§6.4數(shù)列中的構(gòu)造問題01數(shù)學

大一輪復習數(shù)列中的構(gòu)造問題是歷年高考的一個熱點內(nèi)容，主、客觀題均可出現(xiàn)，一般通過構(gòu)造新的數(shù)列求數(shù)列的通項公式.課標要求例1

已知數(shù)列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，則an=

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題型一命題點1

an+1=pan+q(p≠0，1，q≠0)7×4n-1-2

待定系數(shù)法例2

已知數(shù)列{an}滿足an+1=4an-12n+4，且a1=4，若ak=2024，則k等于A.253 B.506

C.1012 D.2024√命題點2

an+1=pan+qn+c(p≠0，1，q≠0)

例3

(2024·衡陽模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=an+1-2n+1，a1=2，則an=

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命題點3

an+1=pan+qn(p≠0，1，q≠0，1)(n+1)2n-1

思維升華形式構(gòu)造方法an+1=pan+q引入?yún)?shù)c，構(gòu)造新的等比數(shù)列{an-c}an+1=pan+qn+c引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{an+xn+y}an+1=pan+qn

√√

取倒數(shù)法和取對數(shù)法題型二

命題點1取倒數(shù)法

√命題點2取對數(shù)法

思維升華

an＋2＝pan＋1＋qan對應于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程為該數(shù)列的特征根方程.(1)若特征根方程有兩個不等實根α，β，則an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值決定；(2)若特征根方程只有一個實根α，則an＝(An＋B)·αn，A，B由a1，a2的值決定.特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通項公式微拓展典例

(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，則an＝

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1＋2n－1(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an(n∈N*)，則an＝

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課時精練02單擊此處添加章節(jié)副標題答案12345678910題號1234567答案DCBAABDACD題號

8答案對一對答案12345678910(1)由Sn+1=2Sn+n，可得an+1=Sn+n，令n=1，可得a2=S1+1=1，即S1=a1=0，由Sn+1=2Sn+n可得Sn+1+(n+1)+1=2(Sn+n+1)，且S1+1+1=2≠0，可知數(shù)列{Sn+n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則Sn+n+1=2×2n-1=2n，可得Sn+n=2n-1，即an+1=2n-1，則an=2n-1-1，n≥2，且a1=0符合上式，所以an=2n-1-1.9.答案12345678910

9.答案12345678910

10.答案12345678910

10.答案12345678910

10.一、單項選擇題1.在數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，首項a1=1，又函數(shù)f(x)=x3-an+1sinx+(2an+1)x+1，若f'(0)=0，則S2025等于A.22023-2024 B.22024-2025C.22025-2026 D.22026-2027√12345678910答案12345678910答案

12345678910答案2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n，則a4等于A.17 B.18 C.19 D.20√12345678910答案方法一因為an+1=2an+n，所以an+1+n+2=2an+2n+2=2(an+n+1)，又a1+1+1=1+1+1=3，即數(shù)列{an+n+1}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，即an+n+1=3·2n-1，即an=3·2n-1-n-1，故a4=3·23-4-1=19.12345678910答案方法二由an+1=2an+n，a1=1，故a2=2a1+1=3，a3=2a2+2=8，a4=2a3+3=19.

√12345678910答案12345678910答案

√12345678910答案12345678910

答案12345678910

答案

√12345678910答案√√12345678910

答案12345678910

答案12345678910

答案

√12345678910答案√√12345678910

答案12345678910

答案三、填空題7.已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-5an+4an-1=0(n∈N*，n≥2)，則{an}的通項公式為

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12345678910答案

12345678910答案8.(2025·南京模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為

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12345678910答案

12345678910

答案四、解答題9.(2025·湖北云學重點高中聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2=1且Sn+1=2Sn+n(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；12345678910答案12345678910答案由Sn+1=2Sn+n，可得an+1=Sn+n，令n=1，可得a2=S1+1=1，即S1=a1=0，由Sn+1=2Sn+n可得Sn+1+(n+1)+1=2(Sn+n+1)，且S1+1+1=2≠0，可知數(shù)列{Sn+n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則Sn+n+1=2×2n-1=2n，可得Sn+n=2n-1，即an+1=2n-1，則an=2n-1-1，n≥2，且a1=0符合上式，所以an=2n-1-1.