第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市景泰高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若(a+x)4的展開式中x的系數(shù)是?12，則A.1 B.12 C.?122.若D(X)=9，則D(3X?2)=(

)A.3 B.27 C.81 D.183.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，則P(0<ξ<2)等于A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.24.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，丙不在排頭，且甲和乙相鄰的排列情況有(????)種．A.18 B.36 C.48 D.605.設(shè)函數(shù)f(x)=ex+2sinx1+x2+3，則曲線A.83 B.53 C.236.設(shè)0<a<1X0a1P111則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時，A.D(X)增大 B.D(X)減小

C.D(X)先增大后減小 D.D(X)先減小后增大7.若x=?2是函數(shù)f(x)=(x2+ax?1)ex?1的極值點，則A.?1 B.?2e?3 C.5e8.某同學(xué)進(jìn)行一項投籃測試，若該同學(xué)連續(xù)三次投籃成功，則通過測試；若出現(xiàn)連續(xù)兩次失敗，則不通過測試.已知該同學(xué)每次投籃的成功率為23，則該同學(xué)通過測試的概率為(

)A.23 B.1627 C.2542二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知(1+x)n的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則(

)A.n=9

B.(1+x)n的展開式中x2項的系數(shù)為28

C.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256

D.10.口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地均相同，顏色分別為紅、黃、藍(lán)的3個球.從口袋內(nèi)無放回地依次抽取2個球，記“第一次抽到紅球”為事件A，“第二次抽到黃球”為事件B，則(

)A.P(A)=13 B.P(B|A)=12 C.A與B為互斥事件 D.11.設(shè)函數(shù)f(x)=(x?1)2(x?4)，則A.x=3是f(x)的極小值點

B.當(dāng)0<x<1時，f(x)<f(x2)

C.當(dāng)1<x<2時，?4<f(2x?1)<0

D.當(dāng)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)=

13.在暑假甲、乙、丙三位同學(xué)打算去上海、北京、成都、西安四個城市旅游，每一個同學(xué)只能去一個地方，則上海有人去的情況有______種(填數(shù)字)．14.設(shè)m為正整數(shù)，(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x+y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?ax．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若a=2，求函數(shù)g(x)=f(x)+3x?4lnx?2x16.(本小題15分)

某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行，比賽采用五局三勝制，按以往比賽經(jīng)驗，甲勝乙的概率為23．

(1)求比賽三局甲獲勝的概率；

(2)求甲獲勝的概率；

(3)設(shè)甲比賽的次數(shù)為X，求X17.(本小題15分)

某地區(qū)2019年至2025年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)年份2019202020212022202320242025年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與t的相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)，并說明y與t的線性相關(guān)性的強弱；(若0.75<|r|<1，則認(rèn)為y與t線性相關(guān)性很強；若0.3<|r|≤0.75，則認(rèn)為y與t線性相關(guān)性一般；若|r|≤0.3，則認(rèn)為y與t線性相關(guān)性較弱.)

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，求y關(guān)于t的線性回歸方程；

(3)利用(2)中的回歸方程，分析2019年至2025年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2027年農(nóng)村居民家庭人均純收入．

參考數(shù)據(jù)：i=17tiyi=134.4，i=17yi2=136.51，18.(本小題17分)

截至2024年底，我國新能源汽車保有量達(dá)到3140萬輛，占汽車總量的8.9%.某市調(diào)查了1000名汽車駕駛員對新能源汽車的偏好程度，調(diào)查結(jié)果如下：偏好燃油汽車偏好新能源汽車合計男性駕駛員女性駕駛員100400合計4001000(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成上面的2×2列聯(lián)表；

(2)判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為偏好燃油汽車或新能源汽車與駕駛員的性別有關(guān)；

(3)用頻率估計概率，在所有參加調(diào)查的駕駛員按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機抽取10名駕駛員，再從這10名駕駛員中隨機抽取2人進(jìn)行問卷調(diào)查.抽取的2人中，求在有女性駕駛員參加問卷調(diào)查的條件下，恰有1名男性駕駛員也參加問卷調(diào)查的概率．

附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點是f(x)的零點.(注：立方和公式：(x3+y3)=(x+y)(x2?xy+y2))

(1)證明：a2>3b；答案解析1.【答案】C

【解析】解：∵(a+x)4的展開式中x的系數(shù)是C41?a3=?12，

2.【答案】C

【解析】解：若D(X)=9，則D(3X?2)=9D(X)=81．

故選：C．

根據(jù)方差的性質(zhì)直接求解．

本題考查方差的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查正態(tài)分布的概率，屬于基礎(chǔ)題．

看出這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸x=2，根據(jù)正態(tài)曲線的特點，得到P(0<ξ<2)=1【解答】

解：∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)，

μ=2，得對稱軸是x=2，

P(ξ<4)=0.8，

∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2，

∴P(0<ξ<4)=0.6，

∴P(0<ξ<2)=0.3，

故選：4.【答案】B

【解析】解：已知甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，丙不在排頭，且甲和乙相鄰，

甲和乙相鄰可將甲和乙看作一個整體，有A22=2種排列方法，

丙不在排頭，可在剩下3個位置選一個，有C31=3種方法，

丙站好后，其余3個元素有A33=6種排列方法，所以總共有2×3×6=365.【答案】A

【解析】解：因為f′(x)=(ex+2cosx)(1+x2)?(ex+2sinx)2x(1+x2)2，

所以f′(0)=3，

所以曲線y=f(x)在點(0,4)處的切線為y=3x+4，

令x=0，解得y=4，令y=06.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查方差的求法，考查離散型隨機變量的分布列，利用二次函數(shù)是關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，是中檔題．

方差公式結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果．

【解答】

解：E(X)=0×13+a×13+1×13=a+13，

D(X)=(a+13)2×7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬中檔題．

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點，求出a，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極小值即可．【解答】

解：

函數(shù)f(x)=(x2+ax?1)ex?1，

可得f′x=(2x+a)ex?1+(x2+ax?1)ex?1，

又x=?2是函數(shù)f(x)=(x2+ax?1)ex?1的極值點，

可得f′?2=(?4+a)e?3+(4?2a?1)e?3=0，

即?4+a+(3?2a)=0，解得a=?1．

可得f′x=(x2+x?2)ex?1，

令f′x=08.【答案】D

【解析】解：用P?1表示投籃失敗1次的情況下最終通過的概率，用P?2表示連續(xù)失敗2次的情況下最終通過的概率，

用P1表示投籃成功1次的情況下最終通過的概率，用P2表示連續(xù)成功2次的情況下最終通過的概率，用P3表示連續(xù)成功3次的情況下最終通過的概率，

該同學(xué)每次成功的概率為p=23，

依題意有P?2=0，P3=1，以及P?1=pP1+(1?p)P?2，P1=pP2+(1?p)P?1，P2=pP3+(1?p)P?1，

所以方程組P?1=pP1P9.【答案】BD

【解析】解：已知(1+x)n的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，

則Cn2=Cn6?n=8，故A不正確；

(1+x)n的展開式中x2項的系數(shù)為C82=28，故B正確；

奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為282=27=128，故C不正確；

(1+x?y2)8的展開式中常數(shù)項的系數(shù)為C10.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)紅球為a，黃球為b，藍(lán)球為c，

從口袋內(nèi)無放回地依次抽取2個球，

若兩次取球顏色依次為x，y，記為事件xy，

則樣本空間為Ω={ab,ac,ba,bc,ca,cb}，有6個基本事件，

事件A={ab,ac}，事件B={ab,cb}，

對于A，P(A)=26=13，故A正確；

對于B，AB={ab}，所以P(AB)=16，

則P(B|A)=P(AB)P(A)=1613=12，故B正確；

對于C，AB={ab}，事件A、B可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；

對于D，P(A)=26=13，P(B)=26=13，

P(AB)=16，P(AB)≠P(A)P(B)，

所以A、B不相互獨立，故D11.【答案】ACD

【解析】解：對于A，f′(x)=2(x?1)(x?4)+(x?1)2=3(x?1)(x?3)，

易知當(dāng)x∈(1,3)時，f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(?∞,1)∪(3,+∞)時，f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在(?∞,1)，(3,+∞)上單調(diào)遞增，

故x=3是函數(shù)f(x)的極小值點，選項A正確；

對于B，當(dāng)0<x<1時，0<x2<1，且x2<x，

又f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

則f(x2)<f(x)，選項B錯誤；

對于C，由于1<x<2，

一方面，f(2x?1)=(2x?2)2(2x?5)=4(x?1)2(2x?5)<0，

另一方面，f(2x?1)+4=4(x?1)2(2x?5)+4=4[(x?1)2(2x?5)+1]=4(x?2)2(2x?1)>0，

則?4<f(2x?1)<0，選項C正確；

對于D，由于?1<x<1，

則f(2?x)?f(x)=(x?1)2(?2?x)?(x?1)2(x?4)=(x?1)12.【答案】1.96

【解析】【分析】本題考查離散性隨機變量的期望與方差的求法，屬于基礎(chǔ)題．

判斷概率類型滿足二項分布是解題的關(guān)鍵．判斷概率滿足的類型，然后利用公式求方差即可．【解答】

解：由題意可知，該事件滿足獨立重復(fù)試驗，是二項分布模型，

其中，p=0.02，n=100，

則D(X)=np(1?p)=100×0.02×0.98=1.96．

故答案為：1.9613.【答案】37

【解析】解：已知甲、乙、丙三位同學(xué)打算去上海、北京、成都、西安四個城市旅游，每一個同學(xué)只能去一個地方，且上海有人去，

則上海有人去可以分為1個人去，2個人去，3個人去三類情況，

當(dāng)只有1個人去上海時，有C31?32=27種不同的情況；

當(dāng)有2個人去上海時，有C32?3=9種不同的情況；

當(dāng)有3個人去上海時，有1種情況，

故有人去上海共有27+9+1=37種不同的情況．

故答案為：37．

14.【答案】6

【解析】解：∵m為正整數(shù)，(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，

∴a=C2mm，

同理，(x+y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，

∴b=C2m+1m．

∵13a=7b，

∴13C2mm=7C2m+1m，

即13×(2m)!m!?m!=7×(2m+1)!m!?(m+1)!，

∴13=7×2m+1m+115.【答案】①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，原函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>0時，f′(x)=0，解得x=1a，

當(dāng)x∈(0,1a)，f′(x)>0，f(x)在(0,1a)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1a,+∞)，f′(x)<0，f(x)【解析】(1)f(x)=lnx?ax，所以函數(shù)的定義域為(0,+∞)，

所以f′(x)=1x?a，

①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，原函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>0時，f′(x)=0，解得x=1a，

當(dāng)x∈(0,1a)，f′(x)>0，f(x)在(0,1a)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1a,+∞)，f′(x)<0，f(x)在(1a,+∞)x(0,1)1(1,2)2(2,+∞)g′(x)+0?0+g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)g(x)的極大值為g(1)=1?3ln1?2=?1，

極小值為g(2)=2?3ln2?1=1?3ln2．

(1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后對a分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，列表可得函數(shù)的極值．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．16.【答案】解：記甲n局獲勝的概率為Pn，n=3，4，5，

(1)比賽三局甲獲勝的概率是：P3=C33(23)3=827；

(2)比賽四局甲獲勝的概率是：P4=C32(23)3?(13)=827；

X345P(X)PPP所以甲比賽次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是：EX=3(127+8【解析】(1)比賽三局甲獲勝的概率是：P3=C33(23)3=827．

(2)再求出P4和P17.【答案】0.99，y與t的線性相關(guān)性的非常強；

y=0.5t+2.3；

6.8千元．

【解析】(1)根據(jù)題意可知，t?=4,y?=4.3，

r=i=1n(ti?t?)(yi?y?)i=1n(ti?t?)2i=1n(yi?y?)2=i=17tiyi?7t?y?i=17ti2?7t?2i=1718.【答案】有99.9%的把握認(rèn)為偏好燃油汽車或新能源汽車與駕駛員的性別有關(guān)；

45．【解析】解：(1)依題意可得2×2列聯(lián)表如下：偏好燃油汽車偏好新能源汽車合計男性駕駛員300300600女性駕駛員100300400合計4006001000(2)零假設(shè)H0：偏好燃油汽車或新能源汽車與駕駛員的性別無關(guān)，

由(1)可得χ2=1000(300×300?100×300)2400×600×600×400=62.5>10.828，

依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，

所以有99.9%的把握認(rèn)為偏好燃油汽車或新能源汽車與駕駛員的性別有關(guān)；

(3)抽取的10名駕駛員中，女性駕駛員有40010