7/71.2.1平面的基本性質(zhì)及推論一、選擇題1.以下是一些命題的敘述語言①點(diǎn)，直線；②點(diǎn)，直線；③點(diǎn)，平面；④直線，平面；則其中命題和敘述方法都正確的個(gè)數(shù)是【】A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.給定下面四個(gè)命題：(1)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；(2)兩條直線可以確定一個(gè)平面；(3)若,則；(4)空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；其中真命題的個(gè)數(shù)是【】A.1B.2C.3D.4空間三條直線交于同一點(diǎn)，它們中的兩條確定的平面?zhèn)€數(shù)記為，則的可值可能為【】A.1B.1,3C.1,2,3D.1,2,3,44.已知異面直線a，b分別在平面α、β內(nèi)，且α∩β＝c,那么直線c一定（）A.與a、b都相交；B.只能與a、b中的一條相交；C.至少與a、b中的一條相交；D.與a、b都平行.5.若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（）A.異面或平行B.異面或相交C.異面D.相交、平行或異面6.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（）A.一定平行B.一定相交C.一定異面D.相交或異面7.在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（）A.B.C.D.8.三條直線兩兩垂直，那么在下列四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論共有（）①這三條直線必共點(diǎn)；②其中必有兩知是異面直線；③三條直線不可能共面；④其中必有兩條在同一平面內(nèi).A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)9.空間四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，順次連結(jié)四邊中點(diǎn)的四邊形一定是（）A.空間四邊形B.矩形C.菱形D.正方形10.正方體的各面的對(duì)角線中，與成角的異面直線有（）A.4條B.6條C.8條D.12條11.空間四邊形中的中點(diǎn)分別是，且，那么異面直線和所成的角是（）A.B.C.D.12.過直線外兩點(diǎn)作與直線平行的平面，可以作（）A.1個(gè)B.1個(gè)或無數(shù)個(gè)C.0個(gè)或無數(shù)個(gè)D.0個(gè)，1個(gè)或無數(shù)個(gè)13.已知為異面直線，平面，平面，，則（）A.與都相交B.與中至少一條相交C.與都不相交D.至多與中的一條相交二.填空題14.和兩條異面直線中的一條相交的直線與另一條的位置關(guān)系是____________.15.在長方體ABCD—A1B1C1D1中AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，則異面直線AB1與A1C1所成角的余弦值為__________.16.四面體ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，且EF＝，則AB與CD所成的角為__________.17.已知直線a、b、cìa，直線a′、b′、c′是兩兩異面的三直線，且a∥a′，b∥b′，c∥c′，若a′、b′、c′，兩兩所成的角均等于θ，則θ＝____________.18.已知a，b是一對(duì)異面直線，而且a平行于△ABC的邊AB所在直線，b平行于AC所在的直線，若cos∠BAC＝，則a，b所成的角為__________.三、解答題19.如圖，已知平面α與平面β相交于直線m，nìβ，且m∩n＝A，直線lìa且l∥m.證明n、l是異面直線.20.已知直線a∥b，a與平面α相交于A，求證：b與平面α必相交.21.在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，對(duì)角線BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角.22.已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD各邊AB、AD、CB、CD上的點(diǎn)，并且有，，試證EF、GH、BD共點(diǎn)或兩兩平行.23.在長方體ABCD—A1B1C1D1中，若AB＝BC＝3，AA1＝4，求A1B和B1C所成角的余弦值.24.已知異面直線a、b所成的角為60°，在過空間一定點(diǎn)P的直線中，與a，b所成的角均為60°的直線有多少條？過P與a、b所成角均為50°，或均為70°的直線又各有多少呢？希望讀者通過對(duì)上述三個(gè)具體問題的求解，總結(jié)解題方法，然后再探討關(guān)于與異面直線成等角的直線的存在性問題的一般性情況：已知異面直線a，b所成的角為θ0且θ0＜90°，過空間一點(diǎn)P的直線中與a，b所成的角均為θ的直線有多少條？

參考答案選擇題1.D2.A3.B4.C5.D6.D7.D8.D9.B10.C11.A12.D13.B二、填空題14.相交、平行或異面；15.；16.60°；17.60°；18.30°三、解答題19.證明：若n、l共面，設(shè)該平面為g，∵A∈n，nìg，∴A∈g.又∵lìg，∴平面g經(jīng)過點(diǎn)A和直線l，∴平面g與α重合.由于α與g重合，且mìg，∴平面g經(jīng)過直線m和n.∵m與n是相交直線，∴g與β也重合，于是α與β重合，這就與條件α∩β＝m矛盾，故假設(shè)不成立.∴n、l是異面直線.20.證明：∵a∥b，∴a，b可確定平面β，∵A∈aìβ，∴A是α與β的公共點(diǎn).∴α與β相交，設(shè)α∩β＝l，則A∈l，∴a∩l＝A.∴在平面β內(nèi)b與l必相交，∴b與α必相交，交點(diǎn)即為b與l的交點(diǎn).21.證明：AB、CD、AD的中點(diǎn)E、G、F，連接EF、FG、GE，則∠EFG或其補(bǔ)角為異面直線BD、AC所成的角，且EF＝BD＝，F(xiàn)G＝AC＝，再取AC的中點(diǎn)H，則EH∥BC，HG∥AD，∵AD⊥BC，∴EH⊥HG，∴EG2＝EH2＋HG2＝1.在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1，∴∠EFG＝90°，∴AC與BD所成的角為90°.22.證明：如圖，連AC、EG、FH，在△ABC中，∵＝，∴EG∥AC.同理FH∥AC，于是根據(jù)公理4可知：EG∥FH.∴E、F、H、G四點(diǎn)共面于α，于是EF與HG只有相交與平行兩種可能.（Ⅰ）若EF與HG相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈EFì平面ACD.∴P∈平面ACD，同理可知：P∈平面BCD.∴P是平面ABD與平面BCD的公共點(diǎn).∴兩平面的交線BD必過P點(diǎn).∴FE、GH、BD共點(diǎn).（Ⅱ）若EF與HG平行，則必有EF∥BD.∵EF、BDì平面ABD，∴若EF與BD不平行，則EF與BD就相交，設(shè)交點(diǎn)為Q，則EFì平面EFHG，Q∈BDì平面BDC，∴Q是平面EFHG與平面BDC的公共點(diǎn).又∵HG是這兩個(gè)平面的交線，∴Q∈HG，∴EF∩HG＝Q.這就與EF∥HG相矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤.∴EF∥BD.同理可證：HG∥BD.故由公理4知：EF、HG、BD兩兩平行.23.解：如圖，連接A1D，BC，由長方體性質(zhì)易知，A1D∥B1C，∴∠DA1B即為A1B與B1C所成角或其補(bǔ)角.由題設(shè)易求A1D＝5，A1B＝5，BD＝.∴cos∠DA1B＝＝＝.∴A1B與B1C所成角的余弦值為.24.解：①3條；②2條；③4條.④如圖10，過點(diǎn)P分別