1/9第3章數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度一、知識結(jié)構(gòu)與回顧一組數(shù)據(jù)1、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念及舉例一般地對于n個數(shù)X1，……Xn把eq\f(1,n)（X1+X2+…Xn）叫做這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù).如某中外合資企業(yè)要招工，測試內(nèi)容為數(shù)學(xué)、語文、外語三門文化課的綜合成績，滿分都為100分，且這三門課分別按25%、25%、50%的比例計(jì)入總成績，這樣計(jì)算出的成績?yōu)閿?shù)學(xué)，語文、外語成績的加權(quán)平均數(shù)，25%、25%、50%分別是數(shù)學(xué)、語文、外語三項(xiàng)測試成績的權(quán).如果在n個數(shù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，x3出現(xiàn)f3次，……xn出現(xiàn)fn次，（其中f1+f2+f3+……+fn=n），這n個數(shù)的平均數(shù)可表示為：.中位數(shù)就是把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的數(shù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).如3，2，3，5，3，4中3是眾數(shù).一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是惟一的；一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個，也可能沒有.2、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的特征（1）平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是表示一組數(shù)據(jù)“平均水平”的平均數(shù).（2）平均數(shù)能充分利用數(shù)據(jù)提供的信息，在生活中較為常用，但它容易受極端數(shù)字的影響，且計(jì)算較繁.（3）中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，受極端數(shù)字影響較小，但不能充分利用所有數(shù)字的信息.（4）眾數(shù)的可靠性較差，它不受極端數(shù)據(jù)的影響，求法簡便，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)變動較大時，適宜選擇眾數(shù)來表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”.3、算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時，就是算術(shù)平均數(shù).4、利用計(jì)算器求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)當(dāng)所處理的數(shù)據(jù)較多時，手工計(jì)算的效率較低，運(yùn)用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的方法就能迅速獲得所需要的信息，將更多的時間用于對數(shù)據(jù)的討論和對結(jié)果實(shí)際意義的解釋．5、方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差描述一組數(shù)據(jù)的離散程度可采取許多方法，在統(tǒng)計(jì)中常先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求這組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)，用這個平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大?。涸O(shè)在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是，那么我們求它們的平均數(shù)，即用標(biāo)準(zhǔn)差有些情況下，需用到方差的算術(shù)平方根，即并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量.4、利用計(jì)算器求一組數(shù)據(jù)的方差當(dāng)所處理的數(shù)據(jù)較多時，手工計(jì)算的效率較低，運(yùn)用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的方法就能迅速獲得所需要的信息，將更多的時間用于對數(shù)據(jù)的討論和對結(jié)果實(shí)際意義的解釋．利用計(jì)算器求一組數(shù)據(jù)的方差就能很好地解決.二、全章綜合剖析平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中程度的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)運(yùn)用最為廣泛，應(yīng)當(dāng)注意平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的合理選用，避免平均數(shù)的誤用.這三個量的各自特點(diǎn)是：平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)均有關(guān)系，其中任何數(shù)據(jù)的變動都會引起相應(yīng)平均數(shù)的變動，這表明平均數(shù)充分地反映了一組數(shù)據(jù)的信息.中位數(shù)的大小僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，當(dāng)將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，最中間的數(shù)據(jù)為中位數(shù)，于是部分?jǐn)?shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，常用它來描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.眾數(shù)著眼于對各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)的考察，因此求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)既不需要計(jì)算，也不需要排序，而只要數(shù)出出現(xiàn)次數(shù)較多的數(shù)據(jù)的頻數(shù)就行了，眾數(shù)的大小僅與一組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，它的眾數(shù)也往往是我們關(guān)心的一種集中趨勢.極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差是用來描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，它們是用來描述一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性的.一般而言，一組數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.三、例題精講類型之一求平均數(shù)及應(yīng)用例1已知兩組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…xn和y1，y2，y3，…yn的平均數(shù)分別為，，求（1）2x1，2x2，2x3…2xn的平均數(shù)（2）2x1+1，2x2+1，2x3+1…2xn+1的平均數(shù)（3）x1+y1，x2+y2，x3+y3…xn+yn的平均數(shù).分析:化單純的知識記憶為理解記憶.（1）的平均數(shù)為2;（2）的平均數(shù)為2+1;（3）的平均數(shù)為+.例2一家公司對A、B、C三名應(yīng)聘者進(jìn)行了創(chuàng)新、綜合知識和語言三項(xiàng)素質(zhì)測試，他們的成績?nèi)缦卤硭荆簻y試成績測試項(xiàng)目674588語言707450綜合知識678572創(chuàng)新CBA（1）如果根據(jù)三項(xiàng)測試的平均成績確定錄用人選，你選誰？（2）根據(jù)實(shí)際需要，廣告公司給出了選人標(biāo)準(zhǔn)：將創(chuàng)新、綜合知識和語言三項(xiàng)測試得分按4：3：1的比例確定各人的測試成績.你選誰？解：（1）A的平均成績?yōu)?0分.B的平均成績?yōu)?8分.C的平均成績?yōu)?8分.由70>68，故A將被錄用.（2）根據(jù)題意，A的成績?yōu)?5.75分.B的成績?yōu)?5.875分.C的成績?yōu)?8.125分.因此候選人B將被錄用.說明：當(dāng)條件變化時，應(yīng)注意平均數(shù)的不同求法.類型之二求中位數(shù)與眾數(shù)例3在第29屆奧林匹克運(yùn)動會上，青島姑娘張娟娟為中國代表團(tuán)奪得了歷史上首枚奧運(yùn)會射箭金牌，為祖國爭得了榮譽(yù)．下表記錄了她在備戰(zhàn)奧運(yùn)會期間的一次訓(xùn)練成績（單位：環(huán)）：序號123456789101112成績9910981010987109根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得：張娟娟這次訓(xùn)練成績的中位數(shù)是環(huán)，眾數(shù)是環(huán)．說明:考查眾數(shù)、中位數(shù)概念.注意有時眾數(shù)可能不止一個，也可能沒有.求中位數(shù)時要排序.答案:9，9類型之三中位數(shù)與眾數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例4某校學(xué)生會干部對校學(xué)生會倡導(dǎo)的“助殘”自愿捐款活動進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到一組學(xué)生捐款情況的數(shù)據(jù)，下圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖，圖中從左到右各長方形高度之比為3∶4∶5∶8∶2，又知此次調(diào)查中捐15元和20元的人數(shù)共39人．（1）他們一共抽查了多少人？捐款數(shù)不少于20元的概率是多少？（2）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)各是多少？（3）若該校共有2310名學(xué)生，請估算全校學(xué)生共捐款多少元？圖1圖1解：（1）設(shè)捐15元的人數(shù)為5x，則根據(jù)題意捐20元的人數(shù)為8x．∴5x＋8x＝39，∴x＝3∴一共調(diào)查了3x＋4x＋5x＋8x＋2x＝66（人）∴捐款數(shù)不少于20元的概率是．（2）由（1）可知，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是20（元），中位數(shù)是15（元）．（3）全校共捐款（9×5＋12×10＋15×15＋24×20＋6×30）÷66×2310＝36750（元）說明:方程思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一,數(shù)型結(jié)合是我們解決問題的手段.例5為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某中學(xué)組織了環(huán)保知識競賽活動，初中三個年級根據(jù)初賽成績分別選出了10名同學(xué)參加決賽，這些選手的決賽成績（滿分為100分）如下表所示：決賽成績（單位：分）初一年級80868880889980749189初二年級85858797857688778788初三年級82807878819697888986（1）請你填寫下表：平均分眾數(shù)中位數(shù)初一年級85.587初二年級85.585初三年級84（2）請從以下兩個不同的角度對三個年級的決賽成績進(jìn)行分析：①從眾數(shù)和平均數(shù)相結(jié)合看（分析哪個年級成績好些）；②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看（分析哪個年級成績好些）.（3）如果在每個年級參加決賽的選手中分別選出3人參加總決賽，你認(rèn)為哪個年級的實(shí)力更強(qiáng)些？并說明理由.分析:由所給的信息求出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；并結(jié)合具體的情境理解平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系；并能根據(jù)具體問題，選擇合適的統(tǒng)計(jì)量表示數(shù)據(jù)的集中程度，對日常生活中的有關(guān)問題與現(xiàn)象做出一定的評判.解：（1）年級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)初一年級85.58087初二年級85.58586初三年級85.57884（2）①∵平均數(shù)都相同，初二年級的眾數(shù)最高，∴初二年級的成績好一些；②∵平均數(shù)都相同，初一年級的中位數(shù)最高，∴初一年級的成績好一些.（3）∵初一、初二、初三各年級前三名學(xué)生決賽成績的平均分分別是93分、91分、94分，∴從各年級參加決賽的選手中分別選出3人參加總決賽，初三年級的實(shí)力更強(qiáng)一些.類型之四極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差的實(shí)際應(yīng)用例6某農(nóng)科所在8個試驗(yàn)點(diǎn)，對甲、乙兩種玉米進(jìn)行對比試驗(yàn)，這兩種玉米在各試驗(yàn)點(diǎn)的畝產(chǎn)量如下（單位：千克）甲：450460450430450460440460乙：440470460440430450470440在這個試驗(yàn)點(diǎn)甲、乙兩種玉米哪一種產(chǎn)量比較穩(wěn)定？剖析：我們可以算極差.甲種玉米極差為460－430=30千克；乙種玉米極差為470－430=40千克.還可以用方差來比較哪一種玉米穩(wěn)定.s甲2=100，s乙2=200.圖2次數(shù)環(huán)數(shù)3210789圖2次數(shù)環(huán)數(shù)321078910四、中考鏈接1、（烏魯木齊）．一名射擊運(yùn)動員連續(xù)打靶8次，命中的環(huán)數(shù)如圖2所示，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（）A．9與8 B．8與9 C．8與8.5 D．8.5與9答案C2、（煙臺市）某校初一年級有六個班，一次測試后，分別求得各個班級學(xué)生成績的平均數(shù)，它們不完全相同，下列說法正確的是（）A．全年級學(xué)生的平均成績一定在這六個平均成績的最小值與最大值之間B．將六個平均成績之和除以6，就得到全年級學(xué)生的平均成績C．這六個平均成績的中位數(shù)就是全年級學(xué)生的平均成績D．這六個平均成績的眾數(shù)不可能是全年級學(xué)生的平均成績答案A3、(南充)已知一組數(shù)據(jù)2，1，，7，3，5，3，2的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．2 B．2.5 C．3 D．5答案B圖14圖14(1)這32名學(xué)生培訓(xùn)前后考試成績的中位數(shù)所在的等級分別是、；（2）估計(jì)該校整個八年級學(xué)生中，培訓(xùn)后考試成績的等級為“及格”與“優(yōu)秀”的學(xué)生共有多少名？提示:（1）不及格，及格；（2）抽到的考生培訓(xùn)后的及格與優(yōu)秀率為（16+8）÷32=75%，由此，可以估計(jì)八年級320名學(xué)生培訓(xùn)后的及格與優(yōu)秀率為75%．所以，八年級320名學(xué)生培訓(xùn)后的及格與優(yōu)秀人數(shù)為75%×320=240．5、（遂寧）“只要人人都獻(xiàn)出一點(diǎn)愛，世界將變成美好的人間”．在今年的慈善一日捐活動中，濟(jì)南市某中學(xué)八年級三班50名學(xué)生自發(fā)組織獻(xiàn)愛心捐款活動．班長將捐款情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成了統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)右圖提供的信息，捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．20、20B．30、20C．30、30D．20、30答案C4天3天4天3天2天7天6天5天30%15%10%5%15%a6050403020102天3天4天5天6天7天時間人數(shù)請你根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中的值，并求出該校初一學(xué)生總數(shù)；（2）分別求出活動時間為5天、7天的學(xué)生人數(shù)，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“活動時間為4天”的扇形所對圓心角的度數(shù)；（4）在這次抽樣調(diào)查中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是多少？（5）如果該市共有初一學(xué)生6000人，請你估計(jì)“活動時間不少于4天”的大約有多少人？提示：（1）a=25%．初一學(xué)生總數(shù)：200（人）．（2）活動時間為5天的學(xué)生數(shù)：50（人）．活動時間為7天的學(xué)生數(shù)：10（人）．頻數(shù)分布直方圖（略）（3）活動時間為4天的扇形所對的圓心角是1080（4）眾數(shù)是4天，中位數(shù)是4天．（5）該市活動時間不少于4天的人數(shù)約是4500（人）．7、為了考察某班普通話測試情況，從中抽查了10人的成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?7，90，98，74，89，90，85，80，90，93．（1）這個問題中，總體、個體、樣本各是什么？（2）這個問題中，樣本平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差各是多少并估計(jì)總體平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差？（平均數(shù)精確到1分，標(biāo)準(zhǔn)差保留三個有效數(shù)字）．分析：（1）利用總體是所要考查對象的全體，個體是總體中每一個考查對象，樣本是從總體中抽取的部分個體，即可得到答案；（2）利用樣本平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體即可．解答：（1）總體是某班普通話測試成績，個體是某班每個學(xué)生的普通話成績，樣本是