專題11.26《三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）【知識(shí)點(diǎn)一】三角形的分類【知識(shí)點(diǎn)二】三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（2）已知兩邊求第三邊的范圍：兩邊之差＜第三邊＜兩邊之和?！局R(shí)點(diǎn)三】三角形的高（1）銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)，它們在三角形內(nèi)交于一點(diǎn)；（2）直角三角形的一條高在三角形內(nèi)，另外兩條高就是兩條直角邊，三條高在直角頂點(diǎn)相交.；（3）鈍角三角形有一條高在三角形內(nèi)，還有兩條高在三角形外，三條高延長后在三角形外交于一點(diǎn)?！局R(shí)點(diǎn)四】三角形的中線（1）三角形的三條中線在三角形內(nèi)交于一點(diǎn)（重心）；（2）三角形的一條中線將這個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形?！局R(shí)點(diǎn)五】三角形的角平分線三角形的三條角平分線在三角形內(nèi)交于一點(diǎn)（內(nèi)心）【知識(shí)點(diǎn)六】三角形的角平分線三角形的內(nèi)角和等于180°，外角和等于360°【知識(shí)點(diǎn)七】直角三角形（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；（3）有兩個(gè)角的和等于第三個(gè)角的三角形是直角三角形；（4）有兩個(gè)角的差等于第三個(gè)角的三角形是直角三角形?！局R(shí)點(diǎn)八】三角形的外角的性質(zhì)（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（2）三角形的外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角?！局R(shí)點(diǎn)九】三角形角平分線的有關(guān)結(jié)論：（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交所成的鈍角等于90°加上第三個(gè)角的一半。（2）三角形兩個(gè)外角的角平分線相交所成的銳角等于90°減去第三個(gè)角的一半。（3）三角形一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的角平分線相交所成的銳角等于第三個(gè)角的一半?！局R(shí)點(diǎn)十】多邊形（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引（n-3）條對角線，它將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形.n邊形的對角線公式是：（2）n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°,多邊形的外角和等于360°。【知識(shí)點(diǎn)十一】正多邊形（1）正多邊形的每個(gè)內(nèi)角等于，每個(gè)外角等于（2）三角形的內(nèi)角和是外角和的一半，四邊形的內(nèi)角和與外角和相等，六邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍。（3）求多邊形的內(nèi)角和時(shí)，如果少加了一個(gè)角，那么少加的角等于180°減去余數(shù)；如果多加了一個(gè)角，那么多加的角就是余數(shù)?！镜湫屠}】類型一、三角形概念及分類 1．下面幾個(gè)定義是否正確，如果不正確，請你正確的定義：(1)三條線段首尾相接組成的圖形叫三角形；（2）多邊形所有外角的和叫多邊形的外角和【答案】（1）不正確，見分析；（2）不正確，見分析.解：（1）不正確，由不在同一直線上的三條線段首尾相接所組成的圖形叫三角形；（2）不正確，在多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，它們的和叫這個(gè)多邊形的外角和.【點(diǎn)撥】正確理解題意是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】已知的三邊長分別為a，b，c．若a，b，c滿足，試判斷的形狀．【答案】的形狀是等邊三角形．【分析】利用平方數(shù)的非負(fù)性，求解a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而判斷．解：∵，∴，∴a=b=c，∴是等邊三角形．【點(diǎn)撥】本題主要是考查了三角形的分類，熟練掌握各類三角形的特點(diǎn)，例如三邊相等為等邊三角形，含的三角形為直角三角形等，這是解決此類題的關(guān)鍵．【變式2】滿足下列條件的三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形．△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2:3.【答案】(1)銳角三角形；(2)直角三角形．【分析】根據(jù)角的分類對三角形進(jìn)行分類即可.解：(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴滿足條件的三角形是銳角三角形．∵三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶2∶3，∴可求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為30°，60°，90°，∴滿足條件的三角形是直角三角形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的分類問題．類型二、三角形中線、高線和角平分線2．如圖，在6×10的網(wǎng)格中，每一小格均為正方形且邊長是1，已知△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．畫出△ABC中BC邊上的高線AE；在△ABC中AB邊上取點(diǎn)D，連接CD，使；直接寫出△BCD的面積是__________．【答案】(1)畫圖見分析(2)畫圖見分析(3)【分析】（1）利用網(wǎng)格線過A作BC的垂線即可；（2）利用網(wǎng)格線的特點(diǎn)，取格點(diǎn)D，滿足，則D即為所求作的點(diǎn)；（3）利用三角形的面積公式直接計(jì)算即可．(1)解：如圖，即為BC上的高．(2)如圖，利用網(wǎng)格特點(diǎn)，可得，∴D即為所求作的點(diǎn)，滿足．(3)．【點(diǎn)撥】本題考查的是畫三角形的高，三角形的面積的計(jì)算，熟悉等高的兩個(gè)三角形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）畫出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的長．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義畫圖；（2）利用面積法進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；解：（1）如圖：

（2）∵S△ABC=AD?BC=CE?AB，∴CE=；【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了三角形的面積．【變式2】如圖，已知AD∥BC．找出圖中所有面積相等的三角形，并選擇其中一對說明理由．如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E、F，＝，求的值．（直接寫出答案）【答案】(1)理由見分析；(2)【分析】（1）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答，以及等式的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．（2）利用△ABC和△BCD的面積列式整理即可得解．(1)解：①△ABC與△BCD，②△ADB與△ADC，③△AMB與△DMC；選擇①說明：設(shè)AD、BC間的距離為h，則S△ABC＝，S△BCD＝，∴△ABC與△DBC的面積相等；同理：△ADB與△ADC的面積相等．∵△ABC與△DBC的面積相等，∴S△ABC﹣S△BCM＝S△DBC﹣S△BCM，即，S△AMB＝S△DMC．(2)解：∵S△ABC＝S△BCD，∴AC?BE＝BD?CF，∴，∵∴．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積，平行線間的距離相等，熟記等底等高的三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，△ABC的周長是21cm，AB＝AC，中線BD分△ABC為兩個(gè)三角形，且△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，求AB，BC．【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．【分析】由BD是中線，可得AD=CD，又由△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，△ABC的周長是21cm，AB=AC，可得AB-BC=6cm，2AB+BC=21cm，繼而求得答案．解：∵BD是中線，∴AD＝CD＝AC，∵△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周長是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，聯(lián)立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形周長與三角形的中線．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．舉一反三：【變式1】如圖所示，設(shè)四邊形的面積為，四邊形的面積為，其中E、F分別為邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，G、H分別為邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，請直接寫出與的等量關(guān)系，并說明理由．【答案】，理由見分析．【分析】如圖連結(jié)、、，然后根據(jù)三角形等底等高得到，，進(jìn)而得到，然后再說明即可解答．解：，理由如下：連結(jié)DE、EG、GB、BD，則：S△BDE=S△BAD，S△BDG=S△BCD，S△EHG=S△EHD，S△BGF=S△EGF，∴SDEBG=SABCD=S1，又∵S△EHG=S△EHD，S△BGF=S△EGF，∴SEFHG=SDEBG=S1，∴S2=S1，即．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的等分點(diǎn)以及三角形的面積，掌握等底等高三角形的面積關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，、是邊、上的中線，與相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的面積．【答案】（1）詳見分析；（2）12.【分析】（1）由BD、CE是邊AC、AB上的中線得到點(diǎn)O為△ABC的重心，然后根據(jù)重心的性質(zhì)易得OC＝2OE；（2）根據(jù)三角形面積公式易得S△OCD＝2S△CDN＝2，再利用重心的性質(zhì)得OB：OD＝2：1，則S△BCD＝3S△OCD＝6，然后根據(jù)AD＝CD可得S△ABC＝2S△BCD＝12．解：（1）∵、是邊、上的中線，∴點(diǎn)為的重心，∴，即；（2）∵是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)為的重心，∴，∴，∴為中線，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了三角形中線的性質(zhì).4．請補(bǔ)全證明過程及推理依據(jù)．已知：如圖，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求證：BD∥EF．證明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）∵BC∥ED（________）∴∠AED=________（________________）∴∠AED=∠ABC∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．【答案】角平分線的定義；已知；∠ABC；兩直線平行，同位角相等；∠2；同位角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠1=∠AED，∠2=∠ABC，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根據(jù)平行線的判定定理推出即可．解：證明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（角平分線的定義）∵BC∥ED（已知）∴∠AED=∠ABC（兩直線平行，同位角相等）∴∠AED=∠ABC∴∠1=∠2∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義；已知；∠ABC；兩直線平行，同位角相等；∠2；同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)定理和判定定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記平行線的性質(zhì)定理和判定定理是解此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在三角形ABC中CD為的平分線，交AB于點(diǎn)D，，．求證：；如果，，試證明．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義求得∠ACB，進(jìn)而說明∠ACB=∠3，然后運(yùn)用同位角相等、兩直線平行即可證明；（2）先根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等可得，進(jìn)而得到∠BCD=∠2可得EF//DC，運(yùn)用平行線的性質(zhì)可得∠BFE=∠BDC，最后結(jié)合即可證明．(1)證明：∵CD平分，（已知）∴（角平分線的定義）又∵（已知）∴（等量代換）∴．(2)證明：由（1）知（已證）∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵（已知）∴（等量代換）∴（同位角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同位角相等）又∵（已知）∴（垂直的定義）∴（等量代換）∴（垂直的定義）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行線線的判定與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，是邊上的高線．（1）若是邊上的中線，，．求的長．（2）若是的平分線，，，求的大?。敬鸢浮浚?）CD＝4cm；（2）5°【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算三角形的底邊BC，再根據(jù)三角形中線的性質(zhì)進(jìn)行求解;（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算∠BAC和∠EAC，再根據(jù)角平分線的定義計(jì)算出∠DAC,最后根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算求解即可.解：（1）∵AD，AE分別是邊BC上的中線和高，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，∴S△ADC＝6cm2，∴×AE×CD＝6，∴×3×CD＝6，解得：CD＝4（cm）；（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝45°又AE是邊BC上的高∴∠EAC＝40°，∴∠DAE＝45°－40°＝5°.【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形中線，角平分線，高，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形中重要線段的性質(zhì).類型三、三角形邊三邊關(guān)系5．已知三條線段，，，以這三條線段為邊能構(gòu)成三角形嗎？請說明理由．【答案】能，理由見分析【分析】根據(jù)三線段構(gòu)成三角形的條件即可判斷．解：∵是最長線段，而∴以這三條線段為邊能構(gòu)成三角形【點(diǎn)撥】本題考查了構(gòu)成三角形的條件，一般地：由于最長線段與任一線段的和總是大于第三邊的，因此只要考慮兩條短線段的和是否大于最長線段，即可判斷三線段是否構(gòu)成三角形．舉一反三：【變式1】已知△ABC的三邊長分別為a，b，c．（1）若a，b，c滿足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，試判斷△ABC的形狀；（2）若a＝5，b＝2，且c為整數(shù)，求△ABC的周長的最大值及最小值．【答案】（1）等邊三角形；（2）最大值13，最小值11【分析】（1）根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出答案．解：（1）∵（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形；（2）∵a＝5，b＝2，且c為整數(shù)，∴5﹣2＜c＜5＋2，即3＜c＜7，∴c＝4，5，6，∴當(dāng)c＝4時(shí)，△ABC周長的最小值＝5＋2＋4＝11；當(dāng)c＝6時(shí)，△ABC周長的最大值＝5＋2＋6＝13．【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：．【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行證明即可．證明：∵PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+PA＞AC．∴把它們相加，得：PA+PB+PB+PC+PC+PA＞AB+BC+AC∴2(PC+PC+PA)＞AB+BC+AC再除以2，得PA+PB+PC．【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊是解答此題的關(guān)鍵類型四、三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)6．如圖，直線，與，分別相交于點(diǎn)A，，且，交直線于點(diǎn)．(1)若∠1=58°，求的度數(shù)；(2)若，，，求直線與的距離．【答案】(1)32°(2)【分析】（1）先求出∠ABC，再利用平行線的性質(zhì)求解即可；（2）利用等面積法即可求解．解：(1)∵，∴∠BAC=90°，∵∠1=58°，∴∠ABC=90°-58°=32°,∵,∴∠2=∠ABC=32°．(2)圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D所以線段AD的長度等于a與b之間的距離，因?yàn)锳B⊥AC所以AB·AC=BC·AD，所以AD=，所以a與b的距離為．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直的定義、直角三角形兩個(gè)銳角互余，平行線的性質(zhì)、三角形的面積公式等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)．舉一反三：【變式1】如圖，△ABC中，E是AB上一點(diǎn)，過D作DEBC交AB于E點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，連接DF．若∠AED=∠1．求證：ABDF．若∠1=52°，DF平分∠CDE，求∠C的度數(shù)．【答案】(1)見分析(2)【分析】（1）根據(jù)，得出，又因?yàn)椋攘看鷵Q得，最后根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可證明；（2）根據(jù)，得出，再根據(jù)平分，得出，最后在中利用三角形內(nèi)角和等于即可求解．(1)證明：，，又，，；(2)解：，，平分，，在中，，．答：的度數(shù)為．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握題中各角之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．【變式2】在四邊形ABCD中，，．如圖①，若，求出的度數(shù)；如圖②，若的角平分線交AB于點(diǎn)E，且，求出的度數(shù)；如圖③，若和的角平分線交于點(diǎn)E，求出的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用四邊形內(nèi)角和進(jìn)行角的計(jì)算即可；（2）利用四邊形內(nèi)角和及角平分線的計(jì)算得出，再由三角形外角的性質(zhì)求解即可；（3）利用角平分線得出，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．(1)解：∵四邊形的內(nèi)角和是360°，，∴∵∴∵，，∴，∵CE平分∴∵∴(3)∵BE，CE分別平分和∴，∴∴在中，．【點(diǎn)撥】題目主要考查四邊形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．類型五、直角三角形角的關(guān)系5．如圖，已知在中，，AE是BC邊上的高，AD是的角平分線，求的度數(shù)．【答案】10°【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAE的度數(shù)即可得到答案．解：∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴，∵AE是BC邊上的高，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)C作CF∥AB，AE與CF相交于點(diǎn)D．依題意，補(bǔ)全圖形；求證：∠ADC與∠ACB互余．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠B=∠ADC，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得結(jié)論．解：(1)如圖所示：

(2)∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠B+∠BAD=180°，∠ADC+∠BAD=180°．∴∠B=∠ADC，在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠ADC+∠ACB=90°，即∠ADC與∠ACB互余．【點(diǎn)撥】本題主要考查了作平行線，平行線的性質(zhì)以及直角三角形兩銳角互余，正確識(shí)別圖形是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F．若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；試說明：∠AEF＝∠AFE．【答案】(1)∠AEF＝72°(2)見分析【分析】（1）由AD⊥BC得∠ABD+∠BAD＝90°，再根據(jù)等角的余角相等得∠ABD＝∠CAD＝36°，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)進(jìn)一步可求得∠AEF的度數(shù)；（2）由角平分線的定義可得∠ABE＝∠CBE，再由等角的余角相等進(jìn)一步證明即可．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD＝36°，

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE∠ABC＝18°，∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，

∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，

∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠AFE．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義，同角（等角）的余角相等，直角三角形兩銳角互余等，解題關(guān)鍵是分清各角之間的關(guān)系．類型六、多邊形的內(nèi)角和與外角和6．（1）已知：如圖①，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，直接寫出∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系為．（2）已知：如圖②，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和定理可得∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系．解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠PDC=∠ADC．同理，∠PCD=∠ACD．∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD=；故答案為：（2）∵DP平分∠ADC，∴∠PDC=∠ADC．同理，∠PCD=∠BCD．∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖是兩位小朋友在探究某多邊形的內(nèi)角和時(shí)的一段對話，請根據(jù)他們的對話內(nèi)容判斷他們是在求幾邊形？少加的內(nèi)角為多少度？【答案】他們在求九邊形的內(nèi)角和；少加的那個(gè)內(nèi)角為120度．【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，則內(nèi)角和應(yīng)是180°的倍數(shù)，且每一個(gè)內(nèi)角應(yīng)大于0°而小于180度，根據(jù)這些條件進(jìn)行分析求解即可．解：1140°÷180°＝6…60°，則邊數(shù)是：6+1+2＝9；他們在求九邊形的內(nèi)角和；180°﹣60°＝120°，少加的那個(gè)內(nèi)角為120度．【點(diǎn)撥】本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式的靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)度數(shù)的等量關(guān)系．注意多邊形的一個(gè)內(nèi)角一定大于0°，并且小于180度．【變式2】如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個(gè)角(∠BCD)后，得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°．(1)求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和；(2)求∠BGD的度數(shù)．【答案】（1）720°；（2）100°【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求解即可；（2）由已知條件和角的和差可求出∠GBC+∠C+∠CDG，再利用四邊形BCDG的內(nèi)角是360°求解即可．解：（1）六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：180°×（6－2）=720°；（2）∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=460°，∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°－460°=260°，∴∠G=360°－（∠GBC+∠C+∠CDG）=100°．【點(diǎn)撥】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正確理解題意、掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．類型七、正多邊形的內(nèi)角與外角7．如果一個(gè)多邊形的各邊都相等，且各內(nèi)角也都相等，那么這個(gè)多邊形就叫做正多邊形，如圖，就是一組正多邊形，觀察每個(gè)正多邊形中∠的變化情況，解答下列問題．（1）將如表的表格補(bǔ)充完整：正多邊形的邊數(shù)3456……n∠的度數(shù)……（2）根據(jù)規(guī)律，是否存在一個(gè)正n邊形，使其中的∠＝20°？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1），，，，；（2）存在，【分析】（1）根據(jù)計(jì)算、觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：正n邊形中的∠α=；（2）根據(jù)正n邊形中的∠α=，可得答案．解：（1）觀察上面每個(gè)正多邊形中的，填寫下表：正多邊形邊數(shù)3456的度數(shù)故答案為：，，，，；（2）存在，理由如下：設(shè)存在正邊形使得，得．解得：，存在正邊形使得．【點(diǎn)撥】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，每題都利用了正多邊形的內(nèi)角：，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的兩底角相等．