專(zhuān)題11.4三角形高線(xiàn)、中線(xiàn)與角平分線(xiàn)（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)及垂心、重心、內(nèi)心的概念，并能畫(huà)出這個(gè)三角形三條重要線(xiàn)段；2.能進(jìn)行三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)的有關(guān)計(jì)算；3.對(duì)三角形的穩(wěn)定性有所認(rèn)識(shí)，知道這個(gè)性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用；4.與三角形有關(guān)的幾何模型形成初步認(rèn)識(shí)，并能簡(jiǎn)單加以運(yùn)用?！局R(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一、三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的高．三角形的高的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.圖一圖二注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；特別說(shuō)明：如圖二（1）三角形的高是線(xiàn)段；分別為AD、BE、CF。（2）三角形有三條高，且相交于一點(diǎn)H，這一點(diǎn)H叫做三角形的垂心；（3）三角形的三條高：(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部；(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點(diǎn)在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三條高的交點(diǎn)是直角的頂點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)二、三角形的中線(xiàn)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)叫三角形的中線(xiàn)．三角形的中線(xiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如下圖，AD是ΔABC的中線(xiàn)或AD是ΔABC的BC邊上的中線(xiàn)或BD＝CD＝BC.圖三圖四特別說(shuō)明：（1）三角形的中線(xiàn)是線(xiàn)段；(2)三角形三條中線(xiàn)全在三角形內(nèi)部；(3)三角形有三條中線(xiàn)而且三條中線(xiàn)交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心；(4)中線(xiàn)把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.如圖四：知識(shí)點(diǎn)三、三角形的角平分線(xiàn)三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn).三角形的角平分線(xiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如下圖，AD是ΔABC的角平分線(xiàn)，或∠BAD＝∠CAD且點(diǎn)D在BC上.圖五圖六注意：AD是ΔABC的角平分線(xiàn)∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC).特別說(shuō)明：（1）三角形的角平分線(xiàn)是線(xiàn)段；（2）一個(gè)三角形有三條角平分線(xiàn)，并且都在三角形的內(nèi)部；（3）三角形三條角平分線(xiàn)交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心；（4）可以用量角器或圓規(guī)畫(huà)三角形的角平分線(xiàn)；圖七知識(shí)點(diǎn)四、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.特別說(shuō)明：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門(mén)上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門(mén)不變形．大橋鋼架、輸電線(xiàn)支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．（3）四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門(mén)框未安好之前，先在門(mén)框上斜著釘一根木板，使它不變形．【典型例題】類(lèi)型一、三角形的高 1．如圖，已知，求作：（1）邊上的高；（2）邊上的高．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B向作垂線(xiàn)即可；（2）過(guò)點(diǎn)A向BC的延長(zhǎng)線(xiàn)作垂線(xiàn)即可．解：（1）如圖，垂線(xiàn)BD即為邊上的高；（2）如圖，垂線(xiàn)AE即為邊上的高．【點(diǎn)撥】此題考查作三角形的高線(xiàn)，過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€(xiàn)，從頂點(diǎn)到垂足之間的線(xiàn)段即為該邊的高線(xiàn)，掌握三角形高線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】下列各圖中，正確畫(huà)出AC邊上的高的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的定義，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線(xiàn)，且垂足在直線(xiàn)AC上，然后結(jié)合各選項(xiàng)圖形解答．解：過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線(xiàn)，且垂足在直線(xiàn)AC上，所以正確畫(huà)出AC邊上的高的是D選項(xiàng)，故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的高線(xiàn)的定義，熟記定義并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，，則線(xiàn)段______是中邊上的高．【答案】【分析】根據(jù)三角形高線(xiàn)的定義判斷即可；解：∵，∴中BC邊上的高是AE．故答案是AE．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高線(xiàn)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二、三角形的高的有關(guān)計(jì)算 2．如圖，在三角形中，，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)的垂線(xiàn)段，垂足為點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線(xiàn)CDOA，交線(xiàn)段于點(diǎn)D．(1)補(bǔ)全圖形（按要求畫(huà)圖）；(2)求的度數(shù)：(3)如果，，，求點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)90°(3)2.4【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）證明CD⊥AB可得結(jié)論；（3）利用面積法求解即可．(1)解：如圖所示，(2)解：∵，CDOA，∴，∴；(3)解：∵，∴．∴點(diǎn)A到直線(xiàn)OB的距離是2.4．【點(diǎn)撥】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，，CD是AB邊上的高線(xiàn)，，，，則CD的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根據(jù)三角形面積公式求解即可．解：∵∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∴，∴，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了與三角形高有關(guān)的面積計(jì)算，熟知三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，，P是邊上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F.若，則______．【答案】【分析】根據(jù)，結(jié)合已知條件，即可求得的值．解：如圖，連接于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的高，掌握三角形的高的定義是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、三角形中線(xiàn)的有關(guān)長(zhǎng)度計(jì)算 3.如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊AB上．（1）若三角形BDE的周長(zhǎng)與四邊形ACDE的周長(zhǎng)相等，求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)．（2）若三角形ABC的周長(zhǎng)被DE分成的兩部分的差是2，求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由圖可知三角形的周長(zhǎng)，四邊形的周長(zhǎng)，，所以，則可解得；（2）由三角形的周長(zhǎng)被分成的兩部分的差是2，可得方程①或②．解得或．解：（1）由圖可知三角形的周長(zhǎng)，四邊形的周長(zhǎng)，又三角形的周長(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等，為中點(diǎn)，，，即，又，，，，．（2）由三角形的周長(zhǎng)被分成的兩部分的差是2，可得方程①當(dāng)時(shí)，即：，解得：，②當(dāng)時(shí)．即：，解得．故長(zhǎng)為或．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中線(xiàn)性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中有四條線(xiàn)段DE，BE，EF，F(xiàn)G，其中有一條線(xiàn)段是△ABC的中線(xiàn)，則該線(xiàn)段是（）A．線(xiàn)段DE B．線(xiàn)段BE C．線(xiàn)段EF D．線(xiàn)段FG【答案】B【分析】根據(jù)三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)叫做三角形的中線(xiàn)逐一判斷即可得．解：據(jù)三角形中線(xiàn)的定義知線(xiàn)段BE是△ABC的中線(xiàn)，其余線(xiàn)段DE、EF、FG都不符合題意，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的中線(xiàn)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)叫做三角形的中線(xiàn)．【變式2】如圖中，是邊上的中線(xiàn)，是中邊上的中線(xiàn)，若的面積是24，，則點(diǎn)到的距離是___．【答案】2【分析】根據(jù)三角形的中線(xiàn)把三角形分成面積相等的兩部分，求出面積比，即可解答．解：∵AD是BC上的中線(xiàn)，∴S

=S=，∵BE是△ABD中AD邊上的中線(xiàn)，∴S=S

=S，∴S=，∵△ABC的面積是24，∴S

=×24=6.∵AE=6，S=6∴點(diǎn)B到ED的距離=2，故答案為2.【點(diǎn)撥】此題考查中線(xiàn)的定義，解題關(guān)鍵在于求出面積比.類(lèi)型四、三角形中線(xiàn)的有關(guān)面積計(jì)算 4．如圖，中，，，，，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按的路徑運(yùn)動(dòng)，回到C點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，已知點(diǎn)P的速度為每秒，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)_____時(shí)，把的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？（2）當(dāng)_____時(shí)，把的面積分成相等的兩部分？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，的面積的6？【答案】（1）6；（2）5.5；（3）11秒或秒【分析】（1）先求出△ABC的周長(zhǎng)為24cm，所以當(dāng)CP把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P在AB上，此時(shí)CA+AP=BP+BC=12cm，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度即可求解；（2）根據(jù)中線(xiàn)的性質(zhì)可知，點(diǎn)P在AB中點(diǎn)時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，進(jìn)而求解即可；（3）分兩種情況：①P在AC上；②P在AB上．解：（1）△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，∴△ABC的周長(zhǎng)=8+6+10=24cm，∴當(dāng)CP把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P在AB上，此時(shí)CA+AP=BP+BC=12cm，∴2t=12，解得：t=6；（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB中點(diǎn)時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，此時(shí)CB+BP=6+5=11（cm），∴2t=11，解得：t=5.5；（3）分兩種情況：①當(dāng)P在AC上時(shí)，∵△BCP的面積=6，∴×6×CP=6，∴CP=2，∴2t=6+10+6，解得：t=11；②當(dāng)P在AB上時(shí)，∵△BCP的面積=6=△ABC面積的，∴BP=AB=，即2t-6=，解得：t=，故t為11秒或秒時(shí)，△BCP的面積為6．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，三角形的周長(zhǎng)與面積，三角形的中線(xiàn)，難度適中．利用分類(lèi)討論的思想是解（3）題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，△ABC的面積為3，BD：DC＝2：1，E是AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，那么四邊形PDCE的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接CP．設(shè)△CPE的面積是x，△CDP的面積是y．根據(jù)BD：DC=2：1，E為AC的中點(diǎn)，得△BDP的面積是2y，△APE的面積是x，進(jìn)而得到△ABP的面積是4x．再根據(jù)△ABE的面積是△BCE的面積相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=x，再根據(jù)△ABC的面積是3即可求得x、y的值，從而求解．解：連接CP，設(shè)△CPE的面積是x，△CDP的面積是y．∵BD：DC=2：1，E為AC的中點(diǎn)，∴△BDP的面積是2y，△APE的面積是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面積是4x+2y∴△ABP的面積是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=x．又∵△ABC的面積為3∴4x+x=，x=．則四邊形PDCE的面積為x+y=．故選B．【點(diǎn)撥】此題能夠根據(jù)三角形的面積公式求得三角形的面積之間的關(guān)系．等高的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的底的比；等底的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的高的比．【變式2】如圖，BD是△ABC邊AC的中線(xiàn)，點(diǎn)E在BC上，BE=EC，△AED的面積是3，則△BED的面積是_______________．【答案】【分析】根據(jù)△AED與△CED是等底等高的兩個(gè)三角形，求出△CED的面積，根據(jù)三等分線(xiàn)的性質(zhì)求出△ABE的面積，進(jìn)而得到△ABC的面積和△BDC的面積，最后利用S△BED＝S△BDC-S△CDE即可求解．解：∵BD是△ABC邊AC的中線(xiàn)∴△AED與△CED是等底等高的兩個(gè)三角形，∴S△AED=S△CED＝3∴S△AEC=S△AED+S△CED=6∵BE=EC∴E是BC的三等分點(diǎn)∴S△ABE=S△AEC=3∴S△ABC=S△ABE+S△AEC=9∵S△ABD和S△CBD等底等高S△ABD=S△CBD=S△AEC=∴S△BED＝S△BDC-S△CDE＝．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積．中線(xiàn)能把三角形的面積平分，同理三等分線(xiàn)可以將三角形的面積三等分．類(lèi)型五、與重心的有關(guān)計(jì)算 5．如圖，已知△ABC，AD為邊BC上的中線(xiàn)，求作△ABC的重心M．【答案】見(jiàn)分析【分析】直接利用重心的定義結(jié)合線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法得出答案．解：作AB的垂直平分線(xiàn)EF交AB于點(diǎn)N，連接CN交AD于點(diǎn)M，即為所求．【點(diǎn)撥】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及重心的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】三角形的重心是三條（

）A．中線(xiàn)的交點(diǎn)

B．角平分線(xiàn)的交點(diǎn)

C．高線(xiàn)的交點(diǎn)

D．垂線(xiàn)的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)三角形重心的定義即可解答.解：三角形的重心為三條中線(xiàn)的交點(diǎn)故選A【點(diǎn)撥】本題考查的是重心，熟練掌握重心的定義是關(guān)鍵.【變式2】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，連結(jié)BP，CP，則△BPC的面積為_(kāi)____．【答案】4【分析】△ABC的面積S＝AB×BC＝＝12，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，則E是AC的中點(diǎn)，且BP＝BE，即可求解．解：△ABC的面積S＝AB×BC＝＝12，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，則E是AC的中點(diǎn)，且BP＝BE，（證明見(jiàn)備注）△BEC的面積＝S＝6，BP＝BE，則△BPC的面積＝△BEC的面積＝4，故答案為：4．備注：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點(diǎn)．EC、FB交于G．求證：EG＝CG證明：過(guò)E作EH∥BF交AC于H．∵AE＝BE，EH∥BF，∴AH＝HF＝AF，又∵AF＝CF，∴HF＝CF，∴HF：CF＝，∵EH∥BF，∴EG：CG＝HF：CF＝，∴EG＝CG．【點(diǎn)撥】此題考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．類(lèi)型六、重心的性質(zhì) 6．如圖，在中，、是邊、上的中線(xiàn)，與相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的面積．【答案】（1）詳見(jiàn)分析；（2）12.【分析】（1）由BD、CE是邊AC、AB上的中線(xiàn)得到點(diǎn)O為△ABC的重心，然后根據(jù)重心的性質(zhì)易得OC＝2OE；（2）根據(jù)三角形面積公式易得S△OCD＝2S△CDN＝2，再利用重心的性質(zhì)得OB：OD＝2：1，則S△BCD＝3S△OCD＝6，然后根據(jù)AD＝CD可得S△ABC＝2S△BCD＝12．解：（1）∵、是邊、上的中線(xiàn)，∴點(diǎn)為的重心，∴，即；（2）∵是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)為的重心，∴，∴，∴為中線(xiàn)，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三邊中線(xiàn)的交點(diǎn)．重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了三角形中線(xiàn)的性質(zhì).舉一反三：【變式1】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是邊AC,AB的中點(diǎn),BD,CE相交于點(diǎn)O,連接O在AO上取一點(diǎn)F,使得OF=AF若S△ABC=12,則四邊形OCDF的面積為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】重心定理：三角形的三條邊的中線(xiàn)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的重心.重心和三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等.解：∵點(diǎn)D、E分別是邊AC,AB的中點(diǎn)，∴O為△ABC的重心，∴=4,∴=2,∵OF=AF，∴=,∴S陰=+=.故選B.【點(diǎn)撥】本題考查了重心及重心定理，熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵.【變式2】如圖，在△ABC中，D、E分別是BC，AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)G，若DG=1，則AD=________．【答案】3.【分析】先判斷點(diǎn)G為△ABC的重心，然后利用三角形重心的性質(zhì)求出AG，從而得到AD的長(zhǎng)．解：∵D、E分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G為△ABC的重心，∴AG=2DG=2，∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案為3．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．類(lèi)型七、三角形角平分線(xiàn) 7．如圖，已知在中，，AD是BC邊上的高，AE是的平分線(xiàn)，求證：．【答案】證明見(jiàn)分析.試題分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及AD是BC邊上的高，求得∠BAD=90°-∠B，再根據(jù)AE平分∠BAC，求得∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-∠C，最后根據(jù)∠DAE=∠BAE-∠BAD即可求解．解：∵AD是BC邊上的高，∴∠BAD=90°-∠B．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-∠C．∵∠DAE=∠BAE-∠BAD，∴∠DAE=（90°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=∠B-∠C=（∠B-∠C）．舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)M、N是∠ABC與∠ACB三等分線(xiàn)的交點(diǎn)．若∠A＝60°，則∠BMN的度數(shù)為()A．45° B．50° C．60° D．65°【答案】B分析：過(guò)點(diǎn)N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得NE=NG=NF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上判斷出MN平分∠BMC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BMC的度數(shù)，從而得解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵∠ABC的三等分線(xiàn)與∠ACB的三等分線(xiàn)分別交于點(diǎn)M、N，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG，NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=∠BMC，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?60°=120°，根據(jù)三等分,∠MBC+∠MCB=(∠ABC+∠ACB)=×120°=80°.在△BMC中,∠BMC=180°?(∠MBC+∠MCB)=180°?80°=100°.∴∠BMN=×100°=50°；故選B.【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°；角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.熟記性質(zhì)和定理是解本題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，點(diǎn)O在ABC內(nèi)部，且到三邊的距離相等．且∠A=70°，則∠BOC=______°．【答案】125【分析】由條件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形內(nèi)角和可求得∠BOC．解：∵點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=180°-（180°-70°）=125°，故答案為：125．【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型八、三角形的穩(wěn)定性 8．如