第12講角（核心考點(diǎn)講與練）一．角的概念（1）角的定義：有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．（2）角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時(shí)形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時(shí)，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．二．方向角方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，來描述物體所處的方向．（2）用方向角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以?duì)象所處的射線為終邊，故描述方向角時(shí)，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．（注意幾個(gè)方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東南，西北，西南．）（3）畫方向角以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對(duì)象所處的方向的射線．三．度分秒的換算（1）度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．（2）具體換算可類比時(shí)鐘上的時(shí)、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進(jìn)制，將高級(jí)單位化為低級(jí)單位時(shí)，乘以60，反之，將低級(jí)單位轉(zhuǎn)化為高級(jí)單位時(shí)除以60．同時(shí)，在進(jìn)行度、分、秒的運(yùn)算時(shí)也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法．四．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐．五．角的計(jì)算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．（2）度、分、秒的加減運(yùn)算．在進(jìn)行度分秒的加減時(shí)，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進(jìn)位，相減時(shí)，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除運(yùn)算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進(jìn)位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級(jí)單位進(jìn)一步去除．六．余角和補(bǔ)角（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．七．角的大小比較（1）比較角的大小有兩種方法：①測量法，即用量角器量角的度數(shù)，角的度數(shù)越大，角越大．②疊合法，即將兩個(gè)角疊合在一起比較，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，觀察另一邊的位置．（2）表示法：①∠AOB＞∠A′O′B′，②∠AOB＝∠A′O′B′，③∠AOB＜∠A′O′B′．一．角的概念（共2小題）1．（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，點(diǎn)B、O、D在同一直線上，則∠COD的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．110° D．115°2．（2018春?浦東新區(qū)期末）如圖是用量角器測量角度的結(jié)果，如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOD的度數(shù)是．二．方向角（共3小題）3．（2021春?浦東新區(qū)期末）甲、乙兩座城市，乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，則甲城市位于乙城市（）A．北偏西25°的方向上 B．北偏東25°的方向上 C．北偏西65°的方向上 D．北偏東65°的方向上4．（2021春?普陀區(qū)期末）如圖，射線OA所表示的方向是（）A．西偏南30° B．西偏南60° C．南偏西30° D．南偏西60°5．（2021春?閔行區(qū)期末）點(diǎn)A位于點(diǎn)B的北偏東方向15°，若將點(diǎn)B以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)90°落在點(diǎn)C處，則點(diǎn)A在點(diǎn)C的方向．三．度分秒的換算（共5小題）6．（2020秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：48°59′+67°31′﹣21°12′＝．7．（2020春?浦東新區(qū)期末）已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，則∠A∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）8．（2018秋?蕪湖期末）用度、分、秒表示24.29°＝．9．（2018春?普陀區(qū)期末）計(jì)算：22°34'36″+34°7'44″＝．10．（2017春?浦東新區(qū)期末）已知∠A＝37°24′，∠A+∠B＝70°，那么∠B＝．四．角平分線的定義（共3小題）11．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東80°方向上，點(diǎn)C在射線BA與正北方向夾角的角平分線上，那么點(diǎn)C位于點(diǎn)A處．12．（2021春?普陀區(qū)期末）如圖，OP、OQ分別是∠AOB、∠BOC的平分線，如果∠POQ＝28°，那么∠AOC＝°．13．（2019春?松江區(qū)期末）已知OC是∠AOB的角平分線，如果∠AOB＝78°，那么∠BOC的度數(shù)是°．五．角的計(jì)算（共5小題）14．（2021秋?驛城區(qū)期末）用一副三角板不能拼成的角度是（）A．15° B．55° C．105° D．135°15．（2021秋?溫州期末）如圖，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20° B．30° C．35° D．45°16．（2021秋?吉林期末）計(jì)算：42°36'+35°43'＝．17．（2021秋?高新區(qū)期末）已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，則∠AOC＝．18．（2021秋?舞陽縣期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板畫出？在①135°，②120°，③75°，④25°中，小明同學(xué)利用一副三角板畫不出來的特殊角是；（填序號(hào)）（2）在探究過程中，愛動(dòng)腦筋的小明想起了圖形的運(yùn)動(dòng)方式有多種．如圖①，他先用三角板畫出了直線EF，然后將一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的頂點(diǎn)與60°角（∠COD）的頂點(diǎn)互相重合，且邊OA、OC都在直線EF上．固定三角板COD不動(dòng)，將三角板AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，當(dāng)邊OB與射線OF第一次重合時(shí)停止．①當(dāng)OB平分∠EOD時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角度α；②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求旋轉(zhuǎn)角度α；若不存在，請說明理由．六．余角和補(bǔ)角（共4小題）19．（2021秋?武漢期末）若∠A，∠B互為補(bǔ)角，且∠A＜∠B，則∠A的余角是（）A．（∠A+∠B） B．∠B C．（∠B﹣∠A） D．∠A20．（2021秋?天府新區(qū)期末）如圖，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠DOC＝38°，那么∠AOB＝°．21．（2021秋?南川區(qū)期末）如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于O，則∠AOC+∠DOB＝．22．（2021秋?老河口市期末）如果一個(gè)角的補(bǔ)角的2倍減去這個(gè)角的余角恰好等于這個(gè)角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù)．七．角的大小比較（共2小題）23．（2019春?崇明區(qū)期末）已知∠AOB和∠DEF，如果移動(dòng)∠DEF使得頂點(diǎn)O與頂點(diǎn)E重合，邊ED與邊OA疊合，邊EF在∠AOB內(nèi)部，那么∠AOB和∠DEF大小關(guān)系是（）A．∠AOB＞∠DEF B．∠AOB＜∠DEF C．∠AOB＝∠DEF D．不能確定24．（2021秋?呼和浩特期末）比較圖中∠BOC、∠BOD的大小：因?yàn)镺B和OB是公共邊，在∠BOD的內(nèi)部，所以∠BOC∠BOD．（填“＞”，“＜”或“＝”）分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共3小題）1．（2020秋?莫旗期末）已知A、B兩地的位置如圖所示，且∠BAC＝60°，那么下列語句正確的是（）A．A地在B地的北偏東60°方向 B．A地在B地的北偏東30°方向 C．B地在A地的北偏東60°方向 D．B地在A地的北偏東30°方向2．（2021春?閔行區(qū)期末）小杰在學(xué)習(xí)“線段與角”章節(jié)有關(guān)知識(shí)時(shí)，有如下說法：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）如果∠α＝53°38′，那么∠α余角的度數(shù)為36°22′；（3）互補(bǔ)的兩個(gè)角一個(gè)是銳角一個(gè)是鈍角；（4）一個(gè)銳角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角小90°．你認(rèn)為小杰以上說法正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知∠AOB＝90°，則射線OB表示的方向是（）A．南偏西55° B．北偏西35° C．南偏東55° D．北偏東35°二．填空題（共14小題）4．（2021春?閔行區(qū)期末）點(diǎn)A位于點(diǎn)B的北偏東方向15°，若將點(diǎn)B以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)90°落在點(diǎn)C處，則點(diǎn)A在點(diǎn)C的方向．5．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，∠AOB＝85°，∠BOC＝45°．OD平分∠AOC，則∠AOD＝．6．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若∠α的余角是56°36′，則∠α的補(bǔ)角是．7．（2021春?嘉定區(qū)期末）已知∠a＝26°37′，那么∠a的補(bǔ)角等于．8．（2021春?寶山區(qū)期末）如圖，已知∠AOB＝63°，∠BOC＝23°09′，那么∠AOC＝．（用度、分、秒表示∠AOC的大?。?．（2021?上海）70°的余角是．10．（2021春?浦東新區(qū)月考）若∠α＝53°18′，則∠α的補(bǔ)角為．11．（2020秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，已知∠AOB＝90°，射線OC在∠AOB內(nèi)部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，則∠DOE＝°．12．（2021春?松江區(qū)期末）已知∠A的余角等于36°25′，那么∠A＝．13．（2021春?金山區(qū)期末）A地與O地的大致位置關(guān)系如圖所示，那么A地在O地的方向．14．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東80°方向上，點(diǎn)C在射線BA與正北方向夾角的角平分線上，那么點(diǎn)C位于點(diǎn)A處．15．（2021春?奉賢區(qū)期末）已知∠A＝38°24'，則∠A的補(bǔ)角的大小是．16．（2021春?普陀區(qū)期末）如圖，OP、OQ分別是∠AOB、∠BOC的平分線，如果∠POQ＝28°，那么∠AOC＝°．17．（2021春?金山區(qū)期末）已知一個(gè)角的補(bǔ)角的度數(shù)是113°，那么這個(gè)角的余角的度數(shù)是．三．解答題（共6小題）18．（2021春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知，如圖所示，O為直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，則OE與OD的位置關(guān)系是怎么樣的？請完成下列解題過程．解：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC（）∴∠DOC＝∠BOC，∠EOC＝（）∴∠DOE＝∠DOC+＝（+）∵∠AOC+∠BOC＝180°（）∴∠DOE＝90°∴⊥（）19．（2021春?虹口區(qū)校級(jí)期末）∠1與∠2互補(bǔ)，∠2比∠1的3倍的大20°，求∠1、∠2的大?。?0．（2021春?虹口區(qū)校級(jí)期末）填空．（1）如圖1，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝7∠AOC，那么∠AOC的度數(shù)為度．（2）如圖2，已知∠AOB＝90°，如果射線OA、OB同時(shí)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)射線OA旋轉(zhuǎn)360°后，兩條射線同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)），射線OA以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)至OC，射線OB以每秒1°的速度旋轉(zhuǎn)至OD．當(dāng)∠COD＝60°時(shí)，求∠AOD的度數(shù)．21．（2021春?奉賢區(qū)期末）已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)；（2）如圖2，射線OC為∠AOB內(nèi)部任意一條射線，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，寫出∠DOE＝°，此時(shí)圖中互余的角有對(duì)，互補(bǔ)的角有對(duì)．（3）如圖3，在第（2）小題情況下，保持∠DOE的度數(shù)不變，但改變其他條件，并使得射線OC是∠BOD的角平分線，此時(shí)∠AOD與∠COE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．22．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知∠AOB＝58°，∠AOC在∠AOB外部，ON、OM分別平分∠AOC、∠BOC．（1）若∠AOC＝32°，則∠MON＝；（2）若∠AOC＝n°（0＜n＜90°），ON、OM依舊分別平分∠AOC、∠BOC，∠MON的大小是否改變？；（3）試說明（2）的結(jié)論的理由．23．（2021春?上海期中）如圖1，∠A1BC、∠A1CM的角平分線BA2、CA2相交于點(diǎn)A2．（1）如果∠A1＝64°，那么∠A2的度數(shù)是多少，試說明理由并完成填空；（2）如圖2，∠A1＝64°，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分線BA3、CA3相交于點(diǎn)A3，請直接寫出∠A3度數(shù)；（3）如圖2，重復(fù)上述過程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分線BAn、CAn相交于點(diǎn)An得到∠An，設(shè)∠A1＝θ°，請用θ表示∠An的度數(shù)（直接寫出答案）．解：（1）結(jié)論：∠A2＝度．說理如下：因?yàn)锽A2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（角平分線的意義）．因?yàn)椤螦1CM＝∠A1BC+∠A1，∠2＝∠1+∠A2（）．（完成說理過程）題組B能力提升練一．填空題（共7小題）1．（2021春?浦東新區(qū)期末）若∠α＝48°36′，則∠α的余角為．2．（2020秋?閔行區(qū)期末）如果港口A的南偏東52°方向有一座小島B，那么從小島B觀察港口A的方向是．3．（2020春?浦東新區(qū)期末）A、B兩城市的位置如圖所示，那么B城市在A城市的位置．4．（2020春?寶山區(qū)期末）如果一個(gè)角的補(bǔ)角的一半比這個(gè)角的余角的2倍小3°，那么這個(gè)角等于度．5．（2019春?青浦區(qū)期末）在同一平面內(nèi)，已知∠AOB＝30°，∠BOC與∠AOB互余，且OE平分∠AOC，則∠AOE＝度．6．（2017秋?松江區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，如果CD＝1，且△ABD的周長比△ACD的周長大2，那么BD＝．7．（2017秋?固始縣期末）如圖，A，O，B是同一直線上的三點(diǎn)，OC，OD，OE是從O點(diǎn)引出的三條射線，且∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，則∠5＝度．二．解答題（共11小題）8．（2021春?寶山區(qū)期末）一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角的3倍少18°，求這個(gè)角的度數(shù)．9．（2019春?浦東新區(qū)期末）已知一個(gè)角的余角的度數(shù)是這個(gè)角的補(bǔ)角的度數(shù)的，求這個(gè)角的度數(shù)．10．（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，O在直線AC上，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內(nèi)．（1）若OE是∠BOC的平分線，則有OD⊥OE，試說明理由；（2）若∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠EOC的度數(shù)．11．（2018春?黃浦區(qū)期末）如圖，O是直線MN上一點(diǎn)，OB、OC分別是∠AON與∠AOM的平分線，且∠BOM＝120°（1）∠BON的度數(shù)是°，∠MOC的度數(shù)是°；（2）在圖中存在若干對(duì)互補(bǔ)的角，如∠AOM與∠AON，問除了這對(duì)角以外，圖中互補(bǔ)的角還有幾對(duì)？請把它們都寫出來．12．（2021秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如圖1，當(dāng)∠AOC＝40°時(shí)，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)；（3）如圖3，∠AOC＝36°，此時(shí)∠COD繞點(diǎn)O以每秒6°沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)t秒（0≤t＜60），請直接寫出∠AOC和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系．13．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分別平分∠AOD，∠BOD．（1）如圖1，當(dāng)OA，OC重合時(shí)，∠EOF＝度；（2）若將∠COD從圖1的位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角∠AOC＝α，滿足0°＜α＜90°且α≠40°．①如圖2，用等式表示∠BOF與∠COE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②在∠COD旋轉(zhuǎn)過程中，請用等式表示∠BOE與∠COF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案．14．（2021秋?越城區(qū)期末）已知∠AOB＝90°，過點(diǎn)O作射線OC，射線OD平分∠AOC．（1）如圖1，射線OC在∠AOB的外部（90°＜∠AOC＜180°），①若∠BOC＝30°，求∠BOD的度數(shù)．②若∠BOC﹣∠BOD＝15°，求∠BOC的度數(shù)．（2）如圖2，射線OC在∠AOB的內(nèi)部（0°＜∠AOC＜60°），若存在射線ON（0°＜∠BON＜30°），使得∠AON﹣∠BON＝∠DON，試求出∠AOD與∠CON之間的等量關(guān)系．15．（2020秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時(shí)針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當(dāng)OC與OA重合時(shí)，∠COD立即反向繞點(diǎn)O順時(shí)針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長線時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)射線記為OC′，OD旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為O