2024年初三數(shù)學(xué)能力提升訓(xùn)練題冊前言本訓(xùn)練題冊針對初三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心需求，以中考考綱為依據(jù)，系統(tǒng)梳理初中數(shù)學(xué)重點模塊（代數(shù)、幾何、函數(shù)、統(tǒng)計概率）的核心知識點，通過典型例題+分層訓(xùn)練+綜合提升的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ)、突破難點、提升綜合運用能力。題冊注重思維過程的暴露與解題方法的總結(jié)，旨在引導(dǎo)學(xué)生從“被動做題”轉(zhuǎn)向“主動思考”，實現(xiàn)從“知識記憶”到“能力遷移”的跨越，為中考取得優(yōu)異成績奠定堅實基礎(chǔ)。使用說明1.模塊分解，循序漸進(jìn)：按代數(shù)、幾何、函數(shù)、統(tǒng)計概率分模塊練習(xí)，每天聚焦1-2個知識點，避免碎片化學(xué)習(xí)。2.例題引領(lǐng)，方法優(yōu)先：先研讀例題的“思路分析”，理解解題邏輯（如輔助線添加、公式應(yīng)用、模型識別），再嘗試獨立解答訓(xùn)練題。3.錯題整理，靶向突破：將錯題分類（如概念混淆、計算錯誤、思路偏差），標(biāo)注錯誤原因及正確解法，定期復(fù)習(xí)（每周1次），避免重復(fù)犯錯。4.定時訓(xùn)練，提升效率：基礎(chǔ)題限時10-15分鐘，中檔題限時20-25分鐘，綜合題限時30分鐘，模擬中考答題節(jié)奏，提高解題速度與準(zhǔn)確率。一、代數(shù)模塊：構(gòu)建嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\算與方程體系代數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，初三代數(shù)以“方程”為核心，重點考查運算能力與邏輯推理能力。1.1二次方程：根的性質(zhì)與應(yīng)用知識點梳理定義：形如\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的整式方程，其中\(zhòng)(a\)為二次項系數(shù)，\(b\)為一次項系數(shù)，\(c\)為常數(shù)項。根的判別式：\(\Delta=b^2-4ac\)，決定方程根的個數(shù)（\(\Delta>0\)有兩不等實根；\(\Delta=0\)有兩相等實根；\(\Delta<0\)無實根）。韋達(dá)定理：若方程有兩實根\(x_1,x_2\)，則\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)（需注意\(\Delta\geq0\)的前提）。典型例題例1：已知關(guān)于\(x\)的方程\(x^2-(k+1)x+k=0\)。（1）求證：無論\(k\)取何值，方程總有實數(shù)根；（2）若方程的兩實根為\(x_1,x_2\)，且\(x_1^2+x_2^2=5\)，求\(k\)的值。思路分析（1）要證明方程總有實數(shù)根，需計算判別式\(\Delta\)，并證明其非負(fù)。（2）根據(jù)韋達(dá)定理，將\(x_1^2+x_2^2\)轉(zhuǎn)化為\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)，代入求解\(k\)。解答過程（1）計算判別式：\(\Delta=[-(k+1)]^2-4\times1\timesk=(k+1)^2-4k=k^2+2k+1-4k=k^2-2k+1=(k-1)^2\)。由于\((k-1)^2\geq0\)（平方數(shù)非負(fù)），因此無論\(k\)取何值，方程總有實數(shù)根。（2）由韋達(dá)定理得：\(x_1+x_2=k+1\)，\(x_1x_2=k\)。則\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(k+1)^2-2k=k^2+2k+1-2k=k^2+1\)。根據(jù)題意\(k^2+1=5\)，解得\(k^2=4\)，即\(k=2\)或\(k=-2\)。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：解下列二次方程（1）\(x^2-5x+6=0\)；（2）\(2x^2+3x-2=0\)（用公式法）。2.中檔題：關(guān)于\(x\)的方程\(x^2+2mx+m^2-1=0\)有兩個不相等的實根，求\(m\)的取值范圍。3.綜合題：已知\(x_1,x_2\)是方程\(2x^2-3x-1=0\)的根，求\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)的值。1.2分式方程與不等式組：運算規(guī)范與邏輯推理知識點梳理分式方程：分母含未知數(shù)的方程，解法為“去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，檢驗根（避免增根）”。不等式組：多個不等式的解集的交集，解法為“分別解每個不等式，用數(shù)軸表示解集，找公共部分”。典型例題例2：解分式方程\(\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{6}{x^2-1}\)。思路分析分式方程的分母為\(x-1\)、\(x+1\)、\(x^2-1\)（即\((x-1)(x+1)\)），最簡公分母為\((x-1)(x+1)\)，去分母后轉(zhuǎn)化為整式方程求解，最后檢驗根是否使分母為零。解答過程去分母（兩邊乘\((x-1)(x+1)\)）得：\(2(x+1)+3(x-1)=6\)。展開括號：\(2x+2+3x-3=6\)，合并同類項得\(5x-1=6\)，解得\(x=\frac{7}{5}\)。檢驗：當(dāng)\(x=\frac{7}{5}\)時，\((x-1)(x+1)=(\frac{2}{5})(\frac{12}{5})=\frac{24}{25}\neq0\)，因此\(x=\frac{7}{5}\)是原方程的根。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：解分式方程\(\frac{x}{x-2}+\frac{3}{2-x}=1\)。2.中檔題：解不等式組\(\begin{cases}2x-1<5\\3x+2\geq1\end{cases}\)，并在數(shù)軸上表示解集。3.綜合題：若分式方程\(\frac{x}{x-3}+\frac{a}{3-x}=2\)有增根，求\(a\)的值。1.3因式分解與分式運算：代數(shù)變形的核心技能知識點梳理因式分解：將多項式化為整式乘積的形式，常用方法有提公因式法（\(ab+ac=a(b+c)\)）、公式法（\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，\(a^2\pm2ab+b^2=(a\pmb)^2\)）、十字相乘法（\(x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)\)）。分式運算：加減時通分（找最簡公分母），乘除時約分（約去公因式），結(jié)果需化為最簡分式。典型例題例3：因式分解\(2x^2-5x-3\)。思路分析使用十字相乘法，將二次項系數(shù)2分解為2×1，常數(shù)項-3分解為1×(-3)或(-1)×3，嘗試組合使交叉乘積之和為一次項系數(shù)-5。解答過程\(2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)\)（驗證：\(2x×x+2x×(-3)+1×x+1×(-3)=2x^2-6x+x-3=2x^2-5x-3\)）。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：因式分解（1）\(3x^2-6x\)；（2）\(x^2-4y^2\)；（3）\(x^2+4x+4\)。2.中檔題：因式分解\(3x^2+7x+2\)（用十字相乘法）。3.綜合題：化簡分式\(\frac{x^2-4}{x^2+2x}÷\frac{x-2}{x}\)，并求當(dāng)\(x=1\)時的值。二、幾何模塊：培養(yǎng)空間觀念與邏輯推理幾何是初三數(shù)學(xué)的重點與難點，核心是圖形的性質(zhì)與關(guān)系，需掌握“模型識別”與“輔助線添加”技巧。2.1圓：核心性質(zhì)與切線問題知識點梳理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧（推論：平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦）。圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角相等，且等于圓心角的一半（推論：直徑所對的圓周角為直角）。切線的判定與性質(zhì)：判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線（“連半徑，證垂直”）；性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑（“連半徑，得垂直”）。典型例題例4：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線CD，交AB的延長線于點D，若∠ACD=30°，求∠A的度數(shù)。思路分析（1）根據(jù)切線性質(zhì)，連接OC（半徑），則OC⊥CD，得∠OCD=90°；（2）由∠ACD=30°，可求∠OCB的度數(shù)；（3）由于OC=OB（半徑相等），△OCB是等腰三角形，∠OBC=∠OCB；（4）∠A與∠OBC是同弧所對的圓周角與圓心角？不，∠A是圓周角，∠BOC是圓心角，同弧BC，因此∠A=\(\frac{1}{2}\)∠BOC。解答過程（1）連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD（切線性質(zhì)），即∠OCD=90°。（2）∠OCB=∠OCD-∠ACD=90°-30°=60°。（3）∵OC=OB（⊙O的半徑），∴△OCB是等腰三角形，∠OBC=∠OCB=60°。（4）∠A是弧BC所對的圓周角，∠BOC是弧BC所對的圓心角，∴∠A=\(\frac{1}{2}\)∠BOC。又∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-60°-60°=60°，∴∠A=\(\frac{1}{2}\)×60°=30°。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：（1）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB=10，CD=8，求OE的長（用垂徑定理）。（2）如圖，∠A是⊙O的圓周角，∠A=30°，求∠BOC的度數(shù)（用圓周角定理）。2.中檔題：如圖，PA是⊙O的切線，A為切點，OP交⊙O于點B，若PA=3，PB=1，求⊙O的半徑。3.綜合題：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，過點D作⊙O的切線，交AC于點E，求證：DE⊥AC。2.2相似三角形：比例關(guān)系與模型應(yīng)用知識點梳理相似判定：AA（兩角對應(yīng)相等）；SAS（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）；SSS（三邊對應(yīng)成比例）。相似性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等；周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方；對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比等于相似比。常見模型：一線三等角（如直角三角形中的母子相似）、平行型相似（如DE∥BC則△ADE∽△ABC）。典型例題例5：如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1.5，求EC的長。思路分析（1）DE∥BC，根據(jù)平行型相似判定，△ADE∽△ABC；（2）相似比為AD:AB=2:(2+3)=2:5；（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，AE:AC=2:5，可求AC，進(jìn)而求EC。解答過程（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等），∴△ADE∽△ABC（AA判定）。（2）相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\)。（3）由相似性質(zhì)得\(\frac{AE}{AC}=k=\frac{2}{5}\)，即\(\frac{1.5}{AC}=\frac{2}{5}\)，解得\(AC=1.5×\frac{5}{2}=3.75\)。（4）EC=AC-AE=3.75-1.5=2.25（或?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)\(\frac{9}{4}\)）。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：如圖，△ABC∽△DEF，相似比為2:3，若AB=4，則DE=______；若△ABC的面積為8，則△DEF的面積為______。2.中檔題：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點D，若AC=6，BC=8，求CD的長（用母子相似）。3.綜合題：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，CE⊥AB于點E，求證：△CDE∽△ABC。2.3銳角三角函數(shù)：直角三角形中的邊角關(guān)系知識點梳理定義（在Rt△ABC中，∠C=90°）：\(\sinA=\frac{∠A的對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AB}\)；\(\cosA=\frac{∠A的鄰邊}{斜邊}=\frac{AC}{AB}\)；\(\tanA=\frac{∠A的對邊}{∠A的鄰邊}=\frac{BC}{AC}\)。特殊角的三角函數(shù)值：角度30°45°60°\(\sin\)\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\cos\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(\tan\)\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)1\(\sqrt{3}\)解直角三角形：已知兩邊或一邊一角（銳角），求其他邊和角（需注意“直角三角形”的前提）。典型例題例6：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，求AB和AC的長。思路分析（1）∠A=30°，則∠B=60°；（2）\(\sinA=\frac{BC}{AB}\)，可求AB；（3）\(\tanA=\frac{BC}{AC}\)或勾股定理（AB2=AC2+BC2）可求AC。解答過程（1）∠B=90°-∠A=60°。（2）由\(\sinA=\frac{BC}{AB}\)，得\(AB=\frac{BC}{\sinA}=\frac{2}{\sin30°}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4\)。（3）由\(\tanA=\frac{BC}{AC}\)，得\(AC=\frac{BC}{\tanA}=\frac{2}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}\)（或用勾股定理：\(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)）。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：計算（1）\(\sin60°+\cos30°\)；（2）\(\tan45°×\cos60°\)。2.中檔題：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，求∠B的正弦值。3.綜合題：如圖，某大廈頂部有一避雷針，從地面上的點A看避雷針頂部C的仰角為60°，看避雷針底部B的仰角為45°，點A到大廈的距離AD=10米，求避雷針BC的長度（結(jié)果保留根號）。三、函數(shù)模塊：掌握數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)是初三數(shù)學(xué)的核心，二次函數(shù)是中考壓軸題的重點，需掌握“表達(dá)式-圖像-性質(zhì)”的內(nèi)在聯(lián)系。3.1二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識點梳理表達(dá)式：一般式：\(y=ax2+bx+c\)（\(a\neq0\)）；頂點式：\(y=a(x-h)2+k\)（頂點坐標(biāo)\((h,k)\)，對稱軸\(x=h\)）；交點式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(x_1,x_2\)為與x軸的交點橫坐標(biāo)）。圖像性質(zhì)：開口方向：\(a>0\)向上，\(a<0\)向下；頂點坐標(biāo)：\((h,k)\)或\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b2}{4a}\right)\)；對稱軸：\(x=h\)或\(x=-\frac{2a}\)；增減性：\(a>0\)時，對稱軸左側(cè)（\(x<h\)）遞減，右側(cè)（\(x>h\)）遞增；\(a<0\)時相反；最值：\(a>0\)時，最小值為\(k\)；\(a<0\)時，最大值為\(k\)。典型例題例7：已知二次函數(shù)\(y=x2-2x-3\)。（1）將其化為頂點式，求頂點坐標(biāo)和對稱軸；（2）求該函數(shù)與x軸、y軸的交點坐標(biāo)；（3）根據(jù)圖像判斷，當(dāng)x取何值時，y>0？思路分析（1）用配方法將一般式化為頂點式；（2）與x軸交點：令y=0，解二次方程；與y軸交點：令x=0，求y值；（3）根據(jù)圖像開口方向（a=1>0，向上）和與x軸的交點，判斷y>0的區(qū)間。解答過程（1）配方法：\(y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-1-3=(x-1)2-4\)。頂點坐標(biāo)為\((1,-4)\)，對稱軸為\(x=1\)。（2）與x軸交點：令y=0，得\(x2-2x-3=0\)，解得\(x_1=-1\)，\(x_2=3\)，因此交點坐標(biāo)為\((-1,0)\)和\((3,0)\)。與y軸交點：令x=0，得\(y=-3\)，因此交點坐標(biāo)為\((0,-3)\)。（3）圖像開口向上，與x軸交于(-1,0)和(3,0)，因此當(dāng)x<-1或x>3時，y>0。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：二次函數(shù)\(y=2(x-3)2+5\)的頂點坐標(biāo)是______，對稱軸是______，開口方向______。2.中檔題：已知二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c\)的圖像過點(0,2)，(1,0)，(2,3)，求其表達(dá)式。3.綜合題：如圖，二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c\)的圖像與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,3)，求該函數(shù)的表達(dá)式及頂點坐標(biāo)。3.2二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系知識點梳理二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c\)與x軸的交點個數(shù)由判別式\(\Delta=b2-4ac\)決定：\(\Delta>0\)：兩個交點（方程有兩不等實根）；\(\Delta=0\)：一個交點（方程有兩相等實根，頂點在x軸上）；\(\Delta<0\)：無交點（方程無實根）。交點坐標(biāo)：\((x_1,0)\)、\((x_2,0)\)，其中\(zhòng)(x_1,x_2\)是方程\(ax2+bx+c=0\)的根。典型例題例8：已知二次函數(shù)\(y=x2-(m+1)x+m\)，其中m為常數(shù)。（1）求證：無論m取何值，該函數(shù)圖像與x軸總有交點；（2）若該函數(shù)圖像與x軸交于A、B兩點，且AB=2，求m的值。思路分析（1）證明與x軸總有交點，即證明方程\(x2-(m+1)x+m=0\)總有實根（計算Δ）；（2）由韋達(dá)定理，AB=|x?-x?|=\(\sqrt{(x?+x?)2-4x?x?}\)，代入求解m。解答過程（1）計算Δ：\(\Delta=[-(m+1)]2-4×1×m=(m+1)2-4m=m2+2m+1-4m=m2-2m+1=(m-1)2\geq0\)，因此無論m取何值，函數(shù)圖像與x軸總有交點。（2）設(shè)A、B兩點的橫坐標(biāo)為x?、x?，由韋達(dá)定理得：\(x?+x?=m+1\)，\(x?x?=m\)。AB=|x?-x?|=\(\sqrt{(x?+x?)2-4x?x?}=\sqrt{(m+1)2-4m}=\sqrt{(m-1)2}=|m-1|\)。根據(jù)題意|m-1|=2，解得m=3或m=-1。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：二次函數(shù)\(y=x2-2x+1\)與x軸的交點個數(shù)是______，頂點坐標(biāo)是______。2.中檔題：二次函數(shù)\(y=2x2+bx+3\)的圖像與x軸有兩個交點，求b的取值范圍。3.綜合題：已知二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c\)的圖像頂點在x軸上，且過點(0,1)、(1,0)，求其表達(dá)式。3.3二次函數(shù)的實際應(yīng)用：最值問題知識點梳理實際應(yīng)用的核心是“建?！保涸O(shè)變量（如售價x、銷量y），列函數(shù)表達(dá)式（如利潤y=(售價-成本)×銷量），求最值（利用頂點坐標(biāo)或配方法）。常見類型：利潤最大化、面積最大化、路徑最短化。典型例題例9：某商店銷售一種進(jìn)價為每件20元的商品，售價為每件x元（x≥20），每天的銷量為y件，y與x的關(guān)系為y=-10x+500。（1）求每天的利潤w（元）與x（元）的函數(shù)表達(dá)式；（2）求當(dāng)售價x為多少時，每天的利潤最大，最大利潤是多少？思路分析（1）利潤=（售價-進(jìn)價）×銷量，即w=(x-20)y；（2）將w表示為x的二次函數(shù)，求其最大值（頂點坐標(biāo)）。解答過程（1）w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x2+500x+200x-____=-10x2+700x-____。（2）將w化為頂點式：w=-10(x2-70x)-____=-10[(x-35)2-1225]-____=-10(x-35)2+____-____=-10(x-35)2+2250。由于a=-10<0，拋物線開口向下，因此當(dāng)x=35時，w有最大值2250。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：某長方形的周長為20cm，設(shè)長為xcm，面積為ycm2，求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)x為多少時，面積最大。2.中檔題：某果園有100棵蘋果樹，每棵樹結(jié)1000個蘋果，若每增加1棵樹，每棵樹的產(chǎn)量就減少5個，求增加多少棵樹時，果園的總產(chǎn)量最大，最大總產(chǎn)量是多少。3.綜合題：某小區(qū)要建一個矩形花園，花園的一邊靠墻（墻長25m），另三邊用籬笆圍成，籬笆長40m，求花園的最大面積。四、統(tǒng)計與概率模塊：提升數(shù)據(jù)意識與隨機觀念統(tǒng)計與概率是中考的必考題，重點考查“數(shù)據(jù)的分析”與“概率的計算”，需掌握“樣本估計總體”與“古典概型”的核心思想。4.1數(shù)據(jù)的收集與整理知識點梳理調(diào)查方式：普查：對全體對象進(jìn)行調(diào)查（如人口普查），適合范圍小、易操作的情況；抽樣調(diào)查：從全體對象中抽取部分樣本進(jìn)行調(diào)查（如民意調(diào)查），適合范圍大、不易操作的情況。數(shù)據(jù)整理：表格：清晰展示數(shù)據(jù)的分布；統(tǒng)計圖：直方圖（顯示數(shù)據(jù)的分布情況）、折線圖（顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢）、扇形圖（顯示數(shù)據(jù)的比例關(guān)系）。典型例題例10：下列調(diào)查中，適合用普查的是（）A.了解一批燈泡的使用壽命B.了解全國中學(xué)生的視力情況C.了解某班學(xué)生的身高情況D.了解某市的空氣質(zhì)量情況思路分析普查適合“范圍小、易操作、不具有破壞性”的情況，抽樣調(diào)查適合“范圍大、不易操作、具有破壞性”的情況。解答過程A.燈泡使用壽命測試具有破壞性，適合抽樣調(diào)查；B.全國中學(xué)生范圍大，適合抽樣調(diào)查；C.某班學(xué)生范圍小，易操作，適合普查；D.某市空氣質(zhì)量范圍大，適合抽樣調(diào)查。答案：C。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：下列調(diào)查中，適合用抽樣調(diào)查的是（）A.了解某班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績B.了解某機場入境人員的核酸檢測結(jié)果C.了解某批疫苗的有效性D.了解某件文物的年代2.中檔題：某班學(xué)生的身高情況如下表所示，求該班學(xué)生的平均身高（結(jié)果保留一位小數(shù)）。身高（cm）____________________人數(shù)581264滿意度非常滿意滿意一般不滿意人數(shù)254020153.綜合題：某商場為了解顧客對某品牌服裝的滿意度，隨機抽取了100名顧客進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示，求滿意度的眾數(shù)和中位數(shù)。4.2數(shù)據(jù)的分析：集中趨勢與離散程度知識點梳理集中趨勢：平均數(shù)：\(\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)（加權(quán)平均數(shù)：\(\bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{f_1+f_2+\cdots+f_k}\)，其中\(zhòng)(f_i\)為權(quán)重）；中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排序后，中間的數(shù)（若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，取中間兩個數(shù)的平均數(shù)）；眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（可能有多個或沒有）。離散程度：方差：\(s2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})2+(x_2-\bar{x})2+\cdots+(x_n-\bar{x})2]\)（方差越大，數(shù)據(jù)波動越大）；標(biāo)準(zhǔn)差：\(s=\sqrt{s2}\)（與原數(shù)據(jù)單位一致）。典型例題例11：某班10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?5,90,92,88,95,85,90,85,90,95。（1）求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）求該組數(shù)據(jù)的方差（結(jié)果保留兩位小數(shù)）。思路分析（1）平均數(shù)：求和除以10；中位數(shù)：排序后中間兩個數(shù)的平均數(shù)；眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；（2）方差：先求平均數(shù)，再計算每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方，求和除以10。解答過程（1）排序：85,85,85,88,90,90,90,92,95,95。平均數(shù)：\(\bar{x}=\frac{85×3+88×1+90×3+92×1+95×2}{10}=\frac{255+88+270+92+190}{10}=\frac{995}{10}=99.5？不，等一下，計算錯誤：85×3=255，88×1=88，90×3=270，92×1=92，95×2=190，總和是255+88=343，+270=613，+92=705，+190=895，平均數(shù)是895÷10=89.5。中位數(shù)：排序后第5、6個數(shù)是90、90，中位數(shù)是(90+90)÷2=90。眾數(shù)：85出現(xiàn)3次，90出現(xiàn)3次，都是眾數(shù)（多眾數(shù)）。（2）方差計算：\(s2=\frac{1}{10}[(85-89.5)2×3+(88-89.5)2×1+(90-89.5)2×3+(92-89.5)2×1+(95-89.5)2×2]\)=\(\frac{1}{10}[(-4.5)2×3+(-1.5)2×1+(0.5)2×3+(2.5)2×1+(5.5)2×2]\)=\(\frac{1}{10}[20.25×3+2.25×1+0.25×3+6.25×1+30.25×2]\)=\(\frac{1}{10}[60.75+2.25+0.75+6.25+60.5]\)=\(\frac{1}{10}[130.5]\)=13.05。訓(xùn)練題1.基礎(chǔ)題：某組數(shù)據(jù)為2,3,4,5,6，求其平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。2.中檔題：某班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?0,80,80,90,90,90,100，求其方差。3.綜合題：甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是80，方差分別為\(s_甲2=10\)，\(s_乙2=15\)，哪組數(shù)據(jù)的波動更大？4.3概率的計算：古典概型與幾何概型知識點梳理古典概型：試驗結(jié)果有限且每個結(jié)果等可能發(fā)生，概率公式為\(P(A)=\frac{事件A包含的結(jié)果數(shù)}{所有可能的結(jié)果數(shù)}\)。幾何概型：試驗結(jié)果無限且每個結(jié)果等可能發(fā)生，概率公式為\(P(A)=\frac{事件A對應(yīng)的區(qū)域長度（面積、體積）}{總區(qū)域長度（面積、體積）}\)。游戲公平性：判斷雙方獲勝的概率是否相等，相等則公平，否則不公平。典型例題例12：一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外都相同。（1）從中任意摸出1個球，求摸出紅球的概率；（2）從中任意摸出2個球，求摸出1紅1白的概率。思路分析（1）古典概型，總結(jié)果數(shù)5，紅球3個，概率為3/5；（2）列出所有可能的結(jié)果（組合），計算1紅1白的結(jié)果數(shù)，再求概率。解答過程（1）總球數(shù)為3+2=5，紅球有3個，因此摸出紅球的概率\(P=\frac{3}{5}\)。（2）設(shè)紅球為R1、R2、R3，白球為W1、W2，所有可能的摸球組合為：(R1,R2),(R1,R3),(R1,W1),(R1,W2),(R2,R3),(R2,W1)