四川省江油市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編專題測評考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，在水塔O的東北方向24m處有一抽水站A，在水塔的東南方向18m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管AB的長為（

）A．40m B．45m C．30m D．35m2、兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分鐘挖8cm，另一只朝正東方向挖，每分鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距（

）A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm3、我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地距離的長為尺，將它向前水平推送尺時，即尺，秋千踏板離地的距離和身高尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”，設(shè)秋千的繩索長為尺，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．4、下面圖形能夠驗證勾股定理的有（）個A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5、下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，6、《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個木材，鋸口深等于1寸，鋸道長1尺，則圓形木材的直徑是（

）（1尺=10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸7、如圖，由6個相同小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C均在格點上，則∠ABC的度數(shù)為（

）A．45° B．50° C．55° D．60°第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它爬的最短距離是_____．2、如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．3、勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是________（結(jié)果用含m的式子表示）．4、如圖，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需______米．5、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A、B、C的面積分別是，，，則正方形D的面積是______．6、我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端B恰好到達池邊的水面D處，問水的深度是多少？則水深DE為_____尺．7、如圖，在中，，分別以，，邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時，陰影部分的面積為________．8、我國古代九章算術(shù)中有數(shù)學(xué)發(fā)展史上著名的“葭生池中”問題：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問：葭長幾何？（1丈＝10尺）．意思是：有一個長方體池子，底面是邊長為1丈的正方形，中間有蘆葦，把高出水面1尺的蘆葦拉向池邊（蘆葦沒有折斷），剛好貼在池邊上，問：蘆葦長多少尺？答：蘆葦長____________尺．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖，某商家想在商場大樓上懸掛一塊廣告牌，廣告牌高．根據(jù)商場規(guī)定廣告牌最高點不得高于地面20m，經(jīng)測量，測角儀支架高，在F處測得廣告牌底部點B的仰角為30°，在E處測得標(biāo)語牌頂部點A的仰角為45°，，請計算說明，商家這樣放廣告牌是否符合規(guī)定？（圖中點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H在同一平面內(nèi)）2、（1）如圖１是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；（2）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（1876年4月1日發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上），現(xiàn)請你嘗試證明過程．說明：．3、我們知道，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．由此，我們可以引入如下新定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．（1）如圖1，點P在線段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求證：點P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的準(zhǔn)外心P在△ABC的直角邊上，試求AP的長．4、在邊長為8的等邊ABC中，點D是邊AB上的一動點，點E在邊AC上，且CE=2AD，射線DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°交BC邊于F．（1）如圖1，求證：∠AED=∠BDF；（2）如圖2，在射線DF上取DP=DE，連接BP，①求∠DBP的度數(shù)；②取邊BC的中點M，當(dāng)PM取最小值時，求AD的長.5、有一只喜鵲在一棵高3米的小樹的樹梢上覓食，它的巢筑在距離該樹24米，高為14米的一棵大樹上，且巢離大樹頂部為1米，這時，它聽到巢中幼鳥求助的叫聲，立刻趕過去，如果它的飛行速度為每秒5米，那么它至少幾秒能趕回巢中？6、勾股定理的證明方法是多樣的，其中“面積法”是常用的方法．小麗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明勾股定理．請寫出勾股定理的內(nèi)容，并利用給定的圖形進行證明．7、我市《道路交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過60km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街道上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到車速檢測點A正前方30m的C處，2秒后又行駛到與車速檢測點A相距50m的B處．請問這輛小汽車超速了嗎？若超速，請求出超速了多少？-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】由題意可知東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可．【詳解】解：∵OA是東北方向，OB是東南方向，∴∠AOB=90°，又∵OA=24m，OB=18m，∴30m．故選：C．【考點】本題考查的知識點是解直角三角形的應(yīng)用，正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．2、D【解析】【分析】畫出圖形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，cm，cm，∴在中，cm，故選：D【考點】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．3、C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意知：OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：[x-（5-1）]2+102=x2．即．故選：C．【考點】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．4、A【解析】【分析】分別計算圖形的面積進行證明即可．【詳解】解：A、由可得，故該項的圖形能夠驗證勾股定理；B、由可得，故該項的圖形能夠驗證勾股定理；C、由可得，故該項的圖形能夠驗證勾股定理；D、由可得，故該項的圖形能夠驗證勾股定理；故選：A．【考點】此題考查了圖形與勾股定理的推導(dǎo)，熟記勾股定理的計算公式及各種圖形面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．5、A【解析】【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】解：A、52+122＝132，都是正整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項符合題意；B、42+52≠62，不是勾股數(shù)，故此選項不合題意；C、22+32≠42，不是勾股數(shù)，故此選項不合題意；D、，不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項不合題意；故選：A．【考點】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)組的定義，如果a，b，c為正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一組勾股數(shù)．6、D【解析】【分析】連接OA、OC，由垂徑定理得AC＝BC＝AB＝5寸，連接OA，設(shè)圓的半徑為x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半徑，進而直徑可求．【詳解】解：連接OA、OC，如圖：由題意得：C為AB的中點，則O、C、D三點共線，OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝5（寸），設(shè)圓的半徑為x寸，則OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圓材直徑為2×13＝26（寸）．故選：D【考點】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．7、A【解析】【分析】連接AC，利用勾股定理分別求出AB、AC、BC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到答案．【詳解】連接AC，∵，，，∴，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=(180°-∠ACB)=45°．故選A．【考點】本題考查了等腰三角形，勾股定理的逆定理，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建三角形，熟練掌握等腰三角形的定義和性質(zhì)，熟練運用勾股定理的逆定理判斷直角三角形．二、填空題1、25【解析】【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【詳解】解：如圖所示：臺階平面展開圖為長方形，根據(jù)題意得：，，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：，即，∴，故答案為：25．【考點】本題主要考查了平面展開圖—最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．2、8【解析】【分析】作交的延長于點，在中，，在中,，根據(jù)列出方程即可求解．【詳解】如圖，作交的延長于點，則即為BC邊上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案為：8．【考點】本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關(guān)鍵．3、m2+1【解析】【分析】2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】∵2m為偶數(shù)，∴設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，∴弦長為m2+1，故答案為：m2+1．【考點】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4、2+2【解析】【分析】地毯的豎直的線段加起來等于BC，水平的線段相加正好等于AC，即地毯的總長度至少為（AC+BC）．【詳解】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°，∴AB=2BC=4m，∴AC=m，∴AC+BC=2+2（m）.故答案為2+2.【考點】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題中地毯的長度為水平與豎直的線段的和.5、15【解析】【分析】根據(jù)勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代換即可求正方形D的面積．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面積=49-8-12-14=15（cm2）；故答案為：15．【考點】此題主要考查了勾股定理，注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的面積．6、12【解析】【分析】設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出h即可．【詳解】設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理，得(h+1)2-h2=52解得h=12，∴水深為12尺，故答案是：12．【考點】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．7、24【解析】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根據(jù)陰影部分的面積等于直角三角形的面積加上以AC，BC為直徑的半圓面積，再減去以AB為直徑的半圓面積即可．【詳解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64，則陰影部分的面積，故答案為24．【考點】本題考查的是勾股定理、半圓面積計算，掌握勾股定理和半圓面積公式是解題的關(guān)鍵．8、13【解析】【分析】設(shè)水深OB=x尺，則蘆葦長OA'=（x+1）尺，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)水深OB=x尺，則蘆葦長OA'=（x+1）尺，根據(jù)題意列方程得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12∴OA'=13尺．故答案為：13．【考點】此題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解．三、解答題1、，不符合規(guī)定【解析】【分析】根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)且解得：商家這樣放廣告牌不符合規(guī)定．【考點】本題考查了勾股定理、一元一方程等內(nèi)容，解決問題的關(guān)鍵在于理解題意，找到等量關(guān)系，列出方程．2、（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形面積計算公式解答；（2）利用面積法證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）；（2）如圖，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，∵，∴，∴△AED為等腰直角三角形，∵，∴，即，∵，∴，∴．【考點】此題考查勾股定理的證明，完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解各部分圖形之間的關(guān)系，正確分析它們之間的面積等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3、（1）見解析；（2）AP的長為或2或【解析】【分析】（1）利用AAS證明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定義可知點P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）先利用勾股定理計算AC=4，再進行討論：當(dāng)P點在AB上，PA＝PB，當(dāng)P點在AC上，PA＝PC，易得對應(yīng)AP的值；當(dāng)P點在AC上，PB＝PC，設(shè)AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此時AP的長．【詳解】（1）證明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠PAB＝∠DPC，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP＝PD，∴點P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC4，當(dāng)P點在AB上，PA＝PB，則APAB；當(dāng)P點在AC上，PA＝PC，則APAC＝2，當(dāng)P點在AC上，PB＝PC，如圖2，設(shè)AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，即此時AP，綜上所述，AP的長為或2或．【考點】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及新定義的運用能力．理解題中給的定義是解題的關(guān)鍵．4、（1）見解析；（2）①30°；②2【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①方法一：連接EP，過點P作GQ∥BC分別交AB，AC于點G，Q，易知△AGQ和△DEP均為等邊三角形，得到△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），即可得解；方法二：在DB上取DG=AE，證明△ADE≌△GPD（SAS），即可得解；②在DB上取DG=AE，當(dāng)時，PM取得最小值，得到PM=2，PB=2，過點G作GH⊥BP于點H，利用直角三角形的性質(zhì)求解即可；【詳解】解：（1）在等邊△ABC中，∵AB=AC，∠A=∠ABC=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠ADE+∠BDF=∠ADE+∠AED=120°，∴∠AED=∠BDF；（2）①方法一：如答題圖1，連接EP，過點P作GQ∥BC分別交AB，AC于點G，Q，易知△AGQ和△DEP均為等邊三角形，∴BG=CQ，∠AGQ＝60°，∴∠ADE+∠BDF＝∠ADE+∠AED＝120°，∴∠AED=∠BDF，同理∠BDF＝∠EPQ，∴可證：△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），∴AD=GP=QE，∵CE=2AD=CQ+EQ=AD+BG，∴PG=BG，∴∠DBP＝∠BPG＝30°；方法二：如答題圖2，在DB上取DG=AE，∵∠AED=∠BDF又∵DP=DE，∴△ADE≌△GPD（SAS），∴PG=AD，∠PGD＝60°，∵CE=AC-AE=