第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯二中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知i為虛數(shù)單位，則(2+3i)(4?i)=(

)A.10i B.11+10i C.11i D.10+11i2.已知向量a=(?1,12)，b=(1,m)，若aA.3 B.2 C.5 3.如圖，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)OA=a，OB=b，OC=cA.a?b+c

B.a+b+4.如圖，已知等腰三角形O′A′B′是一個(gè)平面圖形的直觀圖，O′A′=A′B′，斜邊O′B′=2，則這個(gè)平面圖形的面積是(

)A.22

B.1

C.25.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，則△ABC的形狀是(

)A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定的6.設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若m//n，n?α，則m//αB.若m//α，n//m，則n//α

C.若m//α，n//α，則m//nD.若m//α，m?β，α∩β=n，則m//n7.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組的成員為了測(cè)量某直線型河流的寬度，在該河流的一側(cè)岸邊選定A，B兩處，在該河流的另一側(cè)岸邊選定C處，測(cè)得AB=30米，∠ABC=75°，∠BAC=45°，則該河流的寬度是(

)A.15+53米

B.103+10米

C.158.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P滿足AP=λAB(λ>0)，則PC?A.?16 B.0 C.12 D.?12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1，z2，z1?為zA.z1+z1?為實(shí)數(shù) B.|z1?|=|10.已知向量a=(2,1),b=(?3,1)，則以下說(shuō)法正確的是A.(a+b)//a

B.a與a?b的夾角余弦值為255

C.a與11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱BBA.FG//平面AED1

B.BC1//平面AED1

C.點(diǎn)C1在平面AE三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.一個(gè)棱錐至少有______個(gè)面．13.某款廚房用具中的香料收納罐的實(shí)物圖如圖所示，該幾何體為上、下底面周長(zhǎng)分別為36cm，28cm的正四棱臺(tái)，若棱臺(tái)的高為3cm，忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為_(kāi)_____cm3．14.已知a，b，c分別為銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，△ABC的面積S=a2?(b?c)2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=(m2+5m?6)+(m?1)i，m∈R．

(Ⅰ)若z是純虛數(shù)，求m的值；

(Ⅱ)若z16.(本小題15分)

已知|a|=2，|b|=3，向量a與b的夾角為150°．

(1)計(jì)算|a+2b17.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且ccosB+bcosC=a2cosA．

(1)求角A的大??；

(2)若△ABC的面積為418.(本小題17分)

如圖所示，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N，K分別為AB，PC，PA的中點(diǎn)，平面PBC∩平面APD=l．

(1)判斷直線l與BC的位置關(guān)系并證明；

(2)求證：MN//平面PAD；

(3)直線PB上是否存在點(diǎn)H，使得平面NKH//平面ABCD？若存在，求出點(diǎn)H的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ACB=π2，若E是AB上一點(diǎn)，BC=CE，記∠ABC=α，∠ACE=β．

(1)證明：cos2α+sinβ=0；

(2)若AC=3AE，CD=3，AD=1．

(i)求β的值；

答案解析1.【答案】B

【解析】解：(2+3i)(4?i)=8?2i+12i+3=11+10i．

故選：B．

利用代數(shù)形式的復(fù)數(shù)乘法計(jì)算得解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閍⊥b，所以a?b=?1+12m=0，解得m=2，所以|b3.【答案】A

【解析】解：∵CD=BA=a?b，

∴OD=4.【答案】A

【解析】解：∵Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′=2，

∴直角三角形的直角邊長(zhǎng)是2，

∴直角三角形的面積是12×2×2=1，

∴原平面圖形的面積是1×22=25.【答案】C

【解析】解：∵sinA：sinB：sinC=3：4：6，

由正弦定理得a：b：c=3：4：6，

令a=3t，b=4t，c=6t，t>0，

則cosC=a2+b2?c22ab=9t2+16t2?36t22×3t×4t=?1124<0，

則∠C為鈍角，

則△ABC為鈍角三角形．

故選：6.【答案】D

【解析】解：m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，

對(duì)于A，若m/?/n，n?α，則m/?/α或m?α，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若m/?/α，n/?/m，則n/?/α或n?α，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若m/?/α，n/?/α，則m與n相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若m/?/α，m?β，α∩β=n，則由線面平行的性質(zhì)得m/?/n，故D正確．

故選：D．

對(duì)于A，m/?/α或m?α；對(duì)于B，n/?/α或n?α；對(duì)于C，m與n相交、平行或異面；對(duì)于D，由線面平行的性質(zhì)得m/?/n．

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間思維能力，是中檔題．7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)锳B=30米，∠ABC=75°，∠BAC=45°，所以∠ACB=60°，

在△ABC中，由正弦定理可得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC，

則BC=ABsin∠BACsin∠ACB=30×2232=106米，

如圖，作CD⊥AB，垂足為D，

因?yàn)閟in75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=6+248.【答案】D

【解析】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

由正方形邊長(zhǎng)為4，AP=λAB(λ>0)，

可得AP=λ(4,0)，故P(4λ,0)，

又C(4,4)，D(0,4)，

則PC?DP=(4?4λ,4)?(4λ,?4)=?16λ2+16λ?16=?16(λ?12)2?12，

故當(dāng)9.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于AB，設(shè)z1=a+bi(a,b∈R)，

則z1?=a?bi，

z1+z1?=a+bi+a?bi=2a∈R，故A正確；

|z1?|=|z1|=a2+b2，故B正確；

對(duì)于C，令z110.【答案】BD

【解析】解：a=(2,1),b=(?3,1)，

則a+b=(?1,2)，

不存在實(shí)數(shù)λ，使得a+b=λa，故A錯(cuò)誤；

a?b=(5,0)，a=(2,0)，

故cos<a,a?b>=(a?b)?a|a?b|?|a|=105×5=255，故11.【答案】BD

【解析】解：如圖，

連接B1D1，∵F，G分別是棱B1C1，C1D1的中點(diǎn)，∴GF//B1D1，

若FG//平面AED1，則B1D1?平面AED1或B1D1/?/平面AED1，這與B1D1∩平面AED1=D1矛盾，故A錯(cuò)誤；

連接EF，由題意可知EF/?/BC1，而EF?平面AED1，BC1?平面AED1，∴BC1/?/平面AED112.【答案】4

【解析】解：棱錐的面數(shù)是由側(cè)面的面數(shù)加1個(gè)底面得到的，

面數(shù)最少的棱錐有四個(gè)面，它是三棱錐，

綜上，一個(gè)棱錐至少有4個(gè)面．

故答案為：4．

根據(jù)棱錐的定義推斷即可．

本題考查棱錐的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．13.【答案】193

【解析】解：由題意，該正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為28÷4=7(cm)，

下底面邊長(zhǎng)為36÷4=9(cm)，高為3cm，

所以體積為V=13×3×(92+72+92×14.【答案】(11【解析】解：已知a，b，c分別為銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，△ABC的面積S=a2?(b?c)22，

在△ABC中，由S=a2?(b?c)22及三角形面積公式S=12bcsinA，得a2?b2?c2+2bc=2S=bcsinA，

由余弦定理得2bc(1?cosA)=bcsinA，則4(1?cosA)2=sin2A=1?cos2A，

而?1<cosA<1，解得cosA=35，sinA=45，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得b+2ca=sinB+2sinCsinA=15.【答案】解：(Ⅰ)∵z=(m2+5m?6)+(m?1)i是純虛數(shù)，

∴m2+5m?6=0m?1≠0，解得m=?6；

(Ⅱ)∵z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，

∴m?1<0m2【解析】(Ⅰ)由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解；

(Ⅱ)由實(shí)部與虛部均小于0聯(lián)立不等式組求解．

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．16.【答案】解：(1)|a|=2，|b|=3，向量a與b的夾角為150°，

∴a?b=|a|×|b|×cos150°=2×3×(?32)=?3，【解析】(1)結(jié)合向量的數(shù)量積公式，以及向量模公式，即可求解．

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．17.【答案】A=π3；

△ABC的周長(zhǎng)、外接圓面積分別為83【解析】解：(1)因?yàn)閏cosB+bcosC=a2cosA，

由正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=sinA2cosA，

即sin(B+C)=sinA2cosA，

在△ABC中，sin(B+C)=sinA，且sinA>0，

則cosA=12，而A∈(0,π)，

可得A=π3；

(2)△ABC的面積為43,a=33，

而S=12bcsinA=12bc?32=43，所以bc=16，

由余弦定理得：a2=b2+c2?2bccosA=(b+c)2?2bc?2bccosA，18.【答案】解：(1)l/?/BC，證明如下：

依題意，BC/?/AD，AD?平面PAD，BC?平面PAD，

則BC/?/平面PAD，

又平面PAD∩平面PBC=l，BC?平面PBC，

所以l/?/BC；

(2)證明：取PD中點(diǎn)F，連接AF，F(xiàn)N，

在△PCD中，F(xiàn)N//DC,FN=12DC，

在?ABCD中，AM//CD,AM=12CD，

則AM/?/FN，AM=FN，

即四邊形AFNM為平行四邊形，

因此AF//NM，

又AF?平面PAD，MN?平面PAD，

所以MN/?/平面PAD；

(3)當(dāng)H為PB中點(diǎn)時(shí)，平面KNH//平面ABCD，證明如下：

取PB的中點(diǎn)為H，連接KH，NH，

在△PBC中，HN//BC，HN?平面ABCD，BC?平面ABCD，

則HN//平面ABCD，同理可證，KH//平面ABCD，

又KH，HN?平面KNH，KH∩HN=H，

所以平面KNH//平面【解析】(1)利用線面平行的判定定理證明BC/?/平面PAD，再由線面平行的性質(zhì)定理證明即可．

(2)利用線面平行的判定定理證明即可．

(3)利用面面平行的判定定理證明即可．

本題考查線線平行，線面平行，面面平行的判斷與應(yīng)用，屬中檔題．19.【答案】因?yàn)锽C=CE，所以∠BEC=∠ABC=α，

在△BEC中，α+α+π2?β=π，可得2α=π2+β，

所以cos2α=cos(π2+β)=?sinβ【解析】(1)證明：因?yàn)锽C=CE，所以∠BEC=∠ABC=α，

在△BEC中，α+α+π2?β=π，可得2α=π2+β，

所以cos2α=cos(π2+β)=?sinβ，即cos2α+sinβ=0．

(2)(i)在△ACE中，由正弦定理得ACsin∠AEC=AEsin∠ACE，

可得3AEsin(π?α)=AEsinβ，即sinα=3sinβ(?