4/62.1.1數(shù)軸上的基本公式目標(biāo)重點(diǎn)：理解和掌握數(shù)軸上的基本公式；目標(biāo)難點(diǎn)：熟練應(yīng)用數(shù)軸上的基本公式。教法關(guān)鍵：1．判斷一個量是否為向量，就是要判斷該向量是否既有大小，又有方向；2．注意向量的長度與向量的坐標(biāo)之間的區(qū)別：向量的長度是一個正數(shù)，而向量的坐標(biāo)是一個實(shí)數(shù)（正數(shù)，負(fù)數(shù)，零）；3．?dāng)?shù)軸上一個向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。情境引入：網(wǎng)絡(luò)坐標(biāo)法地圖起源很早，傳說在人類發(fā)明象形文字以前就有了地圖。戰(zhàn)國時期，軍事地圖更為普遍?！秾O子兵法》和《孫臏兵法》分別附圖9卷和4卷?！豆茏印さ貓D篇》曾道，凡統(tǒng)帥軍隊者，必事先詳盡熟悉和掌握軍事活動地區(qū)的地圖。1973年湖南長沙馬王堆3號漢墓出土三幅西漢初年地圖。一幅為地形圖，一幅為駐軍圖，另一幅為城邑圖。距今已有2100多年。如果把坐標(biāo)法理解為通過某一特定系統(tǒng)中的若干數(shù)量來決定空間位置的方法，那么戰(zhàn)國時代魏人石申用距度（或入宿度）和去極度兩個數(shù)據(jù)來表示恒星在天球上位置的星表，可以說是一種球面坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)法。古希臘的地理學(xué)家和天文學(xué)家也廣泛地使用球面坐標(biāo)法。西晉人裴秀（223－271）提出“制圖六體”，在地圖繪制中使用了相當(dāng)完備的平面網(wǎng)絡(luò)坐標(biāo)法。用坐標(biāo)法來刻畫動態(tài)的、連續(xù)的點(diǎn)，是它溝通代數(shù)與幾何而成為解析幾何的主要工具的關(guān)鍵。阿波羅尼在《圓錐曲線論》中，已借助坐標(biāo)來描述曲線。十四世紀(jì)法國學(xué)者奧雷斯姆用“經(jīng)度”和“緯度”（相當(dāng)于縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)）的方程來刻畫動點(diǎn)的軌跡。十七世紀(jì)，費(fèi)馬和笛卡兒分別創(chuàng)立解析幾何，他們使用的都是斜角坐標(biāo)系：即選定一條直線作為x軸，在其上選定一點(diǎn)為原點(diǎn)，y的值則由那些與x軸成一固定角度的線段的長表示。最早引進(jìn)負(fù)坐標(biāo)的是英國人沃利斯，最早把解析幾何推廣到三維空間的是法國人費(fèi)馬，最早應(yīng)用三維直角坐標(biāo)系的是瑞士人約翰·貝努利?！白鴺?biāo)”一詞是德國人萊布尼茲創(chuàng)用的。牛頓首先使用極坐標(biāo)，對于螺線、心形線以及諸如天體在中心力作用下的運(yùn)動軌跡的研究甚為方便#不同的坐標(biāo)系之間可以互換，最早討論平面斜角坐標(biāo)系之間互換關(guān)系的是法國人范斯庫騰。我們今天常常把直角坐標(biāo)系叫笛卡兒坐標(biāo)系，其實(shí)那是經(jīng)過許多后人不斷完善后的結(jié)果。教學(xué)過程：1.直線坐標(biāo)系1．直線坐標(biāo)系：一條給出了原點(diǎn)、度量單位和正方向的直線叫做數(shù)軸，或說在這條直線上建立了直線坐標(biāo)系。如圖：2．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x的對應(yīng)法則：如果點(diǎn)P在原點(diǎn)朝正向的一側(cè)，則x為正數(shù)，且等于點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離；如果點(diǎn)P在原點(diǎn)朝負(fù)向的一側(cè)，則x為負(fù)數(shù)，其絕對值等于點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離；如果點(diǎn)P在原點(diǎn)，則表示x=0，由此，實(shí)數(shù)集和數(shù)軸上的點(diǎn)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系；3．如果點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x對應(yīng)，則稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，記作P(x)；2.向量1．既有大小又有方向的量，叫做位移向量，簡稱向量。從點(diǎn)A到點(diǎn)B的向量，記作，讀作“向量AB”。點(diǎn)A叫做向量的起點(diǎn)，點(diǎn)B叫做向量的終點(diǎn)；2．向量的長度：線段AB的長叫做向量的長度，記作||；3．相等的向量：數(shù)軸上同向且等長的向量叫做相等的向量；4．?dāng)?shù)量：用實(shí)數(shù)表示數(shù)軸上的一個向量，這個實(shí)數(shù)叫做向量的坐標(biāo)或數(shù)量。常用AB表示向量的坐標(biāo)。如何理解相等向量？1．?dāng)?shù)軸上同向且等長的向量叫做相等的向量，定義中沒有對向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)作出限制，實(shí)際上不管起點(diǎn)在什么位置，只要方向相同，長度相等，這樣的向量就是相等向量。2．相等的向量，坐標(biāo)相等，反之，如果數(shù)軸上的兩個向量的坐標(biāo)相等，則這兩個向量相等。3．如果把相等的所有向量看成一個整體，作為同一個向量，則實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的向量之間是一一對應(yīng)的。點(diǎn)3.基本公式1．位移的和：在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A作一次位移到點(diǎn)B，接著由點(diǎn)B再作一次位移到點(diǎn)C，則位移叫做位移與位移的和，記作;2．?dāng)?shù)量的和：對數(shù)軸上任意三點(diǎn)A、B、C都有關(guān)系A(chǔ)C=AB+BC；3．?dāng)?shù)量的坐標(biāo)表示：使是數(shù)軸上的任意一個向量，點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2，則AB=x2－x1；4．?dāng)?shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式：用d(A，B)表示A、B兩點(diǎn)間的距離，則d(A，B)=|x2－x1|.例題精講：例1．下列說法中，正確的是（）（A）=AB（B）=（C）零向量是沒有方向的（D）相等的向量的坐標(biāo)（數(shù)量）一定相同解：根據(jù)向量和數(shù)量的定義可知D正確。變式練習(xí)：1．已知AB=3，下列給出的坐標(biāo)中不與之對應(yīng)的是（D）（A）A(3)，B(6)（B）A(0)，B(3)（C）A(－3)，B(0)（D）A(5)，B(2)例2．在數(shù)軸上表示下列各點(diǎn)：A(－3)，B(－1)，C(1)，D(2)，并找出與C的距離是1兩點(diǎn)M、N，并寫出它們的坐標(biāo).解：如圖與C的距離是1的點(diǎn)M、N分別位于點(diǎn)C的兩側(cè)：M(0)，N(2)，點(diǎn)N與點(diǎn)D重合例3．已知A、B、C是數(shù)軸上任意三點(diǎn),（1）若AB=5，CB=3，求AC；（2）證明：AC+CB=AB；（3）若|AB|=5，|CB|=3，求|AC|.解：（1）AC=AB+BC=AB－CB=2.（2）設(shè)數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，則AC=x3－x1，CB=x2－x3，AB=x2－x1，∴AC+CB=(x3－x1)+(x2－x3)=(x2－x1)=AB.（3）AC=2或8.例4．已知A、B是直線l上的定點(diǎn)，C點(diǎn)在線段AB上，D點(diǎn)在AB的延長線上，且|AB|=6，，求向量的坐標(biāo).解：以l為數(shù)軸，不妨設(shè)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)B在數(shù)軸上的坐標(biāo)為6，設(shè)C、D在數(shù)軸上的坐標(biāo)分別為x1，x2，由圖可得例5．已知數(shù)軸上三點(diǎn)A(x)、B(2)、P(3)，且滿足，求x.解：因?yàn)閨AP|=|3－x|，|BP|=|3－2|=1，由已知，所以|3－x|=2，得x=1或x=5.補(bǔ)充習(xí)題：1．在下列四個命題中，正確的是（D）（A）兩點(diǎn)A、B惟一確定一條有向線段（B）起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的有向線段記作AB（C）有向線段的數(shù)量AB=－|BA|（D）兩點(diǎn)A、B惟一確定一條線段2．對于數(shù)軸上任意三點(diǎn)A、B、O，如下關(guān)于有向線段的數(shù)量關(guān)系不恒成立的是（D）（A）AB=OB－OA（B）AO+OB+BA=0（C）AB=AO+OB（D）AB+AO+BO=03．若點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，BA=6，BC=－2，CD=6，則AD等于（B）（A）0（B）－2（C）10（D）－104．如圖所示，設(shè)是x軸上的一個向量，O是原點(diǎn)，則下列各式中不成立的是（B）（A）OA=（B）OB=（C）AB=OB－OA（D）BA=OA－OB5．在數(shù)軸上已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為3，AB=4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為－1；已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為2，=2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為0或4；已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為－1，BA=2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為1.6．?dāng)?shù)軸上一點(diǎn)P(x)，它到點(diǎn)A(－8)的距離是它到點(diǎn)B(－4)距離的2倍，則x=0或.7．已知數(shù)軸上A、B、C的坐標(biāo)分別為&－3，7，9，則AB+BC+CA=0，=24.8．在數(shù)軸上M、N、P的坐標(biāo)分別為3，－1，－5，則MP+PN等于（A）（A）－4（B）4（C）－12（D）129．?dāng)?shù)軸上任取三個不同點(diǎn)P、Q、R，則一定為零值的是（D）（A）PQ+PR（B）PQ+RQ（C）PQ+QR+PR（D）PQ+QR+RP10．?dāng)?shù)軸上兩點(diǎn)A(2x)，B(2x+a)，則A、B兩點(diǎn)的位置關(guān)系為（D）（A）A在B左側(cè)（B）A在B右側(cè)（C）A與B重合（D）由a的取值決定11．在數(shù)軸上從點(diǎn)A(－2)引一線段到B(3)，再延長同樣的長度到C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（C）（A）13（B）0（C）8（D）－212．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A(x1)，B(x2)，則線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為.13．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A(a)，B(5.5)，并且d(A，B)=7.5，則a=－2或13；若AB=7.5，則a=－2.14．下列各組點(diǎn)中，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)的是②④=5\*G