2025年數(shù)字信號(hào)處理考試試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共30分）1.已知離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為\(y[n]=x[n]+2x[n-1]-3x[n+1]\)，該系統(tǒng)屬于以下哪一類？A.線性時(shí)變系統(tǒng)B.非線性時(shí)不變系統(tǒng)C.線性時(shí)不變系統(tǒng)D.非線性時(shí)變系統(tǒng)2.序列\(zhòng)(x[n]=\delta[n]+2\delta[n-1]-3\delta[n-2]\)的Z變換\(X(z)\)為？A.\(1+2z-3z^2\)B.\(1+2z^{-1}-3z^{-2}\)C.\(z+2z^2-3z^3\)D.\(z^{-1}+2z^{-2}-3z^{-3}\)3.某因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)=\frac{z}{z^2-0.5z+0.25}\)，其單位沖激響應(yīng)\(h[n]\)的長(zhǎng)度為？A.有限長(zhǎng)（FIR）B.無(wú)限長(zhǎng)（IIR）C.長(zhǎng)度為2D.長(zhǎng)度為34.對(duì)長(zhǎng)度為8的實(shí)序列\(zhòng)(x[n]\)進(jìn)行8點(diǎn)DFT，記\(X[k]=\text{DFT}\{x[n]\}\)，則\(X[0]\)表示？A.\(x[n]\)的直流分量B.\(x[n]\)的最高頻率分量C.\(x[n]\)的能量總和D.\(x[n]\)的平均功率5.設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為\(\omega_c=0.3\pi\)的低通FIR濾波器，采用漢明窗（主瓣寬度\(8\pi/N\)），要求阻帶衰減不小于50dB，最小窗長(zhǎng)\(N\)應(yīng)??？A.32B.40C.50D.646.已知序列\(zhòng)(x[n]\)的Z變換\(X(z)\)的收斂域?yàn)閈(0.5<|z|<2\)，則\(x[n]\)是？A.因果序列B.反因果序列C.雙邊序列D.有限長(zhǎng)序列7.對(duì)模擬信號(hào)\(x_a(t)=\cos(2000\pit)+\sin(3000\pit)\)以\(f_s=5000Hz\)采樣，得到離散序列\(zhòng)(x[n]\)，其數(shù)字頻率\(\omega\)分別為？A.\(0.4\pi\)和\(0.6\pi\)B.\(0.2\pi\)和\(0.3\pi\)C.\(0.8\pi\)和\(1.2\pi\)D.\(0.6\pi\)和\(0.4\pi\)8.以下關(guān)于FFT算法的描述中，錯(cuò)誤的是？A.基2FFT利用了單位根的對(duì)稱性和周期性B.時(shí)間抽取FFT要求輸入序列長(zhǎng)度為2的整數(shù)次冪C.FFT的運(yùn)算量為\(O(N\logN)\)，顯著低于直接DFT的\(O(N^2)\)D.實(shí)序列的FFT可以通過(guò)計(jì)算兩個(gè)虛序列的FFT來(lái)優(yōu)化9.設(shè)計(jì)IIR低通濾波器時(shí)，若要求通帶最大衰減\(\alpha_p=1dB\)，阻帶最小衰減\(\alpha_s=40dB\)，通帶截止頻率\(\omega_p=0.2\pi\)，阻帶截止頻率\(\omega_s=0.4\pi\)，則巴特沃斯濾波器的最小階數(shù)\(N\)約為？（已知\(10^{0.1\alpha_p}=1.2589\)，\(10^{0.1\alpha_s}=100\)）A.3B.4C.5D.610.已知系統(tǒng)的頻率響應(yīng)\(H(e^{j\omega})=e^{-j3\omega}\cdot\frac{1-0.5e^{-j\omega}}{1-0.8e^{-j\omega}}\)，該系統(tǒng)的相位特性為？A.線性相位B.非線性相位但包含線性分量C.全通相位D.最小相位二、填空題（每空2分，共20分）1.離散時(shí)間信號(hào)\(x[n]=u[n]-u[n-5]\)（\(u[n]\)為單位階躍序列）的能量為______。2.若\(x[n]\)是長(zhǎng)度為\(N\)的有限長(zhǎng)序列，其Z變換\(X(z)\)在\(z=0\)處有______階零點(diǎn)。3.某LTI系統(tǒng)的差分方程為\(y[n]-0.5y[n-1]=x[n]+2x[n-1]\)，其系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)=\)______。4.對(duì)連續(xù)信號(hào)\(x_a(t)\)以\(T=0.1ms\)采樣，得到\(x[n]=x_a(nT)\)，則\(x[n]\)中頻率為\(\omega=0.5\pi\)對(duì)應(yīng)的模擬頻率\(f=\)______Hz。5.長(zhǎng)度為\(N\)的序列\(zhòng)(x[n]\)與長(zhǎng)度為\(M\)的序列\(zhòng)(h[n]\)線性卷積的長(zhǎng)度為______，循環(huán)卷積（長(zhǎng)度\(L\)）等于線性卷積的條件是______。6.漢寧窗的旁瓣衰減約為______dB，其主瓣寬度（以\(2\pi\)為歸一化頻率）為______。7.若\(X[k]=\text{DFT}\{x[n]\}_{N}\)，則\(\text{DFT}\{x^[n]\}_{N}=\)______（\(x^[n]\)表示\(x[n]\)的共軛）。三、簡(jiǎn)答題（每小題8分，共40分）1.簡(jiǎn)述離散時(shí)間系統(tǒng)因果性與穩(wěn)定性的定義，并說(shuō)明如何通過(guò)系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)\)的極點(diǎn)分布判斷因果穩(wěn)定系統(tǒng)。2.解釋“柵欄效應(yīng)”的含義及其在DFT中的表現(xiàn)，列舉兩種減小柵欄效應(yīng)的方法。3.比較IIR濾波器與FIR濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)，說(shuō)明在需要線性相位時(shí)應(yīng)優(yōu)先選擇哪類濾波器，并簡(jiǎn)述理由。4.已知某序列\(zhòng)(x[n]\)的Z變換\(X(z)=\frac{z}{(z-0.5)(z-2)}\)，收斂域?yàn)閈(0.5<|z|<2\)，求其對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列\(zhòng)(x[n]\)。5.設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器時(shí)，若模擬原型濾波器為巴特沃斯低通濾波器，簡(jiǎn)述頻率變換的主要步驟（從模擬低通到數(shù)字帶通）。四、綜合題（共60分）1.（20分）已知LTI系統(tǒng)的差分方程為\(y[n]+0.5y[n-1]-0.25y[n-2]=x[n]-2x[n-1]\)。（1）求系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)\)，并畫出其零極點(diǎn)圖；（2）判斷系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性（假設(shè)系統(tǒng)為因果系統(tǒng)）；（3）若輸入\(x[n]=(0.5)^nu[n]\)，求零狀態(tài)響應(yīng)\(y[n]\)。2.（20分）對(duì)長(zhǎng)度為\(N=8\)的序列\(zhòng)(x[n]=\{1,0,1,0,1,0,1,0\}\)（\(n=0\)到\(7\)）進(jìn)行8點(diǎn)DFT，記結(jié)果為\(X[k]\)。（1）直接計(jì)算\(X[0]\)、\(X[1]\)、\(X[4]\)；（2）利用DFT的對(duì)稱性，說(shuō)明\(X[k]\)的共軛對(duì)稱性（實(shí)序列DFT的性質(zhì)）；（3）若將\(x[n]\)補(bǔ)零至16點(diǎn)后計(jì)算16點(diǎn)DFT，分析頻率分辨率的變化及原因。3.（20分）設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率\(\omega_c=0.4\pi\)的線性相位低通FIR濾波器，采用矩形窗法，要求濾波器長(zhǎng)度\(N=9\)（奇數(shù)）。（1）寫出理想低通濾波器的頻率響應(yīng)\(H_d(e^{j\omega})\)；（2）計(jì)算理想單位沖激響應(yīng)\(h_d[n]\)；（3）確定實(shí)際濾波器的單位沖激響應(yīng)\(h[n]\)，并說(shuō)明其線性相位類型（I型或II型）；（4）畫出\(h[n]\)的幅度響應(yīng)示意圖（標(biāo)注主瓣寬度與第一旁瓣衰減）。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A（系統(tǒng)含\(x[n+1]\)，時(shí)變；輸入輸出滿足齊次性和疊加性，線性）2.B（Z變換定義\(X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\)，代入得\(1+2z^{-1}-3z^{-2}\)）3.B（系統(tǒng)函數(shù)分母為二次多項(xiàng)式，極點(diǎn)不在原點(diǎn)，沖激響應(yīng)無(wú)限長(zhǎng)）4.A（\(X[0]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\)，即直流分量總和）5.B（漢明窗阻帶衰減約53dB，滿足50dB要求；主瓣寬度\(8\pi/N\leq2(\omega_s-\omega_p)\)，但此處直接根據(jù)阻帶衰減選N≥40）6.C（收斂域?yàn)榄h(huán)形，對(duì)應(yīng)雙邊序列）7.A（數(shù)字頻率\(\omega=2\pif/f_s\)，代入\(f_1=1000Hz\)，\(f_2=1500Hz\)，得\(\omega_1=0.4\pi\)，\(\omega_2=0.6\pi\)）8.D（實(shí)序列FFT可通過(guò)計(jì)算一個(gè)復(fù)數(shù)序列的FFT，利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化，而非兩個(gè)虛序列）9.B（巴特沃斯階數(shù)公式\(N\geq\frac{\lg[(10^{0.1\alpha_s}-1)/(10^{0.1\alpha_p}-1)]}{2\lg(\omega_s/\omega_p)}\)，代入得\(N\geq3.8\)，取4）10.B（分子為一階零點(diǎn)，分母為一階極點(diǎn)，相位包含線性分量\(-3\omega\)和非線性分量）二、填空題1.5（能量\(\sum_{n=0}^{4}1^2=5\)）2.\(N-1\)（有限長(zhǎng)序列Z變換為\(z^{-(N-1)}\)乘以多項(xiàng)式，故\(z=0\)處有\(zhòng)(N-1\)階零點(diǎn)）3.\(\frac{1+2z^{-1}}{1-0.5z^{-1}}\)（對(duì)差分方程取Z變換，整理得\(H(z)=Y(z)/X(z)=(1+2z^{-1})/(1-0.5z^{-1})\)）4.2500（\(\omega=2\pifT\)，解得\(f=\omega/(2\piT)=0.5\pi/(2\pi\times0.1e-3)=2500Hz\)）5.\(N+M-1\)；\(L\geqN+M-1\)6.-31；\(4\pi/N\)（漢寧窗主瓣寬度為\(4\pi/N\)，旁瓣衰減約-31dB）7.\(X^[(-k)_N]\)（DFT共軛性質(zhì)：\(\text{DFT}\{x^[n]\}=X^[(-k)_N]\)）三、簡(jiǎn)答題1.因果性：系統(tǒng)在\(n\)時(shí)刻的輸出僅取決于\(n\)時(shí)刻及之前的輸入，即\(h[n]=0\)（\(n<0\)）。穩(wěn)定性：有界輸入產(chǎn)生有界輸出，即\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty\)。因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)\)的所有極點(diǎn)必須位于單位圓內(nèi)（\(|z_i|<1\)），且收斂域包含單位圓（\(|z|>R\)，\(R<1\)）。2.柵欄效應(yīng)：DFT僅在離散頻率點(diǎn)\(\omega_k=2\pik/N\)（\(k=0,1,\dots,N-1\)）處計(jì)算頻譜，相當(dāng)于通過(guò)“柵欄”觀察連續(xù)頻譜，可能漏掉譜峰。表現(xiàn)為實(shí)際頻譜的峰值可能位于兩個(gè)DFT頻率點(diǎn)之間，導(dǎo)致測(cè)量誤差。減小方法：（1）增加信號(hào)長(zhǎng)度\(N\)（補(bǔ)零不改變分辨率，但可更密集采樣）；（2）采用非矩形窗（如漢明窗）平滑頻譜。3.IIR優(yōu)點(diǎn)：階數(shù)低，計(jì)算量??；缺點(diǎn)：相位非線性，設(shè)計(jì)依賴模擬濾波器。FIR優(yōu)點(diǎn)：嚴(yán)格線性相位，穩(wěn)定性好（無(wú)反饋）；缺點(diǎn)：階數(shù)高，計(jì)算量大。需要線性相位時(shí)優(yōu)先選FIR，因其可通過(guò)對(duì)稱沖激響應(yīng)（\(h[n]=h[N-1-n]\)）實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格線性相位，而IIR難以同時(shí)滿足線性相位和低階數(shù)。4.對(duì)\(X(z)=\frac{z}{(z-0.5)(z-2)}=\frac{A}{z-0.5}+\frac{B}{z-2}\)部分分式展開，得\(A=\frac{z}{z-2}\bigg|_{z=0.5}=-1/3\)，\(B=\frac{z}{z-0.5}\bigg|_{z=2}=4/3\)。收斂域\(0.5<|z|<2\)對(duì)應(yīng)左邊序列（極點(diǎn)\(z=2\)在內(nèi)，右邊序列；極點(diǎn)\(z=0.5\)在外，左邊序列），故\(x[n]=-(-1/3)(0.5)^nu[n]+(4/3)(2)^nu[-n-1]=\frac{1}{3}(0.5)^nu[n]-\frac{4}{3}(2)^nu[-n-1]\)。5.步驟：（1）確定數(shù)字帶通指標(biāo)（中心頻率\(\omega_0\)，帶寬\(B\)）；（2）將數(shù)字帶通指標(biāo)預(yù)畸變到模擬頻率（雙線性變換需預(yù)畸變）；（3）設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器（巴特沃斯），確定階數(shù)\(N\)和截止頻率\(\Omega_c\)；（4）通過(guò)頻率變換將模擬低通轉(zhuǎn)換為模擬帶通（用\(s\rightarrow(s^2+\Omega_0^2)/(Bs)\)）；（5）將模擬帶通濾波器通過(guò)雙線性變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶通濾波器（\(s=(2/T)(1-z^{-1})/(1+z^{-1})\)）。四、綜合題1.（1）對(duì)差分方程取Z變換：\(Y(z)(1+0.5z^{-1}-0.25z^{-2})=X(z)(1-2z^{-1})\)，故\(H(z)=\frac{1-2z^{-1}}{1+0.5z^{-1}-0.25z^{-2}}=\frac{z(z-2)}{z^2+0.5z-0.25}\)。零點(diǎn)\(z=0\)（一階）、\(z=2\)（一階）；極點(diǎn)由\(z^2+0.5z-0.25=0\)解得\(z=[-0.5\pm\sqrt{0.25+1}]/2=[-0.5\pm\sqrt{1.25}]/2\approx0.309\)和\(-0.809\)。零極點(diǎn)圖：零點(diǎn)在\(z=0\)和\(z=2\)，極點(diǎn)在\(z\approx0.309\)（單位圓內(nèi)）和\(z\approx-0.809\)（單位圓內(nèi)）。（2）因果系統(tǒng)要求收斂域?yàn)閈(|z|>\max(|p_i|)\approx0.809\)，包含單位圓（\(|z|=1>0.809\)），故系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）輸入\(X(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}=\frac{z}{z-0.5}\)，則\(Y(z)=H(z)X(z)=\frac{z(z-2)}{(z^2+0.5z-0.25)(z-0.5)}\)。部分分式展開后求逆Z變換，得\(y[n]=A(0.309)^nu[n]+B(-0.809)^nu[n]+C(0.5)^nu[n]\)，代入系數(shù)計(jì)算得具體表達(dá)式（過(guò)程略）。2.（1）\(X[0]=\sum_{n=0}^7x[n]=1+0+1+0+1+0+1+0=4\)；\(X[1]=\sum_{n=0}^7x[n]W_8^n=1+0\cdotW_8+1\cdotW_8^2+0\cdotW_8^3+1\cdotW_8^4+0\cdotW_8^5+1\cdotW_8^6+0\cdotW_8^7=1+W_8^2+W_8^4+W_8^6\)。因\(W_8^2=e^{-j\pi/2}=-j\)，\(W_8^4=e^{-j\pi}=-1\)，\(W_8^6=e^{-j3\pi/2}=j\)，故\(X[1]=1-j-1+j=0\)；\(X[4]=\sum_{n=0}^7x[n]W_8^{4n}=1+0\cdot(-1)+1\cdot1+0\cdot(-1)+1\cdot1+0\cdot(-1)+1\cdot1+0\cdot(-1)=1+1+1+1=4\)。（2）實(shí)序列DFT滿足共軛對(duì)稱性：\(X[k]=X^[N-k]\)（\(k=0,1,\dots,N-1\)）。本題中\(zhòng)(N=8\)，故\(X[1]=X^[7]\)，\(X[2]=X^[6]\)，\(X[3]=X^[5]\)，\(X[4]\)為實(shí)數(shù)。（3）補(bǔ)零至16點(diǎn)后，DFT的頻率分辨率為\(2\pi/16=\pi/8\)，原8點(diǎn)分辨率為\(2\pi/8=\pi/4\)，分辨率提高一倍（因分辨率由信號(hào)長(zhǎng)度決定，補(bǔ)零不增加有效數(shù)據(jù)，但增加了頻率采