**一、教學(xué)基本信息**課程名稱：數(shù)學(xué)（九年級上冊）課題：一元二次方程（第1課時）課時：1課時（45分鐘）教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能：理解一元二次方程的定義，掌握其一般形式及各部分名稱；能識別一元二次方程，會將其化為一般形式；理解方程“根”的概念，能檢驗?zāi)硞€數(shù)是否為方程的根。2.過程與方法：通過實際問題抽象方程的過程，培養(yǎng)建模思想；通過類比一元一次方程的定義，提升遷移推理能力；通過探究方程特征，發(fā)展歸納概括能力。3.情感態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體會方程作為“數(shù)學(xué)模型”的作用；在探究過程中體驗成功的樂趣，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)重難點：重點：一元二次方程的定義、一般形式及根的概念。難點：識別一元二次方程（含隱含條件）、理解“a≠0”的必要性。教學(xué)方法：類比法、探究法、實例分析法。教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件、學(xué)案。**二、教學(xué)過程設(shè)計****（一）情境導(dǎo)入：從實際問題到方程（5分鐘）**問題1：某矩形花園的長比寬多2米，面積為15平方米，求花園的寬。引導(dǎo)學(xué)生設(shè)未知數(shù)：設(shè)寬為\(x\)米，則長為\(x+2\)米，根據(jù)面積公式列方程：\[x(x+2)=15\]展開得：\[x^2+2x-15=0\]問題2：某公司去年產(chǎn)值為100萬元，今年產(chǎn)值增長到121萬元，求年平均增長率。引導(dǎo)學(xué)生設(shè)未知數(shù)：設(shè)年平均增長率為\(x\)，則今年產(chǎn)值為\(100(1+x)^2\)萬元，列方程：\[100(1+x)^2=121\]展開得：\[100x^2+200x-21=0\]過渡：這兩個方程與我們學(xué)過的一元一次方程有什么不同？今天我們就來研究這類新方程——一元二次方程。**（二）新知探究：定義與一般形式（15分鐘）**1.一元二次方程的定義觀察思考：請學(xué)生觀察上述兩個方程及以下例子：\[3x^2=0\quad;\quad2x^2-5x+3=0\quad;\quadx^2+4x=0\]提問：這些方程有什么共同特征？學(xué)生歸納（教師補充完善）：只含有一個未知數(shù)（一元）；未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）；是整式方程（分母不含未知數(shù)，根號不含未知數(shù)）。定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程（QuadraticEquationinOneVariable）。即時練習(xí)（判斷下列方程是否為一元二次方程，說明理由）：(1)\(x^2+3y=5\)（否，含兩個未知數(shù)）；(2)\(x+\frac{1}{x}=2\)（否，分式方程）；(3)\((x-1)(x+2)=x^2+1\)（否，展開后為\(x-3=0\)，一元一次方程）；(4)\(2x^2-5=0\)（是，符合定義）。2.一元二次方程的一般形式引導(dǎo)：一元一次方程的一般形式是\(ax+b=0\)（\(a\neq0\)），類比思考：一元二次方程的一般形式是什么？學(xué)生嘗試：將上述方程整理為“二次項+一次項+常數(shù)項=0”的形式：\[x^2+2x-15=0\quad;\quad100x^2+200x-21=0\quad;\quad2x^2-5x+3=0\]總結(jié)：一元二次方程的一般形式為：\[ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)\]其中：\(ax^2\)：二次項，\(a\)為二次項系數(shù)（\(a\neq0\)，否則方程退化為一元一次方程）；\(bx\)：一次項，\(b\)為一次項系數(shù)；\(c\)：常數(shù)項（\(b\)、\(c\)可以為0）。強調(diào)：\(a\neq0\)是一般形式的必要條件，若\(a=0\)，則方程變?yōu)閈(bx+c=0\)，屬于一元一次方程。即時練習(xí)（將下列方程化為一般形式，寫出\(a\)、\(b\)、\(c\)的值）：(1)\(3x^2=2x-1\)→\(3x^2-2x+1=0\)（\(a=3\),\(b=-2\),\(c=1\)）；(2)\((x+1)^2=4\)→\(x^2+2x-3=0\)（\(a=1\),\(b=2\),\(c=-3\)）；(3)\(5x=x^2\)→\(x^2-5x=0\)（\(a=1\),\(b=-5\),\(c=0\)）。**（三）深化理解：根的概念（10分鐘）**問題：對于方程\(x^2+2x-15=0\)，當(dāng)\(x=3\)時，左邊\(=3^2+2\times3-15=0\)，等于右邊；當(dāng)\(x=-5\)時，左邊\(=(-5)^2+2\times(-5)-15=0\)，也等于右邊。這說明什么？定義：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的根（或解）。注意：一元二次方程的根可以有兩個（如上述方程\(x=3\)和\(x=-5\)），也可以有一個（如\(x^2=0\)，根為\(x=0\)），或沒有實數(shù)根（如\(x^2+1=0\)）。即時練習(xí)（檢驗下列數(shù)是否為方程\(2x^2-3x+1=0\)的根）：(1)\(x=1\)：左邊\(=2\times1^2-3\times1+1=0\)，等于右邊，是根；(2)\(x=2\)：左邊\(=2\times4-3\times2+1=3\neq0\)，不是根；(3)\(x=\frac{1}{2}\)：左邊\(=2\times(\frac{1}{2})^2-3\times\frac{1}{2}+1=0\)，是根。**（四）鞏固練習(xí)：分層達標(biāo)（10分鐘）**基礎(chǔ)層（必做）：1.判斷下列方程是否為一元二次方程：(1)\(4x^2-7=0\)（是）；(2)\(x^2+\sqrt{x}=2\)（否，根號含未知數(shù)）；(3)\(2x(x-3)=2x^2+1\)（否，展開后為\(-6x-1=0\)）。2.將方程\((3x-2)(x+1)=x-5\)化為一般形式，并寫出\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。答案：\(3x^2+0x+3=0\)（即\(3x^2+3=0\)），\(a=3\),\(b=0\),\(c=3\)。提升層（選做）：3.若關(guān)于\(x\)的方程\((m-2)x^2+3x-1=0\)是一元二次方程，求\(m\)的取值范圍。答案：\(m\neq2\)（二次項系數(shù)不為0）。4.已知\(x=2\)是方程\(x^2+ax-6=0\)的根，求\(a\)的值。解法：代入\(x=2\)得\(4+2a-6=0\)，解得\(a=1\)。**（五）課堂小結(jié)：梳理脈絡(luò)（3分鐘）**提問：本節(jié)課你學(xué)到了什么？學(xué)生總結(jié)（教師補充）：1.一元二次方程的定義：三要素（一元、二次、整式）；2.一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），各部分名稱；3.根的概念：使方程成立的未知數(shù)的值，能檢驗根。**（六）作業(yè)布置：鞏固拓展（2分鐘）**1.課本習(xí)題：第1題（判斷一元二次方程）、第2題（化為一般形式）、第3題（檢驗根）；2.拓展題（選做）：用一元二次方程解決生活中的一個實際問題（如求矩形邊長、增長率等），寫出解題過程。**三、板書設(shè)計**一元二次方程1.定義：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程。2.一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）二次項：\(ax^2\)，系數(shù)\(a\)；一次項：\(bx\)，系數(shù)\(b\)；常數(shù)項：\(c\)。3.根的概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。**四、教學(xué)反思**成功之處：通過實際問題引入，讓學(xué)生感受到方