【備考期末】?jī)?nèi)江市中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線，其中旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為．（1）若，求原拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）條件下，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求的值；（3）探究滿(mǎn)足什么條件時(shí)，存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形?請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求直線AC及拋物線的解析式，并求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線1∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．若一個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)表達(dá)式不同，我們稱(chēng)這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．下面我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程與方法，探究分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)．列表：描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，觀察描出的這些點(diǎn)的分布，作出函數(shù)圖象；研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格，回答下列問(wèn)題：點(diǎn)，，，在函數(shù)圖象上，則______，______；填“”，“”或“”當(dāng)函數(shù)值時(shí)，求自變量x的值；在直線的右側(cè)的函數(shù)圖象上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，，且，求的值；若直線與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．4．小明對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究.已知當(dāng)自變量的值為或時(shí)，函數(shù)值都為；當(dāng)自變量的值為或時(shí)，函數(shù)值都為．探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的--條性質(zhì)：；（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象并解決問(wèn)題：①直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則；②已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖象，寫(xiě)出不等式的解集：．5．如圖1，點(diǎn)EF在直線l的同一側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)K，使KE與KF的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)E關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接FE′交直線L于點(diǎn)K，則點(diǎn)K即為所求．（1）（實(shí)踐運(yùn)用）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如圖2．①求該拋物線的解析式；②在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA+PC的最小值．（2）（知識(shí)拓展）在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．6．綜合與探究如圖1，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線BC的表達(dá)式；（2）如圖2，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，依次連接BM，，，NB，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）如圖3，點(diǎn)P是拋物線第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的平行線分別交直線BC和y軸于點(diǎn)Q和點(diǎn)E，連接交直線BC于點(diǎn)D，連接，PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△的面積為，△PBD的面積為，求的最大值．7．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣8與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖）．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．如果拋物線恰好經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)之中的兩個(gè)點(diǎn)．（1）試推斷拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C之中的哪兩個(gè)點(diǎn)？簡(jiǎn)述理由；（2）求常數(shù)a與b的值：（3）將拋物線先沿與y軸平行的方向向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再與沿x軸平行的方向向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，如果所得到的新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．設(shè)這個(gè)新拋物線的頂點(diǎn)是D．試探究的形狀．9．綜合與探究如圖，已知直線與拋物線分別相交于、兩點(diǎn)，，，點(diǎn)是拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．（1）求拋物線的解析式及直線的解析式；（2）求的面積；（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)，使周長(zhǎng)最短？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）如果對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)構(gòu)成矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由10．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)N，過(guò)A點(diǎn)的直線l：y=kx+n與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線y=﹣x2+bx+c的另一個(gè)交點(diǎn)為D，已知A(﹣1，0)，D(5，﹣6)，P點(diǎn)為拋物線y=﹣x2+bx+c上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)．（1）直接寫(xiě)出拋物線和直線l的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方的拋物線上時(shí)，連接PA、PD，①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是；②當(dāng)AB平分∠DAP時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)．（3）設(shè)M為直線l上的點(diǎn)，探究是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)N、C，M、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．二、中考幾何壓軸題11．探究：如圖①和②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）如圖①，若∠B、∠ADC都是直角，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，則能得EF=BE+DF，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程；（2）如圖②，若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿(mǎn)足數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如圖③，在中，∠BAC=90°，AB=AC=，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的長(zhǎng)．12．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大值．13．如圖（1），在矩形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，四邊形為矩形，連接．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)在圖（1）中，_________；（2）拓展探究將圖（1）中的矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖（2）的情形給出證明；（3）問(wèn)題解決當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．14．愛(ài)好思考的小明在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．（特例研究）（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4時(shí)，a=b=；（歸納證明）（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖2證明你的結(jié)論；（拓展證明）（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相較于點(diǎn)G，AD=3，AB=3，求AF的長(zhǎng)．15．定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．（問(wèn)題理解）(1)如圖1，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、CD．求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；（拓展探究）(2)如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請(qǐng)說(shuō)明理由；（升華運(yùn)用）(3)如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若CD＝6，DF＝2，求AF的長(zhǎng)．16．（問(wèn)題情境）（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG，連接DG、BE，則DG與BE的數(shù)量關(guān)系是；（類(lèi)比探究）（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，點(diǎn)E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊在CE的右側(cè)作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，連接DG、BE．判斷線段DG與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（拓展提升）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則2BG+BE的最小值為．17．在矩形ABCD中，（k為常數(shù)），點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，D重合），將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與射線CB交于點(diǎn)E，連接AE．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，將點(diǎn)P移動(dòng)到對(duì)角線交點(diǎn)處，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，則=，∠AEP=；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，∠AEP的大小（填“改變”或“不變”）；（2）類(lèi)比探究：如圖2，若k≠1時(shí)，當(dāng)k的值確定時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦EP的大小是否會(huì)隨著點(diǎn)P的移動(dòng)而發(fā)生變化，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：當(dāng)k≠1時(shí)，如圖2，連接PC，若PC⊥BD，，PC=2，求AP的長(zhǎng)．18．（模型構(gòu)建）如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，的頂點(diǎn)，分別在，上（可與點(diǎn)，，重合），且滿(mǎn)足．的高線交線段于點(diǎn)（可與，重合），設(shè)．（1）求的值．（模型拓展）在（模型構(gòu)建）的基礎(chǔ)上，將條件“邊長(zhǎng)為1的正方形”改為“長(zhǎng)、寬的矩形”（其他條件不變）．（2）判斷的值是否改變．若改變，請(qǐng)求出的取值范圍；若不改變，請(qǐng)證明．（深入探究）在（模型構(gòu)建）的基礎(chǔ)上，設(shè)的面積為．（3）①求的最小值；②當(dāng)取到最小值時(shí)，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．19．（1）（操作）如圖，請(qǐng)用尺規(guī)作圖確定圓的圓心，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法；（2）（探究）如圖，若（1）中的圓的半徑為2，放入平面直角坐標(biāo)系中，使它與軸，軸分別切于點(diǎn)和，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)的直線與圓有唯一公共點(diǎn)（與不重合）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）（拓展）如圖3，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（），過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓，交第一象限角平分線于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，有最小值，求出此時(shí)，并探索在變化過(guò)程中的值有變化嗎？為什么？20．（1）如圖1，在正的外角內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F，G．則_______．（2）類(lèi)比探究：如圖2，把上題中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；通過(guò)以上兩例探索，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于與的數(shù)量關(guān)系的正確結(jié)論：_________________；（3）拓展延伸：如圖3，若以正方形的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)正方形的中心為P，平面上一點(diǎn)F到P的距離為．①直接寫(xiě)出的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；并探索是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．B解析：（1）（2）；（3）時(shí)，存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）因?yàn)?，所以，將代入得關(guān)于b和c的二元一次方程組，解方程組得到b和c即可求得原拋物線的解析式；（2）連接，延長(zhǎng)與軸交于點(diǎn)，根據(jù)題（1）可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，繼而求出直線BC的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)題意易知四邊形是平行四邊形，繼而可知，由此可知ME＝10，繼而即可求解點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)平行四邊形為菱形時(shí)，應(yīng)有，故點(diǎn)在之間，繼而可證根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴將代入得：解得：∴原拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）連接，并延長(zhǎng)與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的項(xiàng)點(diǎn)為直線的解析式為：拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)四邊形是平行四邊形，（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)當(dāng)平行四邊形為菱形時(shí)，應(yīng)有，故點(diǎn)在之間，當(dāng)時(shí)，即二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，，∴，所以時(shí)，存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，難度較大，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)，注意挖掘題目中的隱藏條件．2．D解析：（1）y=3x+3，y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）四邊形PMAC的面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．【分析】（1）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線AC及拋物線的解析式，把拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p，然后根據(jù)S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC即可得出S四邊形PMAC與p的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）由題意得PQ∥AC且PQ=AC，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出x，進(jìn)而可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，同樣的方法求解即可．【詳解】（1）∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C(0，3)，設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1(k1≠0)．∵點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)C(0，3)，∴，解得：，∴直線AC的解析式為y=3x+3．∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b．∵點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)D(1，4)，∴，得，∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6．∵P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，﹣2p+6)．∵OA=1，OC=3，OM=p，PM=﹣2p+6，∴S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC=﹣p2p=﹣(p)2，∵1＜p＜3，∴當(dāng)p時(shí)，四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）∵直線l∥AC，以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴PQ∥AC且PQ=AC．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，由A(﹣1，0)，C(0，3)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，此時(shí)，﹣(x+1)2+2(x+1)+3=3，解得：x1=﹣1(舍去)，x2=1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，此時(shí)，﹣(x﹣1)2+2(x﹣1)+3=﹣3，整理得：x2﹣4x﹣3=0，解得：x1=2，x2=2，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，﹣3)或(1，﹣3)，綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和一元二次方程的解法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)、具有一定的難度，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．A解析：（1）見(jiàn)解析；（2）①，；②x=3或x=-1；③2；④【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像的畫(huà)法，從左至右依次連接個(gè)點(diǎn)，即可解決；（2）①根據(jù)A點(diǎn)與B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，判斷兩點(diǎn)所在的函數(shù)圖像，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決即可；根據(jù)C點(diǎn)與D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，判斷兩點(diǎn)所在的函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)圖像解決即可.②當(dāng)時(shí)，判斷其所在的函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)解析式計(jì)算解決即可.③由圖可知時(shí)，所以?xún)牲c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性解決即可.④結(jié)合函數(shù)圖像，與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可知必須與兩函數(shù)圖像分別相交才可以，據(jù)此解決即可；【詳解】解：如圖所示：，，A與B在上，y隨x的增大而增大，；，，C與D在上，觀察圖象可得；②當(dāng)時(shí)，，不符合；當(dāng)時(shí)，，或；，在的右側(cè)，時(shí)，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，；④由圖象可知，當(dāng)與分段函數(shù)分別相交時(shí)才會(huì)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，觀察函數(shù)圖像y＞0，且y＜2，故a的取值范圍為.4．（1）；（2）如圖所示，見(jiàn)解析；性質(zhì)：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；或：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有最小值；（3）①；②或．【分析】（1）將，；，；，代入，得到：，，，即可求解析式為；（2）描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）①?gòu)膱D象可知：當(dāng)時(shí)，，時(shí)直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)；②與的交點(diǎn)為或，結(jié)合圖象，的解集為．【詳解】解：（1）將，；，；，代入，得到：，解得，故答案為．（2）如圖：函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，（3）①當(dāng)時(shí)，，時(shí)直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，故答案為1；②與的交點(diǎn)為或或x=3，結(jié)合圖象，的解集為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題類(lèi)比函數(shù)探究過(guò)程探究絕對(duì)值函數(shù)與不等式組關(guān)系；能夠準(zhǔn)確的畫(huà)出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取信息，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．5．A解析：（1）①y=x2﹣2x﹣3，②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2），PA+PC的最小值為3；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．【詳解】分析：（1）①由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可將拋物線的解析式變形為交點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求出a值，此題得解；②由點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)可得出連接BC交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，根據(jù)拋物線的解析式可求出其對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)B、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出線段BC的長(zhǎng)即可；（2）連接AC并延長(zhǎng)AC交拋物線對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)Q，此時(shí)|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長(zhǎng)（三角形兩邊之差小于第三邊），由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)A、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，此題得解．詳解：（1）①∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0）、B（3，0），∴拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a，∴a=1，∴該拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．②∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴連接BC交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，如圖3所示．∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1．利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)B、C的直線為y=x﹣3，當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣3=1﹣3=﹣2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2），PA+PC的最小值為BC==3．（2）連接AC并延長(zhǎng)AC交拋物線對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)Q，此時(shí)|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長(zhǎng)，如圖4所示．利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)A、C的直線為y=﹣3x﹣3，當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣3x﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)的綜合題．考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的三種形式以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；②由點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，找出當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)點(diǎn)P的位置；（2）利用三角形的三邊關(guān)系找出使|QA﹣QC|的值最大時(shí)點(diǎn)Q的位置．6．A解析：（1），y＝－x＋4；（2）M（1，－1）；（3）的最大值是4．【分析】（1）先求得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，即可求得的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線BC的表達(dá)式；（2）過(guò)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，連接OM．證明△OMB≌△O，即可得∠MOB=．再求得∠MOB==45°；由此求得．再求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）過(guò)B作BI⊥PQ于I．易求，再求得PQ的最大值，即可求得的最大值．【詳解】（1）∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)y＝0時(shí)，，解，得；∴B（4，0）∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)C，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），．設(shè)BC的表達(dá)式為y＝kx＋b，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得，解，得．直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋4；（2）過(guò)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，連接OM．∵四邊形是菱形，∴BM=，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∵OM=OM，∴△OMB≌△O，∴∠MOB=．∵∠BO＝90°，∴∠MOB==45°；∵M(jìn)H⊥y，．∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，．∴M（1，－1）．（3）過(guò)B作BI⊥PQ于I．∵PQ//x軸，∴∠IEO＝90°，∴四邊形EOBI是矩形．．，∵點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．∵PQ//x軸，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，將其代入y＝－x＋4，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為．∵點(diǎn)P是拋物線第一象限內(nèi)，∴點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)，．，∴當(dāng)m＝2時(shí)，PQ的最大值是2，∴的最大值是4．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，解決第（3）題時(shí)構(gòu)建二次函數(shù)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．A解析：（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）；（2）存在，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，．【分析】(1)解方程，可求得A、B的坐標(biāo)，令，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)利用勾股定理計(jì)算出，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為，可設(shè)Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），分三種情況討論：當(dāng)CQ＝AC時(shí)，當(dāng)AQ＝AC時(shí)，當(dāng)AQ＝QC時(shí)，然后分別解方程求出m即可得到對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】(1)當(dāng)，，解得x1＝﹣2，x2＝4，所以，，x＝0時(shí)，y＝﹣8，∴；(2)設(shè)直線BC的解析式為，把，代入解析式得：，解得，∴直線BC的解析式為，設(shè)Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），當(dāng)CQ＝CA時(shí)，，解得，，（舍去）；∴Q，當(dāng)AQ＝AC時(shí)，，解得：（舍去），m2＝0（舍去）；當(dāng)QA＝QC時(shí)，，解得，∴Q．綜上所述，滿(mǎn)足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)利用勾股定理表示線段之間的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．8．A解析：（1）點(diǎn)A、B在拋物線上，理由見(jiàn)解析；（2），；（3）等腰直角三角形【分析】（1）軸，故B、C中只有一個(gè)點(diǎn)在拋物線上，算出AC的解析式，交y軸于點(diǎn)，拋物線與y軸也交于點(diǎn)，故C不符要求，由此解答即可；（2）把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷三角形的形狀．【詳解】（1）∵軸，故B、C中只有一個(gè)點(diǎn)在拋物線上，∵，交y軸于點(diǎn)．且拋物線與y軸也交于點(diǎn)，故C不符要求．∴點(diǎn)A、B在拋物線上（2）代入A、B到．，∴（3）∴代入到，（舍），，∴∴，，∴，，∴．∴是等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了與待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及判斷點(diǎn)是否在圖像上，平移變換勾股定理等知識(shí)，求解析式是解題的關(guān)鍵．9．A解析：（1），；（2）6；（3）存在點(diǎn)M使周長(zhǎng)最短，其坐標(biāo)為；（4）存在，，，，【分析】（1）把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線和直線中，解之即可；（2）由圖可知，，所以只需求出AC，OB的長(zhǎng)即可，因?yàn)镃點(diǎn)為拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，令y=0即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知可得A點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到AC的長(zhǎng)，根據(jù)已知得到B點(diǎn)坐標(biāo)，可得OB的長(zhǎng)，從而求出的面積；（3）由題意知，A、C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則可知，故當(dāng)、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，連接交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，則即為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將B，C的坐標(biāo)代入即可求出該解析式，令x=-1，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（4）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)構(gòu)成矩形，求N點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，需分情況討論，當(dāng)HB⊥AB時(shí)，根據(jù)互相垂直的兩直線的斜率之積為-1，互相平行的兩直線的斜率相等求出直線HB，直線HN，直線AN的解析式，根據(jù)N點(diǎn)為直線HN和直線AN的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組解之即可；同理可得當(dāng)HA⊥AB時(shí)，N點(diǎn)的坐標(biāo)；而當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，可得HA⊥AB，從而可求出直線AH的解析式，設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)△AHB為直角三角形，利用勾股定理求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，然后在利用互相垂直的兩直線的斜率之積為-1，互相平行的兩直線的斜率相等求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得，解得，拋物線解析式為．把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得，解得，直線的解析式為．（2）由（1）得，拋物線解析式為，令得，解得，，，∵，∴，∵，∴OB=3，；（3），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，、關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，，，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小連接交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，則即為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，直線過(guò)點(diǎn)，，，解得，直線的解析式，當(dāng)時(shí)，，，存在點(diǎn)使周長(zhǎng)最短，其坐標(biāo)為．（4）存在，①當(dāng)HB⊥AB時(shí)，如圖所示由（1）得直線AB的解析式為，∵HB⊥AB，∴設(shè)直線HB的解析式為，將B(0,-3)代入得，∴直線HB的解析式為，當(dāng)x=-1時(shí)，y=×(-1)-3=，∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵四邊形ABHN為矩形，∴HN∥AB，AN∥HB，∴設(shè)直線HN的解析式為y=3x+m，把H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得3×(-1)+m=，解得m=,∴直線HN的解析式為y=3x+,∴設(shè)直線AN的解析式為，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得n=,∴設(shè)直線AN的解析式為，∵N點(diǎn)為直線HN和直線AN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為．②當(dāng)HA⊥AB時(shí)，如圖由（1）得直線AB的解析式為，∵HA⊥AB，∴設(shè)直線HA的解析式為，將A(1，0)代入得+b=0，解得b=，∴直線HA的解析式為，當(dāng)x=-1時(shí)，，∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵四邊形ABNH是矩形，∴AB∥NH，BN∥AH，∴設(shè)直線HN的解析式為y=3x+m，把H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得m=，∴設(shè)直線HN的解析式為y=3x+，∴設(shè)直線BN的解析式為，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得n=-3，∴設(shè)直線BN的解析式為，∵N點(diǎn)為直線HN和直線BN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為．③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，如圖設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為，∵四邊形AHBN為矩形，∴△AHB為直角三角形，∠AHB=90°，∴AH2+BH2=AB2，即，解得，∴H點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)，(-1,-2)，（a）當(dāng)H點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)時(shí)，設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，把A，H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得，∴直線AH的解析式為，∵AH∥BN，∴設(shè)直線BN的解析式為，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得b=-3，∴直線BN的解析式為，∵AN⊥BN，∴設(shè)直線AN的解析式為y=-2x+m，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-2+m=0，解得m=2，∴直線AN的解析式為y=-2x+2，∵N點(diǎn)為直線AN與BN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2);（b）當(dāng)H點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2)時(shí)，設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，把A，H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得，∴直線AH的解析式為y=x-1，∵AH∥BN，∴設(shè)直線BN的解析式為y=x+n，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得n=-3，∴直線BN的解析式為y=x-3，∵AN⊥BN，∴設(shè)直線AN的解析式為y=-x+m，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-1+m=0，解得m=1，∴直線AN的解析式為y=-x+1，∵N點(diǎn)為直線AN與BN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)．綜上所述，存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)構(gòu)成矩形，N點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及待定系數(shù)法，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)．在（2）中求得點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，在（4）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．10．A解析：（1）y=﹣x﹣1，y=﹣x2+3x+4；（2）①(2，6)；②PA=4；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)或(﹣4，3．【分析】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別代入直線表達(dá)式、拋物線的表達(dá)式，即可求解；（2）①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)到直線AD的距離就最大．即當(dāng)直線y=-x+m與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足條件，△=42+4（m-4）=0，解得m=8，解方程可求出答案；②過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，證明△PEA是等腰直角三角形，得出PE=EA，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），由題意得，m+1=-m2+3m+4，求出m=3，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（3）分NC是平行四邊形的一條邊、NC是平行四邊形的對(duì)角線，兩種情況分別求解即可．【詳解】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：，解得：，故直線l的表達(dá)式為：y=﹣x﹣1，將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+3x+4；（2）①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)到直線AD的距離就最大，所以P點(diǎn)在與直線AD平行并且與拋物線相切的直線上，即P點(diǎn)是這兩個(gè)圖像的唯一交點(diǎn)．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，依題意有：，∴x2-4x+m-4=0∵直線y=-x+m與拋物線相切，即只有一個(gè)交點(diǎn)，∴42+4(m-4)=0∴m=8，∴x2-4x+4=0，∴x1=x2=2∴y=6由此得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，6)②過(guò)P作PE⊥x軸于E點(diǎn)，由直線AC的解析式y(tǒng)=﹣x﹣1，可得A(-1，0)C(0，-1)，∴OA=OC∵∠AOC=90°∴∠DAB=45°，∴當(dāng)AB平分∠DAP時(shí)，∠BAP=∠DAB，則∠BAP=45°，∴△PEA是等腰直角三角形，∴PE=EA設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，依題意有m+1=﹣m2+3m+4，∴m1=3，m2=-1(舍去)，∴PE=EA=4，∴PA=4（3）NC=5，①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，﹣x2+3x+4)、則點(diǎn)M(x，﹣x﹣1)，由題意得：|yM﹣yP|=5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|=5，解得：x=2或0或4(舍去0)，則點(diǎn)M坐標(biāo)為(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)；②當(dāng)NC是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則NC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣，2)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m，﹣m2+3m+4)、則點(diǎn)M(n，﹣n﹣1)，N、C，M、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則NC的中點(diǎn)即為PM中點(diǎn)，即：，2=，解得：m=0或﹣4(舍去0)，故點(diǎn)M(﹣4，3)；故點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)或(﹣4，3)【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、中考幾何壓軸題11．（1）見(jiàn)解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△EAF≌△GAF，進(jìn)而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作輔助線，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和A解析：（1）見(jiàn)解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△EAF≌△GAF，進(jìn)而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作輔助線，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，根據(jù)（1），要使EF=BE+DF，需證明△EAF≌△GAF，因此需證明F、D、G在一條直線上，即，即；（3）先作輔助線，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，根據(jù)已知條件證明△FAD≌△EAD，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再中根據(jù)勾股定理即可求出x的值，即DE的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖，∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；（2）解：∠B+∠D=180°，理由是：如圖，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴F、D、G在一條直線上，和（1）類(lèi)似，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；故答案為：∠B+∠D=180°；（3）解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC==4，如圖，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中∴△FAD≌△EAD，∴DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，∵BD=1，∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：，，解得：x=，即DE=．【點(diǎn)睛】本題綜合考查三角形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線得出全等三角形．12．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見(jiàn)解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見(jiàn)解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出位置關(guān)系；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出結(jié)論；（3）方法1：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，進(jìn)而求出，，即可得出最大，最后用面積公式即可得出結(jié)論．方法2：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，而最大是，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大時(shí)，的面積最大，且在頂點(diǎn)上面，最大，連接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時(shí)，面積最大，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出，，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是判斷出最大時(shí)，的面積最大．13．（1）；（2）的大小無(wú)變化，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1延長(zhǎng)FG交BC于點(diǎn)H，可根據(jù)題意分別求出，的長(zhǎng)，即可求的值；（2）連接，先由勾股定理計(jì)算的值，再計(jì)算，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解析：（1）；（2）的大小無(wú)變化，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1延長(zhǎng)FG交BC于點(diǎn)H，可根據(jù)題意分別求出，的長(zhǎng)，即可求的值；（2）連接，先由勾股定理計(jì)算的值，再計(jì)算，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解題即可；（3）采用分類(lèi)討論法解題，一種是點(diǎn)在線段上，另一種是點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，據(jù)此分別求解即可.【詳解】（1）解：延長(zhǎng)FG交BC于點(diǎn)H，則，，故答案為：（2）的大小無(wú)變化.證明：如圖（1），連接，由題意可知：，∴，即，在矩形中，，∴，∴，在矩形中，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）或如圖（2），圖（3）：如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在線段上，由（2）知，，，在中，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由（2）知，，，在中，綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，其中涉及分類(lèi)討論思想，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，熟練并靈活運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.14．（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見(jiàn)解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論a2+b2=解析：（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見(jiàn)解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論a2+b2=5c2．設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問(wèn)題．（3）取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，MN=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，

∴PN=PM=2，PB=PA=4，

∴AN=BM=，∴b=AC=2AN=4，a=BC=4，∴，故答案為：；（2）結(jié)論a2+b2=5c2．證明：如圖中，連接MN．∵AM、BN是中線，

∴MN∥AB，MN=AB，∴△MPN∽△APB，∴，設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2．（3）解：如圖中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BF，∴，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，

∴AG=FG，取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，

同理可證△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=2BF=CF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CEPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×，∴AF=4．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用新的結(jié)論解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．15．(1)見(jiàn)解析；(2)AC平分∠BCD，理由見(jiàn)解析；(3)AF＝4．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的解析：(1)見(jiàn)解析；(2)AC平分∠BCD，理由見(jiàn)解析；(3)AF＝4．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；

（3）連接AC，先證∠EAD=∠BCD，推出∠FCA=∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求出AF的長(zhǎng)．【詳解】(1)證明：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°.∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠CBD∴弧AD＝弧CD∴AD＝CD∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形(2)AC平分∠BCD，理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F則∠AEB＝∠AFD＝90°∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形∴∠ADC+∠B＝180°又∵∠ADC+∠ADF＝180°∴∠B＝∠ADF在△AFD與△AEB中∴≌∴∴點(diǎn)A一定在∠BCD的平分線上即AC平分∠BCD.(3)連接AC同(2)理得∠EAD＝∠BCD由(2)知AC平分∠BCD所以∠FCA＝∠BCD同理∠FAD＝∠EAD∴∠FCA＝∠FAD.又∵∠F＝∠F∴△FAD∽△FCA∴即∴AF＝4【點(diǎn)睛】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過(guò)自主學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行探究，運(yùn)用等．16．（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．【分析】（1）通過(guò)證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．（2）通過(guò)證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長(zhǎng)BE解析：（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．【分析】（1）通過(guò)證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．（2）通過(guò)證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長(zhǎng)BE、GD相交于點(diǎn)H．因?yàn)榫匦蜤CGF，所以∠FEC=∠FGC=90°，所以∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，所以∠H=∠F=90°，所以DG⊥BE．（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M．首先證明點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段GM，將2BG+BE的最小值轉(zhuǎn)化為求2（BG+DG）的最小值．【詳解】（1）DG=BE理由：∵正方形ABCD，∴CD=CB，∠BCD=90°∵正方形ECGF，∴CG=CE，∠ECG=90°∴∠ECG=∠BCD=90°∴∠DCG=∠BCE在△DCG和△BCE中∴△DCG≌△BCE（SAS）∴DG=BE（2），DG⊥BE．理由如下：延長(zhǎng)BE、GD相交于點(diǎn)H．∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCE，∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，∴CD：CB=CG：CE，∵∠DCG=∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC=∠DGC，∴∵矩形ECGF∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，∴∠H=∠F=90°∴DG⊥BE（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M．易證△ECN∽△CGM，∴，∵EN=AB=2，∴CM=1，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線MG，作點(diǎn)D關(guān)于直線GM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G′，連接BG′交GM于G，此時(shí)BG+GD的值最小，最小值=BG′由（2）知，∴BE=2DG∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．∵BG′=，∴2BG+BE的最小值為4故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時(shí)出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．17．（1）1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變，理由見(jiàn)解析；（3）．【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分解析：（1）1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變，理由見(jiàn)解析；（3）．【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．證△PAM≌△PEN，可得∠AEP的大小不變；(2)類(lèi)似（1），過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．證△PAM∽△PEN，可得∠AEP的大小不變；(3)利用（2）的結(jié)論，證BE=EC．再證△ABE∽△BCD，利用比例式求出k，再利用三角函數(shù)求出AP的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖，∵k=1，∴在矩形ABCD是正方形，∵點(diǎn)P移動(dòng)到對(duì)角線交點(diǎn)處，∴PA=PE，∠AEP=45°，故，如圖，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠MBN=90°，PN=PM，∴四邊形PMBN是正方形，∴∠MPN=90°，∵∠APE=90°，∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，∴∠APM=∠EPN．又∵∠PMA=∠PNB，∴△PAM≌△PEN，∴PA=PE，∴∠AEP=45°，故，∠AEP的大小不變；故答案為：1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變．理由如下：過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠MBN=∠BAD=∠BCD=90°，∴四邊形PMBN是矩形，∴∠MPN=90°，PN=BM，又∵∠APE=90°，∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，∴∠APM=∠EPN．又∵∠PMA=∠PNB，∴△PAM∽△PEN，∴=．在Rt△PBM和Rt△BAD中，tan∠ABD=．在Rt△APE中，tan∠AEP=．∵k為定值，∴∠AEP的大小不變．（3）∵PC⊥BD，∠BCD=90°，∴∠PBC＋∠PCB=∠PBC＋∠BDC=∠BPE＋∠EPC=90°．∵AE∥PC，∴∠AEB=∠PCB，∠AEP=∠EPC．∵tan∠AEP=k，tan∠ABD=k，∴∠AEP=∠ABD．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∴∠AEB=∠PCB=∠BDC=∠AEP=∠EPC，∠PBC=∠BPE，∴BE=PE=EC．∵∠AEB=∠BDC，∠ABE=∠BCD，∴△ABE∽△BCD，∴，即，∴BC2=2AB2，∴，k=．在Rt△BPC中，tan∠PCB==tan∠AEP=k=，∴PB=PC=，由勾股定理得，∴PE=BC=，∴PA=PE=．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)建全等三角形或相似三角形，利用解直角三角形的知識(shí)求解．18．（1）=1；（2）改變，；（3）①=；②GB=（）DG．【分析】（1）利用三點(diǎn)共線，可以求出k=1；（2）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，DG取最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，DG取最大值，進(jìn)而求出k的取解析：（1）=1；（2）改變，；（3）①=；②GB=（）DG．【分析】（1）利用三點(diǎn)共線，可以求出k=1；（2）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，DG取最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，DG取最大值，進(jìn)而求出k的取值范圍；（3）①設(shè)BE=m，BF=n，利用一元二次方程的