∠BOC內(nèi)部時，如下圖所示：∵∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE=∠COD=，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，∴∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°，即，解得：；②當(dāng)OF在∠BOC外部時，如下圖所示：∵OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE=∠COD=，∵∠EOF=4∠AOC=，∴∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF=++∠AOF=，∴∠AOF=，∵∠DOF與∠AOC互余，∴∠DOF+∠AOC=90°，即∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，∴+++=90°，解得：綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查角平分線、余角補角、尺規(guī)作圖等知識，綜合運用相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．2．已知多項式，次數(shù)是b，4a與b互為相反數(shù)，在數(shù)軸上，點A表示a，點B表示數(shù)b．(1)a=，b=；(2)若小螞蟻甲從點A處以3個單位長度/秒的速度向左運動，同時小螞蟻乙從點B處以4個單位長度/秒的速度也向左運動，丙同學(xué)觀察兩只小螞蟻運動，在它們剛開始運動時，在原點O處放置一顆飯粒，乙在碰到飯粒后立即背著飯粒以原來的速度向相反的方向運動，設(shè)運動的時間為t秒，求甲、乙兩只小螞蟻到原點的距離相等時所對應(yīng)的時間t．(寫出解答過程)(3)若小螞蟻甲和乙約好分別從A，B兩點，分別沿數(shù)軸甲向左，乙向右以相同的速度爬行，經(jīng)過一段時間原路返回，剛好在16s時一起重新回到原出發(fā)點A和B，設(shè)小螞蟻們出發(fā)t(s)時的速度為v(mm/s)，v與t之間的關(guān)系如下圖，(其中s表示時間單位秒，mm表示路程單位毫米)t（s）0＜t≤22＜t≤55＜t≤16v（mm/s）10168①當(dāng)t為1時，小螞蟻甲與乙之間的距離是．②當(dāng)2＜t≤5時，小螞蟻甲與乙之間的距離是．(用含有t的代數(shù)式表示)答案：（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）①30mm；②32t-14【分析】（1）根據(jù)多項式的次數(shù)的定義可得b值，再由相反數(shù)的定義可得a值；（2）分兩種情況討論：①甲乙兩小螞蟻均向左運動，即0≤解析：（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）①30mm；②32t-14【分析】（1）根據(jù)多項式的次數(shù)的定義可得b值，再由相反數(shù)的定義可得a值；（2）分兩種情況討論：①甲乙兩小螞蟻均向左運動，即0≤t≤2時，此時OA=2+3t，OB=8-4t；②甲向左運動，乙向右運動，即t＞2時，此時OA=2+3t，OB=4t-8；（3）①令t=1，根據(jù)題意列出算式計算即可；②先得出小螞蟻甲和乙爬行的路程及各自爬行的返程的路程，則可求得小螞蟻甲與乙之間的距離．【詳解】解：（1）∵多項式4x6y2-3x2y-x-7，次數(shù)是b，∴b=8；

∵4a與b互為相反數(shù)，

∴4a+8=0，

∴a=-2．

故答案為：-2，8；

（2）分兩種情況討論：

①甲乙兩小螞蟻均向左運動，即0≤t≤2時，此時OA=2+3t，OB=8-4t；

∵OA=OB，

∴2+3t=8-4t，

解得：t=；②甲向左運動，乙向右運動，即t＞2時，此時OA=2+3t，OB=4t-8；∵OA=OB，

∴2+3t=4t-8，

解得：t=10；

∴甲、乙兩只小螞蟻到原點的距離相等時所對應(yīng)的時間t為秒或10秒；（3）①當(dāng)t為1時，小螞蟻甲與乙之間的距離是：8+10×1-（-2-10×1）=30mm；②∵小螞蟻甲和乙同時出發(fā)以相同的速度爬行，∴小螞蟻甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的總路程都等于：

10×2+16×3+8×11=156（mm），

∵原路返回，剛好在16s時一起重新回到原出發(fā)點A和B，

∴小螞蟻甲和乙返程的路程都等于78mm，

∴甲乙之間的距離為：8-（-2）+10×2×2+16×（t-2）×2=32t-14．故答案為：32t-14．【點睛】本題考查了一元一次方程在數(shù)軸上兩點之間的距離問題中的應(yīng)用，具有方程思想并會分類討論是解題的關(guān)鍵．3．?dāng)?shù)軸上有三點，給出如下定義；若其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點是其它兩個點的：“關(guān)聯(lián)點”（1）例圖，數(shù)軸上點三點所表示的數(shù)分別為，點到點的距離，點到點的距離是，因為是的兩倍，所以稱點是點的“關(guān)聯(lián)點”．（2）若點表示數(shù)點表示數(shù)，下列各數(shù)所對應(yīng)的點分別是，其中是點的“關(guān)聯(lián)點”的是；（3）點表示數(shù)，點表示數(shù)為數(shù)軸上一個動點；若點在點的左側(cè)，且點是點的“關(guān)聯(lián)點”，求此時點表示的數(shù)；若點在點的右側(cè)，點中，有一個點恰好是其它兩個點的“關(guān)聯(lián)點”．請直接寫出此時點表示的數(shù)答案：（1）2，1；（2）；；（3）當(dāng)P在點B的左側(cè)時，P表示的數(shù)為-35或或；若點P在點B的右側(cè)，P表示的數(shù)為40或或．【分析】（1）利用數(shù)軸上兩點之間的距離公式直接可求得；（2）根據(jù)題意求得CA解析：（1）2，1；（2）；；（3）當(dāng)P在點B的左側(cè)時，P表示的數(shù)為-35或或；若點P在點B的右側(cè)，P表示的數(shù)為40或或．【分析】（1）利用數(shù)軸上兩點之間的距離公式直接可求得；（2）根據(jù)題意求得CA與BC的關(guān)系，得到答案；（3）根據(jù)PA=2PB或PB=2PA列方程求解；分當(dāng)P為A、B關(guān)聯(lián)點、A為P、B關(guān)聯(lián)點、B為A、P關(guān)聯(lián)點三種情況列方程解答．【詳解】解：（1）三點所表示的數(shù)分別為，AB=3-1=2；BC=4-3=1，故答案是：2，1；（2）點A表示的數(shù)為-2，點B表示的數(shù)為1，表示的數(shù)為-1=1,=2是點A,B的“關(guān)聯(lián)點”點A表示的數(shù)為-2，點B表示的數(shù)為1，表示的數(shù)為2=4,=1不是點A,B的“關(guān)聯(lián)點”點A表示的數(shù)為-2，點B表示的數(shù)為1，表示的數(shù)為4=6,=3是點A,B的“關(guān)聯(lián)點”點A表示的數(shù)為-2，點B表示的數(shù)為1，表示的數(shù)為6=8,=5不是點A,B的“關(guān)聯(lián)點”故答案為：（3）①若點P在點B的左側(cè)，且點P是點A,B的“關(guān)聯(lián)點”，設(shè)點P表示的數(shù)為（I）當(dāng)P在點A的左側(cè)時，則有：2PA=PB，即2（-10-）=15-解得=-35（II）當(dāng)點P在A,B之間時，有2PA=PB或PA=2PB既有2（+10）=15-或+10=2（15-）解得=或因此點P表示的數(shù)為-35或或②若點P在點B的右側(cè)（I）若點P是A,B的“關(guān)聯(lián)點”則有2PB=PA即2（-15）=+10解得=40（II）若點B是A,P的“關(guān)聯(lián)點”則有2AB=PB或AB=2PB即2（15+10）=-15或15+10=2（x-15）解得=65或（III）若點A是B,P的“關(guān)聯(lián)點”則有2AB=AP即2（15+10）=+10解得=40因此點P表示的數(shù)為40或或【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸及數(shù)軸上兩點的距離、動點問題，認(rèn)真理解關(guān)聯(lián)點的概念，分情況討論列式是解題關(guān)鍵．4．如圖，在數(shù)軸上，點O是原點，點A，B是數(shù)軸上的點，已知點A對應(yīng)的數(shù)是a，點B對應(yīng)的數(shù)是b，且a，b滿足．（1）在數(shù)軸上標(biāo)出點A，B的位置．（2）在數(shù)軸上有一個點C，滿足，則點C對應(yīng)的數(shù)為________．（3）動點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，點P以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動設(shè)運動時間為t秒（）．①當(dāng)為何值時，原點O恰好為線段PQ的中點．②若M為AP的中點，點N在線段BQ上，且，若時，請直接寫出t的值．答案：（1）見解析；（2）；（3）①時，點O恰好為線段PQ的中點；②當(dāng)MN=3時,的值為或秒．【分析】（1）由絕對值和偶次方的非負(fù)性質(zhì)得出，，得出，，畫出圖形即可；（2）設(shè)點C對應(yīng)的數(shù)為x，分兩解析：（1）見解析；（2）；（3）①時，點O恰好為線段PQ的中點；②當(dāng)MN=3時,的值為或秒．【分析】（1）由絕對值和偶次方的非負(fù)性質(zhì)得出，，得出，，畫出圖形即可；（2）設(shè)點C對應(yīng)的數(shù)為x，分兩種情況，畫出示意圖，由題意列出方程，解方程即可；（3）①分相遇前和相遇后兩種情況，畫出示意圖，由題意列出方程，解方程即可；②根據(jù)題意得到點Q、點N對應(yīng)的數(shù)，列出絕對值方程即可求解．【詳解】（1）∵，∴，，∴，，點A，B的位置如圖所示：（2）設(shè)點C對應(yīng)的數(shù)為，由題意得：C應(yīng)在A點的右側(cè)，∴CA==，①當(dāng)點C在線段AB上時，如圖所示：則CB=，∵CA-CB=，∴，解得：；②當(dāng)點C在線段AB延長線上時，如圖所示：則CB=，∵CA-CB=，∴，方程無解；綜上，點C對應(yīng)的數(shù)為；故答案為：；（3）①由題意得：，，分兩種情況討論：相遇前，如圖：，，∵點O恰好為線段PQ的中點，∴，解得：；相遇后，如圖：，，∵點O恰好為線段PQ的中點，∴，解得：，此時，，不合題意；故時，點O恰好為線段PQ的中點；②當(dāng)運動時間為t秒時，點P對應(yīng)的數(shù)為()，點Q對應(yīng)的數(shù)為()，∵M(jìn)為AP的中點，點N在線段BQ上，且，∴點M對應(yīng)的數(shù)為，點N對應(yīng)的數(shù)為，∵，∴，∴，∴或，答：當(dāng)?shù)闹禐榛蛎霑r，．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、絕對值和偶次方的非負(fù)性以及數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形，要考慮全面，分類討論，不要遺漏．5．點A，B為數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為a，點B對應(yīng)的數(shù)為3，a3＝﹣8．（1）求A，B兩點之間的距離；（2）若點C為數(shù)軸上的一個動點，其對應(yīng)的數(shù)記為x，試猜想當(dāng)x滿足什么條件時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小．請寫出你的猜想，并說明理由；（3）若P，Q為數(shù)軸上的兩個動點（Q點在P點右側(cè)），P，Q兩點之間的距離為m，當(dāng)點P到A點的距離與點Q到B點的距離之和有最小值4時，m的值為．答案：（1）5；（2）當(dāng)﹣2＜x＜3時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，最小值為5，見詳解；（3）1或9【分析】（1）先根據(jù)立方根的定義求出a，再根據(jù)兩點之間的距離公式即可求解；（2）當(dāng)解析：（1）5；（2）當(dāng)﹣2＜x＜3時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，最小值為5，見詳解；（3）1或9【分析】（1）先根據(jù)立方根的定義求出a，再根據(jù)兩點之間的距離公式即可求解；（2）當(dāng)點C在數(shù)軸上A、B兩點之間時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，依此即可求解；（3）分兩種情況：點P在點A的左邊，點P在點B的右邊，進(jìn)行討論即可求解．【詳解】解：（1）∵a3＝﹣8．∴a＝﹣2，∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；（2）點C到A的距離為|x+2|，點C到B的距離為|x﹣3|，∴點C到A點的距離與點C到B點的距離之和為|x+2|+|x﹣3|，當(dāng)距離之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，此時的最小值為3﹣（﹣2）＝5，∴當(dāng)﹣2＜x＜3時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，最小值為5；（3）設(shè)點P所表示的數(shù)為x，∵PQ＝m，Q點在P點右側(cè)，∴點Q所表示的數(shù)為x+m，∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|∴點P到A點的距離與點Q到B點的距離之和為：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|當(dāng)x在﹣2與3﹣m之間時，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值為|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4時，解得，m＝1，故答案為：1或9．【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示是解題的關(guān)鍵．6．定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是的美好點．例如；如圖1，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為2．表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距高是2，那么點D就不是的美好點，但點D是的美好點．如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為，點N所表示的數(shù)為2．（1）點E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是，6.5，11，其中是美好點的是________；寫出美好點H所表示的數(shù)是___________．（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動．當(dāng)t為何值時，點P恰好為M和N的美好點？答案：（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根據(jù)美好點的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點E，F(xiàn)，G到點M，N的距離，只有點G符合條件．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點的定義，在數(shù)軸上尋找到點N的距離解析：（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根據(jù)美好點的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點E，F(xiàn)，G到點M，N的距離，只有點G符合條件．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點的定義，在數(shù)軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，在點的移動過程中注意到兩個點的距離的變化．（2）根據(jù)美好點的定義，分情況分別確定P點的位置，進(jìn)而可確定t的值．【詳解】解：（1）根據(jù)美好點的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點E，F(xiàn)，G到點M，N的距離，只有點G符合條件，故答案是：G．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點的定義，在數(shù)軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，點N的右側(cè)不存在滿足條件的點，點M和N之間靠近點M一側(cè)應(yīng)該有滿足條件的點，進(jìn)而可以確定-4符合條件．點M的左側(cè)距離點M的距離等于點M和點N的距離的點符合條件，進(jìn)而可得符合條件的點是-16．故答案是：-4或-16．（2）根據(jù)美好點的定義，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點分6種情況，第一情況：當(dāng)P為【M，N】的美好點，點P在M，N之間，如圖1，當(dāng)MP=2PN時，PN=3，點P對應(yīng)的數(shù)為2-3=-1，因此t=1.5秒；第二種情況，當(dāng)P為【N，M】的美好點，點P在M，N之間，如圖2，當(dāng)2PM=PN時，NP=6，點P對應(yīng)的數(shù)為2-6=-4，因此t=3秒；第三種情況，P為【N，M】的美好點，點P在M左側(cè)，如圖3，當(dāng)PN=2MN時，NP=18，點P對應(yīng)的數(shù)為2-18=-16，因此t=9秒；綜上所述，t的值為：1.5或3或9．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸、美好點的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．7．如圖，點、和線段都在數(shù)軸上，點、、、起始位置所表示的數(shù)分別為、0、2、14：線段沿數(shù)軸的正方向以每秒2個單位的速度移動，移動時間為秒．（1）當(dāng)時，的長為______，當(dāng)秒時，的長為_____．（2）用含有的代數(shù)式表示的長為______．（3）當(dāng)_____秒時，，當(dāng)______秒時，．（4）若點與線段同時出發(fā)沿數(shù)軸的正方向移動，點的速度為每秒3個單位，在移動過程中，是否存在某一時刻是的，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．答案：（1）1；5；（2）1+2t；（3）4，7；（4）t=5或t=【分析】（1）依據(jù)A、C兩點間的距離求解即可；（2）t秒后點C運動的距離為2t個單位長度，從而點C表示的數(shù)；根據(jù)A、C兩點間的距離解析：（1）1；5；（2）1+2t；（3）4，7；（4）t=5或t=【分析】（1）依據(jù)A、C兩點間的距離求解即可；（2）t秒后點C運動的距離為2t個單位長度，從而點C表示的數(shù)；根據(jù)A、C兩點間的距離求解即可．（3）t秒后點C運動的距離為2t個單位長度，點B運動的距離為2t個單位長度，從而可得到點A、點D表示的數(shù)；根據(jù)兩點間的距離=|a-b|表示出AC、BD，根據(jù)AC-BD=5和AC+BD=17得到關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程，分別解方程即可得出結(jié)論；（4）假設(shè)能夠相等，找出AC、BD，根據(jù)AC=2BD即可列出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)t=0秒時，AC=1+0=1；當(dāng)t=2秒時，移動后C表示的數(shù)為4，∴AC=1+4=5．故答案為：1；5．（2）點A表示的數(shù)為-1，點C表示的數(shù)為2t；∴AC=1+2t．故答案為1+2t．（3）∵t秒后點C運動的距離為2t個單位長度，點B運動的距離為2t個單位長度，∴C表示的數(shù)是2t，B表示的數(shù)是2+2t，∴AC=1+2t，BD=|14-（2+2t）|，∵AC-BD=5，∴1+2t-|14-（2+2t）|=5，解得：t=4．∴當(dāng)t=4秒時AC-BD=5；∵AC+BD=17，∴1+2t+|14-（2+2t）|=17，解得：t=7；當(dāng)t=7秒時AC+BD=17，故答案為4，7；（4）假設(shè)能相等，則點A表示的數(shù)為-1+3t，C表示的數(shù)為2t，B表示的數(shù)為2t+2，D表示的數(shù)為14，∴AC=|-1+3t-2t|=|-1+t|，BD=|2t+2-14|=|2t-12|，∵AC=2BD，∴|-1+t|=2|2t-12|，解得：t=5或t=．【點睛】本題考查了數(shù)軸以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．8．如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC＝30°，將一直角三角板（∠D＝30°）的直角頂點放在點O處，一邊OE在射線OA上，另一邊OD與OC都在直線AB的上方．（1）將圖1中的三角板繞點O以每秒5°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過t秒后，OD恰好平分∠BOC．①此時t的值為；（直接填空）②此時OE是否平分∠AOC？請說明理由；（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞O點以每秒8°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過多長時間OC平分∠DOE？請說明理由；（3）在（2）問的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多長時間OC平分∠DOB？請畫圖并說明理由．答案：（1）①3，②是，理由見解析；（2）t＝5秒或69秒時，OC平分∠DOE；理由見解析；（3）經(jīng)秒時，OC平分∠DOB．畫圖說明理由見解析．【分析】（1）①根據(jù)題意可直接求解；②根據(jù)題意易得∠C解析：（1）①3，②是，理由見解析；（2）t＝5秒或69秒時，OC平分∠DOE；理由見解析；（3）經(jīng)秒時，OC平分∠DOB．畫圖說明理由見解析．【分析】（1）①根據(jù)題意可直接求解；②根據(jù)題意易得∠COE＝∠AOE，問題得證；（2）根據(jù)題意先求出射線OC繞點O旋轉(zhuǎn)一周的時間，設(shè)經(jīng)過x秒時，OC平分∠DOE，然后由題意分類列出方程求解即可；（3）由（2）可得OD比OC早與OB重合，設(shè)經(jīng)過x秒時，OC平分∠DOB，根據(jù)題意可列出方程求解．【詳解】（1）①∵∠AOC＝30°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝BOC＝75°，∴t＝；故答案為3；②是，理由如下：∵轉(zhuǎn)動3秒，∴∠AOE＝15°，∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝15°，∴∠COE＝∠AOE，即OE平分∠AOC．（2）三角板旋轉(zhuǎn)一周所需的時間為＝＝72（秒），射線OC繞O點旋轉(zhuǎn)一周所需的時間為＝45（秒），設(shè)經(jīng)過x秒時，OC平分∠DOE，由題意：①8x﹣5x＝45﹣30，解得：x＝5，②8x﹣5x＝360﹣30+45，解得：x＝125＞45，不合題意，③∵射線OC繞O點旋轉(zhuǎn)一周所需的時間為＝45（秒），45秒后停止運動，∴OE旋轉(zhuǎn)345°時，OC平分∠DOE，∴t＝＝69（秒），綜上所述，t＝5秒或69秒時，OC平分∠DOE．（3）如圖3中，由題意可知，OD旋轉(zhuǎn)到與OB重合時，需要90÷5＝18（秒），OC旋轉(zhuǎn)到與OB重合時，需要（180﹣30）÷8＝（秒），所以O(shè)D比OC早與OB重合，設(shè)經(jīng)過x秒時，OC平分∠DOB，由題意：8x﹣（180﹣30）＝（5x﹣90），解得：x＝，所以經(jīng)秒時，OC平分∠DOB．【點睛】本題主要考查角的和差關(guān)系及角平分線的定義，關(guān)鍵是根據(jù)線的運動得到角的等量關(guān)系，然后根據(jù)題意列出式子計算即可．9．如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點示數(shù)b，C點表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a、c滿足|a+2|+（c﹣7）2=0．（1）a=，b=，c=；（2）若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)表示的點重合；（3）點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，假設(shè)t秒鐘過后，若點A與點B之間的距離表示為AB，點A與點C之間的距離表示為AC，點B與點C之間的距離表示為BC．則AB=，AC=，BC=．（用含t的代數(shù)式表示）（4）請問：3BC﹣2AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．答案：（1）-2，1，c=7；（2）4；（3）3t+3，5t+9，2t+6；（4）不變，3BC﹣2AB=12．【分析】（1）利用|a＋2|＋（c?7）2＝0，得a＋2＝0，c?7＝0，解得a，c解析：（1）-2，1，c=7；（2）4；（3）3t+3，5t+9，2t+6；（4）不變，3BC﹣2AB=12．【分析】（1）利用|a＋2|＋（c?7）2＝0，得a＋2＝0，c?7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整數(shù)，可得b＝1；（2）先求出對稱點，即可得出結(jié)果；（3）AB原來的長為3，所以AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，再由AC＝9，得AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，由原來BC＝6，可知BC＝4t?2t＋6＝2t＋6；（4）由3BC?2AB＝3（2t＋6）?2（3t＋3）求解即可．【詳解】（1）∵|a＋2|＋（c?7）2＝0，∴a＋2＝0，c?7＝0，解得a＝?2，c＝7，∵b是最小的正整數(shù)，∴b＝1；故答案為：?2；1；7．（2）（7＋2）÷2＝4.5，對稱點為7?4.5＝2.5，2.5＋（2.5?1）＝4；故答案為：4．（3）依題意可得AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，BC＝2t＋6；故答案為：3t＋3；5t＋9；2t＋6．（4）不變．3BC?2AB＝3（2t＋6）?2（3t＋3）＝12．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸及兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸的特點能求出兩點間的距離．10．如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如圖①放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)（1）試說明∠DPC=90°；（2）如圖②，若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如圖③．在圖①基礎(chǔ)上，若三角板PAC開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為5°/秒，同時三角板PBD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/秒，（當(dāng)PA轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動），在旋轉(zhuǎn)過程中，PC、PB、PD三條射線中，當(dāng)其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，請求出旋轉(zhuǎn)的時間．答案：（1）見解析；（2）；（3）旋轉(zhuǎn)時間為15秒或秒時，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【分析】（1）結(jié)合題意利用直角三角形的兩個銳角互余，即可證明．（2）結(jié)合題意根據(jù)角平分線的解析：（1）見解析；（2）；（3）旋轉(zhuǎn)時間為15秒或秒時，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【分析】（1）結(jié)合題意利用直角三角形的兩個銳角互余，即可證明．（2）結(jié)合題意根據(jù)角平分線的定義，利用各角之間的等量關(guān)系即可求解．（3）設(shè)t秒時，其中一條射線平分另兩條射線的夾角．根據(jù)題意求出t的取值范圍，再根據(jù)情況討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想列一元一次方程，求解即可．【詳解】（1）∵兩個三角板形狀、大小完全相同，∴，又∵，∴，∴．（2）根據(jù)題意可知，∵，，∴，又∵，∴．（3）設(shè)t秒時，其中一條射線平分另兩條射線的夾角，∵當(dāng)PA轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動，∴秒．分三種情況討論：當(dāng)PD平分時，根據(jù)題意可列方程，解得t=15秒<36秒，符合題意．當(dāng)PC平分時，根據(jù)題意可列方程，解得t=秒<36秒，符合題意．當(dāng)PB平分時，根據(jù)題意可列方程，解得t=秒>36秒，不符合題意舍去．所以旋轉(zhuǎn)時間為15秒或秒時，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，圖形的旋轉(zhuǎn)．掌握圖形旋轉(zhuǎn)的特征，找出其等量關(guān)系來列方程求解是解答本題的關(guān)鍵．11．如圖1，在內(nèi)部作射線，，在左側(cè)，且．（1）圖1中，若平分平分，則______；（2）如圖2，平分，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）設(shè)，過點O作射線，使為的平分線，再作的角平分線，若，畫出相應(yīng)的圖形并求的度數(shù)（用含m的式子表示）．答案：（1）120；（2），見解析；（3）見解析，或【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再結(jié)合已知條件即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)與已知條件進(jìn)行角之間的加減即可證明出結(jié)論；（3）根據(jù)角解析：（1）120；（2），見解析；（3）見解析，或【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再結(jié)合已知條件即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)與已知條件進(jìn)行角之間的加減即可證明出結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行角度之間的加減運算，分類討論得出結(jié)論即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵平分平分，∴，∴，∴，故答案為：120；（2）．證明：∵平分，∴，∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴；（3）如圖1，當(dāng)在的左側(cè)時，∵平分，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．∵為的平分線，∴．∴；如圖2，當(dāng)在的右側(cè)時，∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．∵為的平分線，．綜上所述，的度數(shù)為或．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與角度之間的加減運算，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形分析出各角之間的數(shù)量關(guān)系．12．如圖1，射線OC在AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：AOB、AOC和BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是AOB的奇妙線．（1）一個角的角平分線這個角的奇妙線．（填是或不是）（2）如圖2，若MPN60，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)QPN首次等于180時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t(s)．①當(dāng)t為何值時，射線PM是QPN的奇妙線？②若射線PM同時繞點P以每秒6的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止旋轉(zhuǎn)．請求出當(dāng)射線PQ是MPN的奇妙線時t的值．答案：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根據(jù)奇妙線定義即可求解；（2）①分3種情況，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分解析：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根據(jù)奇妙線定義即可求解；（2）①分3種情況，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分3種情況，MPN=2QPN；MPQ=2QPN；QPN=2MPQ．列出方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)∠α被角平分線分成的兩個角為∠1和∠2，則有∠α=2∠1，∴一個角的平分線是這個角的“奇妙線”；故答案是：是；（2）①由題意可知射線PM在QPN的內(nèi)部，∴QPN=（10t），QPM=（10t-60），（a）當(dāng)QPN=2MPN時，10t=2×60，解得t=12；（b）當(dāng)MPN=2QPM時，60=2×（10t-60），解得t=9；（c）當(dāng)QPM=2MPN時，（10t-60）=2×60，解得t=18．故當(dāng)t為9或12或18時，射線PM是∠QPN的“奇妙線”；②由題意可知射線PQ在MPN的內(nèi)部，∴QPN=（10t），MPN=（60+6t），QPM=MPN-QPN=（60-4t），（a）當(dāng)MPN=2QPN時，60+6t=2×10t，解得t=；（b）當(dāng)MPQ=2QPN時，60-4t=2×10t，解得t=；（c）當(dāng)QPN=2MPQ時，10t=2×（60-4t），解得t=．故當(dāng)射線PQ是∠MPN的奇妙線時t的值為或或．【點睛】本題考查了角之間的關(guān)系及一元一次方程的應(yīng)用，奇妙線定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解“奇妙線”的定義是解題的關(guān)鍵．13．我們知道，從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線，類似的我們給出一些新的概念：從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成度數(shù)為的兩個角的射線，叫做這個角的三分線；從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成度數(shù)為的兩個角的射線，叫做這個角的四分線……顯然，一個角的三分線、四分線都有兩條．例如：如圖，若，則是的一條三分線；若，則是的另一條三分線．（1）如圖，是的三分線，，若，則；（2）如圖，，是的四分線，，過點作射線，當(dāng)剛好為三分線時，求的度數(shù)；（3）如圖，射線、是的兩條四分線，將繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線、、中恰好有一條射線是其它兩條射線組成夾角的四分線，請直接寫出的值．答案：（1）；（2）的度數(shù)為或；（3）的值為或或或【分析】（1）根據(jù)三分線的定義解答即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三分線的定義分類解答即可；（3）根據(jù)四分線的定義分類解答即可．【詳解】解：解析：（1）；（2）的度數(shù)為或；（3）的值為或或或【分析】（1）根據(jù)三分線的定義解答即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三分線的定義分類解答即可；（3）根據(jù)四分線的定義分類解答即可．【詳解】解：（1）∵是的三分線，，，∴，故答案為：；（2），是的四分線，，，為的三分線，①當(dāng)時，，，②當(dāng)時，，，綜上所述，的度數(shù)為或，（3）∵射線、是的兩條四分線，∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°，如①圖，當(dāng)OC是∠BOD的四分線時，∠BOC=,∠BOD=80°，∠COD=20°，α=30°-20°=10°；如②圖，當(dāng)OD是∠BOC的四分線且∠BOD>∠COD時，∠COD=∠BOC=15°，α=30°+15°=45°；如③圖，當(dāng)OD是∠BOC的四分線且∠BOD<∠COD時，∠COD=∠BOC=45°，α=30°+45°=75°；如④圖，當(dāng)OB是∠COD的四分線時，∠BOC=,∠COD=80°，α=30°+80°=110°；的值為或或或【點睛】本題考查了角的計算，解決問題的關(guān)鍵是掌握角的三分線、四分線的定義，利用分類討論思想．14．已知將一副三角尺（直角三角尺和）的兩個頂點重合于點，，（1）如圖1，將三角尺繞點逆時針方向轉(zhuǎn)動，當(dāng)恰好平分時，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)三角尺擺放在內(nèi)部時，作射線平分，射線平分，如果三角尺在內(nèi)繞點任意轉(zhuǎn)動，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．答案：（1）；（2）不變．【分析】（1）根據(jù)平分，求出∠BOC，再用角的和差求∠AOC即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出∠DON和∠COM的和是∠BOD和∠AOC和的一半即可．【詳解】解：（1解析：（1）；（2）不變．【分析】（1）根據(jù)平分，求出∠BOC，再用角的和差求∠AOC即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出∠DON和∠COM的和是∠BOD和∠AOC和的一半即可．【詳解】解：（1）平分，；圖1圖2（2）不變．平分，平分，【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練運用角平分線的性質(zhì)，結(jié)合角的和差進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．15．如圖，∠AOB＝150°，射線OC從OA開始，繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每秒6°；射線OD從OB開始，繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每秒14°，OC和OD同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒（0≤t≤25）．（1）當(dāng)t為何值時，射線OC與OD重合；（2）當(dāng)t為何值時，∠COD＝90°；（3）試探索：在射線OC與OD旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個時刻，使得射線OC、OB與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請直接寫出所有滿足題意的t的取值，若不存在，請說明理由．答案：（1）；（2）或；（3）存在，或【分析】（1）設(shè)，，由列式求出t的值；（2）分情況討論，射線OC與OD重合前，或射線OC與OD重合后，列式求出t的值；（3）分情況討論，平分，或平分，或平分，解析：（1）；（2）或；（3）存在，或【分析】（1）設(shè)，，由列式求出t的值；（2）分情況討論，射線OC與OD重合前，或射線OC與OD重合后，列式求出t的值；（3）分情況討論，平分，或平分，或平分，列式求出t的值．【詳解】解：（1）設(shè)，，當(dāng)射線OC與OD重合時，，即，解得，∴當(dāng)時，射線OC與OD重合；（2）①射線OC與OD重合前，，即，解得；②射線OC與OD重合后，，即，解得，∴當(dāng)或時，∠COD＝90°；（3）①如圖，平分，則，∴，即，解得；②如圖，平分，則，∴，即，解得；③如圖，OB平分，則，即，解得，∵，∴不成立，舍去；綜上，或．【點睛】本題考查角度運動問題，解題的關(guān)鍵是用時間設(shè)出角度，根據(jù)題意列出方程求解的值．16．如圖1，P點從點A開始以的速度沿的方向移動，Q點從點C開始以的速度沿的方向移動，在直角三角形中，，若，，，如果P，Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動時間．（1）如圖1，若點P在線段上運動，點Q在線段上運動，當(dāng)t為何值時，；（2）如圖2，點Q在上運動，當(dāng)t為何值時，三角形的面積等于三角形面積的；（3）如圖3，當(dāng)P點到達(dá)C點時，P，Q兩點都停止運動，當(dāng)t為何值時，線段的長度等于線段的長．答案：（1）4，（2）9，（3）或4【分析】（1）當(dāng)P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）當(dāng)Q在解析：（1）4，（2）9，（3）或4【分析】（1）當(dāng)P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）當(dāng)Q在線段CA上時，設(shè)CQ＝t，則AQ＝12﹣t，根據(jù)三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的，列出方程即可解決問題．（3）分三種情形討論即可①當(dāng)0＜t≤8時，P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動．②當(dāng)8＜t≤12時，Q在線段CA上運動，P在線段BC上運動．③當(dāng)t＞12時，Q在線段AB上運動，P在線段BC上運動時，分別列出方程求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，∵AQ＝AP，∴12﹣t＝2t，∴t＝4．∴t＝4時，AQ＝AP．（2）當(dāng)Q在線段CA上時，設(shè)CQ＝t，則AQ＝12﹣t，∵三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的，∴?AB?AQ＝×?AB?AC，∴×16×（12﹣t）＝×16×12，解得t＝9．∴t＝9時，三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的．（3）由題意可知，Q在線段CA上運動的時間為12秒，P在線段AB上運動時間為8秒，①當(dāng)0＜t≤8時，P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4．②當(dāng)8＜t≤12時，Q在線段CA上運動，P在線段BC上運動，設(shè)CQ＝t，則AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝．③當(dāng)t＞12時，Q在線段AB上運動，P在線段BC上運動時，∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去），綜上所述，t＝或4時，AQ＝BP．【點睛】本題考查線段和差、一元一次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．17．綜合與探究：射線是內(nèi)部的一條射線，若，則我們稱射線是射線的伴隨線．例如，如圖1，，，則，稱射線是射線的伴隨線；同時，由于，稱射線是射線的伴隨線．完成下列任務(wù)：（1）如圖2，，射線是射線的伴隨線，則，若的度數(shù)是，射線是射線的伴隨線，射線是的平分線，則的度數(shù)是．（用含的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如，射線與射線重合，并繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線與射線重合，并繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時，運動停止．①是否存在某個時刻（秒），使得的度數(shù)是，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；②當(dāng)為多少秒時，射線，，中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．請直接寫出結(jié)果．答案：（1），；（2）①存在，當(dāng)秒或12.5秒時，的度數(shù)是；②秒或秒或秒或15秒【分析】（1）根據(jù)伴隨線和角平分線的性質(zhì)求解即可；（2）分為若OC與OD在相遇之前、OC與OD在相遇之后兩種情況求解解析：（1），；（2）①存在，當(dāng)秒或12.5秒時，的度數(shù)是；②秒或秒或秒或15秒【分析】（1）根據(jù)伴隨線和角平分線的性質(zhì)求解即可；（2）分為若OC與OD在相遇之前、OC與OD在相遇之后兩種情況求解即可；（3）分為（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：當(dāng)OC是OA的伴隨線時，當(dāng)OC是OD的伴隨線時；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：當(dāng)OD是OC的伴隨線時，當(dāng)OD是OA的伴隨線時，四種情況求解即可.【詳解】解：（1）如圖4所示，，,如圖4所示：，,；故答案為：，；（2）射線與重合時，（秒）①當(dāng)?shù)亩葦?shù)是時，有兩種可能：若OC與OD在相遇之前，如圖5：則，∴，若OC與OD在相遇之后，如圖6：則，∴；所以，當(dāng)秒或12.5秒時，的度數(shù)是．②（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：，，，當(dāng)OC是OA的伴隨線時，如圖7：，即：，解得；當(dāng)OC是OD的伴隨線時，如圖8：即：，解得；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：，，當(dāng)OD是OC的伴隨線時，9如圖：,即：，解得；當(dāng)OD是OA的伴隨線時，如圖10：,即：，解得；綜上：當(dāng)，，，15秒時，、、中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．【點睛】本題考查了提取信息的能力，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論的思想；關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出圖形，建立方程解答．18．以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝40°，將一個直角三角板的直角頂點放在O處，即∠DOE＝90°．（1）如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD＝；（2）如圖2，將直角三角板DOE繞點O順時針轉(zhuǎn)動到某個位置，若OE恰好平分∠A