（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形圓》2.5直線與圓的位置關系（2）三角形的內(nèi)切圓&切線長定理知識點一知識點一三角形的內(nèi)切圓圓的軸對稱性◆1、三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓.【注意】一個圓可以有無數(shù)個外切三角形，但是一個三角形只有一個內(nèi)切圓.◆2、三角形的內(nèi)心:三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.◆3、三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點.三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等.如圖，☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.◆4、三角形外心、內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心三角形三邊中垂線的交點1、外心到三頂點的距離相等；2、外心不一定在三角形的內(nèi)部．內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三條角平分線的交點1、內(nèi)心到三邊的距離相等；2、內(nèi)心在三角形內(nèi)部．知識點二知識點二切線長及切線長定理◆1、切線長的定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長叫做切線長．【注意】①切線是直線，不能度量．②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．◆2、切線長定理:過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等.∵PA、PB分別切☉O于A、B，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.題型一切線長定理的應用題型一切線長定理的應用【例題1】（2022秋?潮州期末）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為（）A．8 B．12 C．16 D．20【變式11】（2023?懷化三模）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式12】如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，AC＝10，AB＝8，BC＝9，點D，E分別為BC，AC上的點，且DE為⊙O的切線，則△CDE的周長為（）A．9 B．7 C．11 D．8【變式13】（2022秋?紅旗區(qū)校級期末）以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點F，交AB邊于點E，若△CDE的周長為12，則直角梯形ABCE周長為（）A．12 B．13 C．14 D．15【變式14】如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，直線EF也是⊙O的切線，切點為Q，交PA、PB于點E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°①求△PEF的周長；②求∠EOF的度數(shù)．【變式15】如圖，PA、PB、CD是⊙O的切線，點A、B、E為切點．（1）如果△PCD的周長為10，求PA的長；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②連AE，BE，求∠AEB．題型二三角形內(nèi)切圓中求角度題型二三角形內(nèi)切圓中求角度【例題2】（2022秋?東城區(qū)期中）如圖，已知⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，點I是內(nèi)心，若∠A＝28°，則∠BIC等于（）A．99° B．102° C．104° D．152°【變式21】（2022?萊州市一模）如圖，點I是△ABC的內(nèi)心，若∠I＝116°，則∠A等于（）A．50° B．52° C．54° D．56°【變式22】如圖所示，已知⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F是切點，∠C＝60°，∠DIF＝140°，則∠B為（）A．40° B．50° C．60° D．80°【變式23】如圖，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別切AC，AB，BC于點D，E，F(xiàn)，P是DF上一點，則∠EPF的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【變式24】（2023?聊城）如圖，點O是△ABC外接圓的圓心，點I是△ABC的內(nèi)心，連接OB，IA．若∠CAI＝35°，則∠OBC的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．25°【變式25】（2023?隴縣一模）如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，點M為△ABC的內(nèi)心，若∠C＝80°，則∠MAN的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．80°題型三三角形內(nèi)切圓中求線段長題型三三角形內(nèi)切圓中求線段長【例題3】（2023?青海一模）如圖，⊙O與△ABC的邊AB、AC、BC分別相切于點D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的長為．【變式31】（2022秋?同心縣期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點D，E，F(xiàn)為切點，AD＝4，AC＝10，BC＝14，則BD長為．【變式32】如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O與△ABC的三邊相切于點D、E、F，則AD長為（）A．8 B．10 C．12 D．14【變式33】如圖，⊙O分別切△ABC的三條邊AB、BC、CA于點D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的長．【變式34】（2022秋?津南區(qū)期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度數(shù)；（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的長．題型四三角形內(nèi)切圓中求半徑題型四三角形內(nèi)切圓中求半徑【例題4】（2023?天心區(qū)校級三模）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若△ABC的周長為18，面積為9，則⊙O的半徑是（）A．1 B．2 C．1.5 D．2【變式41】已知一個三角形的三邊長分別為5、5、6，則其內(nèi)切圓的半徑為（）A．3 B．5 C．32 D．【變式42】（2023?邵陽縣一模）如圖所示，⊙O是等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，若AB＝4，則⊙O的半徑是（）A．32 B．1 C．23【變式43】（2022秋?齊河縣期末）如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為8cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，△ADB的內(nèi)切圓半徑是（）A．12 B．5（2?1） C．5（2+1） 題型五三角形內(nèi)切圓中求面積題型五三角形內(nèi)切圓中求面積【例題5】（2023春?江岸區(qū)校級月考）如圖，△ABC是一塊綠化帶，將陰影部分修建為花圃，已知AB＝13，AC＝5，BC＝12，陰影部分是△ABC的內(nèi)切圓，則花圃的面積為．【變式51】（2022秋?河西區(qū)校級期末）如圖，⊙I是直角△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，若AF＝10，BE＝3，則△ABC的面積為．【變式52】等邊三角形的邊長為4，則它的內(nèi)切圓面積等于（）A．4π B．43π C．23【變式53】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，則△ABC的內(nèi)切圓面積（結(jié)果保留π）．【變式54】如圖，⊙O內(nèi)切于正方形ABCD，O為圓心，作∠MON＝90°，其兩邊分別交BC，CD于點N，M，若CM+CN＝4，則⊙O的面積為（）A．π B．2π C．4π D．0.5π題型六直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓的關系題型六直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓的關系【例題6】（2023?越秀區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑r是（）A．2 B．3 C．4 D．無法判斷【變式61】（2023?沭陽縣一模）直角三角形中，兩直角邊的長分別為3與4，則其內(nèi)切圓半徑為．【變式62】（2022秋?防城港期末）在《九章算術》卷九中記載了一個問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“如圖，今有直角三角形勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的直徑是多少步？”根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的直徑為步．【變式63】（2022秋?金華期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，且∠A＝90°，BC=52，CA＝2，則⊙O的半徑是【變式64】（2022秋?天河區(qū)校級期末）如圖，已知⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的長；（2）求⊙O的半徑r．題型七三角形內(nèi)切圓中求最值題型七三角形內(nèi)切圓中求最值【例題7】如圖是一塊△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，現(xiàn)將余料裁剪成一個圓形材料，則該圓的最大面積是．【變式71】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直線l經(jīng)過△ABC的內(nèi)心O，過點C作CD⊥l，垂足為D，連接AD，則AD的最小值是．【變式72】已知一塊等腰三角形鋼板的底邊長為60cm，腰長為50cm．（1）求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑．（2）用一個圓完全覆蓋這塊鋼板，這個圓的最小半徑是多少？（3）求這個等腰三角形的內(nèi)心與外心的距離．題型八三角形內(nèi)切圓的綜合應用問題題型八三角形內(nèi)切圓的綜合應用問題【例題8】如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓⊙O相交于點D，過D作直線DG∥BC．（1）若∠ACB＝80°，則∠ADB＝；∠AEB＝．（2）求證：DE＝CD；（3）求證：DG是⊙O的切線．【變式81】（2022?平原縣模擬）D．（1）求證：BD＝DE；（2）連接OD交BC于點G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圓的半徑．【變式82】（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，已知⊙O是Rt△ABC的外接圓，點D是Rt△ABC的內(nèi)心，BD的延長線與⊙O相交于點E，過E作直線l∥AC．（1）求證：l是⊙O的切線；（2）連接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的長．【變式83