1/142/142024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考卷01（考試時間：120分鐘分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版2019必修第二冊第六章至第九章。5．難度系數(shù)：0.75。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量、的夾角為，且，則向量在向量上的投影向量是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，則，可得，因?yàn)橄蛄?、的夾角為，則向量在向量上的投影向量為.故選：B.2．復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，則，故的虛部為.故選：D.3．的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（

）

A． B．4 C． D．8【答案】B【詳解】將直觀圖還原為原圖，如圖所示，則是直角三角形，其中，，

故的面積為，故選：B．4．西安大雁塔始建于唐代永輝三年，是中國古代佛教建筑的杰作．若將大雁塔的塔身近似看成正四棱臺，上下底面的邊長分別為13m和25m，塔身高度為60m．則其體積約為（

）．A．15880 B．22380 C．47640 D．67140【答案】B【詳解】由題意，上下底面的邊長分別為13m和25m，塔身高度為60m，則其體積為.故選：B.5．已知互不相等的數(shù)據(jù)，，，，，，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，，，的方差為，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無法判斷【答案】C【詳解】根據(jù)已知條件第一組數(shù)據(jù)的個數(shù)為個，且，所以，，第二組數(shù)據(jù)的個數(shù)為個，且平均數(shù)，，因?yàn)?，所?故選：C6．某地教育局為了解“雙減”政策的落實(shí)情況，在轄區(qū)內(nèi)初一年級在校學(xué)生中抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時間，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A．該地初一年級學(xué)生做作業(yè)的時間超過3小時的概率估計為35%B．估計該地初一年級有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時間超過2小時C．估計該地初一年級學(xué)生做作業(yè)的時間的眾數(shù)為2.25小時D．估計該地初一年級有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間【答案】D【詳解】對于A，超過3小時的概率估計為：，A正確；對于B，超過2小時的概率估計為：，所以估計該地初一年級有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時間超過2小時，B正確；對于C，由圖知眾數(shù)約為（小時），C正確；對于D，時間在2小時至3小時之間的概率估計為：，所以沒有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間，D錯誤.故選：D.7．已知三棱錐的底面為邊長為3的正三角形，點(diǎn)在側(cè)面上的射影是的垂心，當(dāng)此三棱錐體積最大時，PA的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如下圖所示，延長交于點(diǎn)，連接，

為的垂心，則，平面，平面，，，平面，平面，，連接并延長交于點(diǎn)，連接，平面，平面，，，，平面，平面，，設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，平面，平面，，，平面，、平面，則，，，為正的中心，且為的中點(diǎn)，平面，、、平面，，，，且，則，，由三角形面積公式得，當(dāng)時，最大，此時，故當(dāng)時，的面積取最大值，當(dāng)，時，，面，故面，此時，當(dāng)與不垂直時，此時的高一定比要小，故當(dāng)，，時，三棱錐的體積取得最大值，而，因?yàn)榈酌媸沁呴L為3的正三角形，所以，由等腰直角三角形性質(zhì)得，解得，故C正確.故選：C8．記鈍角三角形ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則線段BD的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由是鈍角三角形且可得，，故，由題意知，，故，；由得，，故．由得，，則，故，由知，線段BD的取值范圍是．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．隨機(jī)抽取某校高三年級100位學(xué)生的某次測驗(yàn)成績，按，，，，，，分成7組，并繪制頻率分布直方圖，如圖所示．根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．樣本的中位數(shù)不低于115分C．樣本中測驗(yàn)成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為20D．若每組以區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則估計樣本的平均數(shù)為118.5分【答案】ABD【詳解】對于A，根據(jù)題意可得，解得，故A正確；對于B，因?yàn)?，，所以樣本的中位?shù)在內(nèi)，故B正確；對于C，樣本中測驗(yàn)成績在內(nèi)的頻率為，則樣本中測驗(yàn)成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，C錯誤．對于D，若每組以區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則估計樣本的平均數(shù)為：分，故D正確．故選：ABD10．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為1，且，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的方差為4；B．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為24；C．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差大于1；D．若數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，分位數(shù)為，則.【答案】ABD【詳解】對于，因?yàn)?，所以，所以?shù)據(jù)的平均數(shù)為，故正確；對于，因?yàn)?，所以，所以?shù)據(jù)的方差為，故正確；對于，，，故錯誤；對于，將數(shù)據(jù)從小到大排序，所以中位數(shù)為第三個數(shù)和第四個數(shù)的平均數(shù)，因?yàn)椋苑治粩?shù)為第五個數(shù)，按從小到大排序后，第五個數(shù)大于等于第三個數(shù)和第四個數(shù)的平均數(shù)，所以，故正確.故選：.11．下列說法中正確的是（

）．A．若．則有兩組解B．已知非零向量，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若滿足，則與的夾角為D．在中，若【答案】ACD【詳解】對于A中，因?yàn)?，由正弦定理，可得，解得，因?yàn)?，所以或，此時三角形有兩解，所以A正確；對于B中，由向量，且與的夾角為銳角，則且向量與方向不相同，由，解得，設(shè)，即，可得，解得，所以向量與的夾角為銳角時，實(shí)數(shù)的取值范圍是，所以B錯誤；對于C中，由，有，則，則且，設(shè)與的夾角為，可得，因?yàn)?，所以，即與的夾角為，所以C正確；對于D中，由，可得，由正弦定理得，所以D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，那么.【答案】【詳解】設(shè)，則是實(shí)數(shù)，所以，則.故答案為：13．某公司利用隨機(jī)數(shù)表對生產(chǎn)的900支新冠疫苗進(jìn)行抽樣測試，先將疫苗按000，001，…，899進(jìn)行編號，從中抽取90個樣本，若選定從第4行第4列的數(shù)開始向右讀數(shù)，（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表中的第3行至第5行），根據(jù)下圖，讀出的第5個數(shù)的編號是．1676622766

5650267107

3290797853

1355385859

88975414101256859926

9682731099

1696729315

5712101421

88264981765559563564

3854824622

3162430990

0618443253

2383013030【答案】729【詳解】從685開始向右數(shù)，即685，992，696，827，310，991，696，729，跳過992，991，第二個696與第一個重復(fù)，所以也跳過，所以第5個數(shù)字為729.故答案為：729.14．如圖，在中，點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交射線于不同的兩點(diǎn)．設(shè)，則．【答案】3【詳解】如圖，連接AO，因三點(diǎn)共線，且點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，則.又注意到三點(diǎn)共線，則，又，則，則，由平面向量基本定理，可得.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）隨著時代不斷地進(jìn)步，人們的生活條件也越來越好，越來越多的人注重自己的身材，其中體脂率是一個很重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)一般的成人體準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍是至，男性的正常范圍是至.這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個體是否存在肥胖的風(fēng)險.某市有關(guān)部門對全市100萬名成年女性的體脂率進(jìn)行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計，抽取了1000名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖.

(1)求a；(2)如果女性的體脂率超過屬“偏胖”，那么全市“偏胖”女性約有多少萬人？(3)小王說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”小張說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù).”那么誰的體脂率更低？【詳解】（1）因?yàn)轭l率和為1，所以由頻率直方圖可得，，所以.（2）樣本中女性“偏胖”的頻率為，全市“偏胖”女性的人數(shù)約為人，即10萬人.（3）調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，設(shè)調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，因?yàn)轶w脂率在的頻率為；體脂率在的頻率為；體脂率在的頻率為；又因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為，所以小王的體脂率約為，小張的體脂率為，所以小張的體脂率更低.16．（15分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，(1)求角；(2)若為的中點(diǎn)，的面積，且，求的長度．【詳解】（1）由題意得，由正弦定理得，，

．（2）∵的面積，，，，

，

為的中點(diǎn)，，在中，，．17．（15分）如圖，平面，分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）∵分別為的中點(diǎn)，∴．又∵，∴．又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，∴平面．（2）連接.為的中點(diǎn)，且.平面平面，∴，∵，∴，∵，平面，平面，∵平面，由（1）有，又四邊形為平行四邊形，∴，∵，平面.平面.為和平面所成的角.由得，在Rt中，，和平面所成角的正弦值為.18．（17分）已知一組樣本量為10的樣本數(shù)據(jù)如下：37

39

45

48

49

51

52

55

61

63(1)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；(2)求這組數(shù)據(jù)的20%和75%分位數(shù)；(3)已知另一組樣本數(shù)據(jù)的樣本量為5，平均數(shù)為47，方差為16，求這兩組樣本組成的總體的平均數(shù)和方差.【詳解】（1）平均