3.1.4概率的加法公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)用互斥事件的概率加法公式求概率.3.會(huì)用對立事件的概率公式求概率．知識點(diǎn)一事件的運(yùn)算思考一粒骰子擲一次，記事件C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3}，當(dāng)事件C，D都發(fā)生時(shí)，擲出的點(diǎn)數(shù)是多少？事件C，D至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)呢？梳理事件的并一般地，由事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生(即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A、B都發(fā)生)所構(gòu)成的事件C，稱為事件A與B的____(或和)．記作C＝________.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所組成的集合．如圖中陰影部分所表示的就是A∪B.知識點(diǎn)二互斥與對立的概念思考一粒骰子擲一次，事件E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3}，事件F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于4}，則E與F是什么事件？G與F是什么事件？梳理1．互斥事件不可能________的兩個(gè)事件叫做互斥事件(或稱互不相容事件)．2．對立事件不能同時(shí)發(fā)生且____________的兩個(gè)事件叫做互為對立事件．事件A的對立事件記作eq\x\to(A).由于A與eq\x\to(A)是互斥事件，所以P(Ω)＝P(A∪eq\x\to(A))＝P(A)＋P(eq\x\to(A))，又由Ω是必然事件，得到P(Ω)＝1.所以P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1，即P(eq\x\to(A))＝__________.知識點(diǎn)三概率的基本性質(zhì)思考概率的取值范圍是什么？為什么？梳理概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍為________．(2)__________的概率為1，____________的概率為0.(3)互斥事件的概率加法公式①假定A、B是互斥事件，則P(A∪B)＝____________________.②一般地，如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪An”發(fā)生(是指事件A1，A2，…，An中至少有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝__________________________.類型一事件關(guān)系的判斷例1在擲骰子的試驗(yàn)中，可以得到以下事件：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}；B＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；C＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}；D＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}；E＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}；F＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}；G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；I＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}；J＝{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}．請根據(jù)這些事件，判斷下列事件的關(guān)系：(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.反思與感悟(1)不可能事件記作?，任何事件都包含不可能事件．(2)事件的包含關(guān)系與集合的包含關(guān)系相似，不可能事件與空集相似，學(xué)習(xí)時(shí)要注意類比記憶．(3)事件A也包含于事件A，即A?A.(4)兩個(gè)事件相等的實(shí)質(zhì)就是兩個(gè)事件為相同事件，相等的事件A、B總是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生．跟蹤訓(xùn)練1判斷下列給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花的牌面數(shù)字都是從1到10)中任意抽取1張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的牌面數(shù)字為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的牌面數(shù)字大于9”．類型二互斥事件的概率加法公式例2在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，計(jì)算小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概率和小明考試及格的概率．反思與感悟在求某些較為復(fù)雜事件的概率時(shí)，先將它分解為一些較為簡單的、并且概率已知(或較容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整為零、化難為易”的功效，但需要注意的是使用該公式時(shí)必須檢驗(yàn)是否滿足它的前提條件“彼此互斥”．跟蹤訓(xùn)練2假設(shè)向三個(gè)相鄰的軍火庫投擲一枚炸彈，炸中第一個(gè)軍火庫的概率為0.025，其余兩個(gè)各為0.1，只要炸中一個(gè)，另兩個(gè)也要發(fā)生爆炸，求投擲一枚炸彈，軍火庫發(fā)生爆炸的概率．類型三用互斥、對立事件求概率例3甲、乙兩人下棋，和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩此寂c感悟(1)只有當(dāng)A、B互斥時(shí)，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有當(dāng)A、B互為對立事件時(shí)，公式P(A)＝1－P(B)才成立．(2)復(fù)雜的互斥事件概率的求法有兩種：一是直接求解，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算；二是間接求解，先找出所求事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．跟蹤訓(xùn)練3從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.20 B．0.39C．0.35 D．0.901．從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述各對事件中，是對立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③2．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42 B．0.28C．0.3 D．0.73．中國乒乓球隊(duì)中的甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為eq\f(3,7)，乙奪得冠軍的概率為eq\f(1,4)，那么中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________．4．如圖所示，靶子由一個(gè)中心圓面Ⅰ和兩個(gè)同心圓環(huán)Ⅱ、Ⅲ構(gòu)成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35、0.30、0.25，則不命中靶的概率是______．5．某公務(wù)員去開會(huì)，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4.求：(1)他乘火車或飛機(jī)去的概率；(2)他不乘輪船去的概率．1．互斥事件和對立事件都是針對兩個(gè)事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系．在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能兩個(gè)都發(fā)生；而兩個(gè)對立事件必有一個(gè)發(fā)生，但是不可能兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，也不可能兩個(gè)事件都不發(fā)生．所以兩個(gè)事件互斥，它們未必對立；反之兩個(gè)事件對立，它們一定互斥．2．互斥事件概率的加法公式是一個(gè)很基本的計(jì)算公式，解題時(shí)要在具體的情景中判斷各事件間是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考事件C，D都發(fā)生，即擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)且小于3，故此時(shí)擲出的點(diǎn)數(shù)為2.事件C，D至少有一個(gè)發(fā)生，擲出的點(diǎn)數(shù)可以是1,2,4,6.梳理并A∪B知識點(diǎn)二思考∵E，F(xiàn)互斥，但不對立，∴E與F是互斥事件．∵G，F(xiàn)互斥，且對立，∴E與F既是互斥事件又是對立事件．梳理1．同時(shí)發(fā)生2．必有一個(gè)發(fā)生1－P(A)知識點(diǎn)三思考概率的取值范圍是0～1之間，即0≤P(A)≤1；由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗(yàn)的次數(shù)，所以頻率在0～1之間，因而概率的取值范圍也在0～1之間．梳理(1)[0,1](2)必然事件不可能事件(3)①P(A)＋P(B)②P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)題型探究類型一例1(1)?(2)?(3)?(4)＝解析當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，事件H必然發(fā)生，故B?H；同理D?J，E?I.易知事件A與事件G相等，即A＝G.跟蹤訓(xùn)練1解(1)是互斥事件，不是對立事件．理由如下：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．由于還可能抽出方塊或者梅花，因此不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，所以二者不是對立事件．(2)既是互斥事件，又是對立事件．理由如下：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．(3)不是互斥事件，也不是對立事件．理由如下：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌的牌面數(shù)字為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的牌面數(shù)字大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽出的牌的牌面數(shù)字為10，因此二者不是互斥事件，當(dāng)然也不可能是對立事件．類型二例2解分別記小明的考試成績在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分為事件B，C，D，E，這四個(gè)事件是彼此互斥的．根據(jù)概率的加法公式，小明的考試成績在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.小明考試及格的概率為P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.跟蹤訓(xùn)練2解因?yàn)橹煌稊S了一枚炸彈，故炸中第一、第二、第三個(gè)軍火庫的事件是彼此互斥的．令A(yù)、B、C分別表示炸中第一、第二、第三個(gè)軍火庫，則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.令D表示軍火庫爆炸這個(gè)事件，則有D＝A∪B∪C，又因?yàn)锳，B，C是兩兩互斥事件，故所求概率為P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.類型三例3解(1)“甲獲勝”可看成是“和棋或乙獲勝”的對立事件，所以“甲獲勝”的概率為1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).(2)方法一“甲不輸”可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個(gè)互斥事件的并事件，所以P(甲不輸)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).方法二“甲不輸”可看成是“乙獲勝”的對立事件，所以P(甲不輸)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(2,3).跟蹤訓(xùn)練3C[∵抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.]當(dāng)堂訓(xùn)練1．C[從1,2，…，9中任取兩數(shù)，包括一奇一偶、兩奇、兩偶，共三種互斥事件，所以只有③中的兩個(gè)事件才是對立事件．]2．C[∵摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故選C.]3.eq\f(19,28)解析由于事件“中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算，即中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).4．0.10解析“射手命中圓面Ⅰ”為事件A，“命中圓環(huán)Ⅱ”為事件B，“命