15.3角的平分線1.認(rèn)識角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理的區(qū)別，分清它們的題設(shè)和結(jié)論.2.理解角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理.3.掌握角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理的證明，并能利用它們證明兩個角相等和兩條線段相等.1.角平分線的性質(zhì)定理.2.角平分線的判定及應(yīng)用.1.角的平分線：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線.2.尺規(guī)作圖：幾何中，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來作圖，這種作圖的方法叫作尺規(guī)作圖.3.線段垂直平分線的性質(zhì)與判定：線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等；到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.知識點(diǎn)一作已知角的平分線1.先用量角器量出已知角的度數(shù)，然后計(jì)算出這個角的一半是多少，最后借助量角器畫出這個角的平分線.2.折疊法：在半透明的紙上任意畫一個角，再對折使角的兩邊重合，然后以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，在角的內(nèi)部沿折線畫一條射線，這條射線即為這個角的平分線.3.尺規(guī)作圖法：（1）以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，交角的兩邊于兩點(diǎn)；（2）分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于連接這兩點(diǎn)的線段長的12長度為半徑在角的內(nèi)部畫弧，兩弧交于一點(diǎn)；（3）以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，過兩弧的交點(diǎn)畫射線，則所畫射線即為這個角的平分線特別提示：（1）折疊法的理論依據(jù)：角是軸對稱圖形，角的平分線所在直線是它的對稱軸.（2）尺規(guī)作圖中，以“大于連接這兩點(diǎn)的線段長的12長度為半徑”畫弧，是為了使所作的兩條弧有交點(diǎn)（3）在角的外部也有交點(diǎn)，若如此，則作出的是一條過點(diǎn)O的直線，其中在角內(nèi)部的部分（射線）才是所求作的.為了簡明起見，這里明確在角的內(nèi)部畫交點(diǎn).【例1】“關(guān)愛環(huán)衛(wèi)工，共建休息點(diǎn)”，某愛心企業(yè)決定在馬路AB邊上為環(huán)衛(wèi)工人修建一個休息室D.如圖，已知休息室D在馬路AC和馬路BC夾角∠ACB的平分線上.請?jiān)趫D中作出修建該休息室D的具體位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.【解析】根據(jù)作角平分線的步驟解題即可.【解】如圖，點(diǎn)D即為該休息室的具體位置.知識點(diǎn)二角的平分線的性質(zhì)角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.如圖所示，若點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB，則PD＝PE.特別提示：（1）定理的證明，要先分清條件部分及結(jié)論部分.條件：點(diǎn)在角平分線上、點(diǎn)到角兩邊的距離；結(jié)論：距離相等.依照命題準(zhǔn)確作出圖形，寫出已知、求證，再利用相關(guān)知識進(jìn)行證明，這也是證明一個命題（定理）的幾個基本步驟.（2）該定理的功能是產(chǎn)生相等線段.在具體應(yīng)用角平分線性質(zhì)解題時，應(yīng)注意合理表述，不要漏寫點(diǎn)到角兩邊的距離的條件.若圖中沒有點(diǎn)到角的兩邊的垂線段，則需要作出點(diǎn)到角的兩邊的垂線段.性質(zhì)中的距離是指點(diǎn)到角兩邊的垂線段的長度，而不是過點(diǎn)與角平分線垂直（或僅僅相交）的直線與角兩邊相交所得的線段的長度.【例2】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D.若CD＝3cm，則點(diǎn)D到AB的距離是（）A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm【解析】如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.∵BD是∠ABC的平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD.∵CD＝3cm，∴DE＝3cm.【答案】C【迷津指點(diǎn)】本題主要考查角平分線的性質(zhì).作出輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵.知識點(diǎn)三角平分線的性質(zhì)定理的逆定理逆定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.特別提示：（1）角平分線性質(zhì)定理的逆定理即角平分線的判定定理，其實(shí)質(zhì)是在角的內(nèi)部凡滿足到角的兩邊距離相等的點(diǎn)都在這個角的平分線上.（2）逆定理的作用：通過線段相等證明角相等.【例3】如圖所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點(diǎn)O，且OB＝OC.求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.【解析】要證點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，只要證OD＝OE即可，為此需要先證明△BOD≌△COE.【解】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO＝∠CEO＝90°.又∵OB＝OC，∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.【迷津指點(diǎn)】應(yīng)用角平分線的判定定理可以證明某個點(diǎn)在某個角的平分線上或證明兩個角相等.知識點(diǎn)四三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.特別提示：（1）證明三條直線交于一點(diǎn)，常先找到其中兩條直線的交點(diǎn)，再證明第三條直線也通過該點(diǎn)即可.（2）推論的作用：可以用來找到三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點(diǎn).【例4】如圖所示，直線l，l'，l″表示三條相互交叉的公路.現(xiàn)計(jì)劃建一個加油站，要求它到這三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A.一處 B.二處C.三處 D.四處【解析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等作出圖形即可得解.如圖所示，加油站的地址有四處.【答案】D【迷津指點(diǎn)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.【例1】下列說法錯誤的是（）（1）把一個角分成兩部分的一條射線叫作角的平分線；（2）與一個角兩邊上的點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上；（3）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2）（4） D.（3）（4）【解析】根據(jù)角平分線的定義可知，只有把角分成相等的兩部分的射線才是角的平分線，故（1）錯誤；（2）中所述“距離相等”指的是兩點(diǎn)之間的距離，而角平分線的性質(zhì)定理中指的是角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離，故（2）錯誤；由性質(zhì)定理易知（3）正確；由角平分線的判定定理可知（4）正確.【答案】A【迷津指點(diǎn)】角平分線性質(zhì)定理中的“距離相等”指的是角平分線上的點(diǎn)與角兩邊之間的距離，不能理解為兩點(diǎn)之間或角兩邊上的點(diǎn)與角平分線之間的距離.【例2】如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E.若BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于（）A.10 B.7C.5 D.4【解析】如圖，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE＝EF＝2，故△BCE的面積等于12BC·EF＝12×5×2＝【答案】C【例3】如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC.若連接AM，則AM是否平分∠BAD？請說明理由.【解析】要判定AM是否平分∠BAD，思路有兩種：一是判斷∠DAM＝∠BAM是否成立；二是過點(diǎn)M作ME⊥AD于點(diǎn)E，判斷ME＝MB是否成立.【解】AM平分∠DAB.理由如下：如圖，過點(diǎn)M作ME⊥AD，垂足為E.∵∠1＝∠2，MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME＝MC.又∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴MC＝MB，∴ME＝MB.∵M(jìn)B⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠BAD.【迷津指點(diǎn)】要證明角平分線，一般要結(jié)合圖形，靈活選擇證明方法.例如本題中通過證明MB＝ME，依據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理作出判斷.【例4】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，P是∠BAC，∠ABC的平分線的交點(diǎn).試求點(diǎn)P到AB邊的距離.【解析】由條件易求出△ABC的面積.根據(jù)題意可知，點(diǎn)P到△ABC的三邊的距離相等，連接PC將△ABC分割成三個小三角形，再利用S△ABC＝S△APC＋S△BPC＋S△APB可求點(diǎn)P到AB邊的距離.【解】如圖，連接PC.∵P是∠BAC，∠ABC的平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等.設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊的距離為h，則S△ABC＝S△APC＋S△BPC＋S△APB＝12AC·h＋12BC·h＋12AB·h＝12BC·AC，即12×（4＋3＋5）h＝1∴h＝1，即點(diǎn)P到AB邊的距離為1.【迷津指點(diǎn)】求三角形的角平分線到三邊的距離的方法：三角形角平分線的交點(diǎn)與三角形三個頂點(diǎn)的連線，把原三角形分割成三個小三角形，利用小三角形面積之和等于原三角形的面積列式，是求角平分線交點(diǎn)到三邊距離的常用方法.【例5】如圖，要在A區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路和鐵路的距離相等，且離公路與鐵路交叉處600m遠(yuǎn).這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1∶30000）？【解析】要使集貿(mào)市場到相交鐵路和公路的距離相等，市場應(yīng)建在鐵路和公路的角平分線上.【解】這個集貿(mào)市場應(yīng)建在鐵路和公路夾角的平分線上，且距交叉處600m遠(yuǎn)的地方.如圖，OB為公路與鐵路夾角的平分線，且OC＝600×10030000＝2（cm），點(diǎn)C即為集貿(mào)市場所在地【迷津指點(diǎn)】可以把交叉的公路和鐵路看作兩條直線，集貿(mào)市場的位置看作一點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求作一點(diǎn)，使它到角兩邊距離相等，且到角頂點(diǎn)的距離為600m這樣一個幾何問題.【例6】育新中學(xué)校園內(nèi)有一塊直角三角形（Rt△ABC）空地，如圖所示，園藝師傅以角平分線AD為界，在其兩側(cè)分別種上了不同的花草，在△ABD區(qū)域內(nèi)種植了一串紅，在△ACD區(qū)域內(nèi)種植了雞冠花，并量得兩直角邊AB＝20m，AC＝10m.求一串紅與雞冠花兩種花草分別種植的面積（提示：利用角平分線的性質(zhì)）.【解析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝DF，再根據(jù)△ABC的面積求出DE，最后利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.【解】如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC