高等幾何全套可編輯PPT課件本課件是可編輯的正常PPT課件課程概論一、高等幾何的內(nèi)容高等幾何數(shù)學(xué)類專業(yè)主干基礎(chǔ)課課程之一前三高數(shù)學(xué)分析高等代數(shù)高等幾何后三高實變函數(shù)近世代數(shù)點集拓撲高等幾何射影幾何幾何基礎(chǔ)……本課程主要介紹平面射影幾何知識(教材前四章)綜合大學(xué)：空間解幾＋仿射幾何、射影幾何,一個學(xué)期本課件是可編輯的正常PPT課件課程概論一、高等幾何的內(nèi)容什么是射影幾何？直觀描述歐氏幾何仿射幾何射影幾何十九世紀(jì)名言一切幾何學(xué)都是射影幾何鳥瞰下列幾何學(xué)本課件是可編輯的正常PPT課件歐氏幾何(初等幾何)搬動正交變換對圖形作有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射歐氏幾何研究圖形的正交變換不變性的科學(xué)(統(tǒng)稱不變性，如距離、角度、面積、體積等)研究圖形在“搬動”之下保持不變的性質(zhì)和數(shù)量本課件是可編輯的正常PPT課件仿射幾何平行射影仿射變換仿射幾何研究圖形的仿射變換不變性的科學(xué)透視仿射變換有限次平行射影的結(jié)果仿射不變性比如——平行性、兩平行線段的比等等本課件是可編輯的正常PPT課件射影幾何中心射影射影變換射影幾何研究圖形的射影變換不變性的科學(xué)透視變換有限次中心射影的結(jié)果射影不變性比如——幾條直線共點、幾個點共線、交比等等射影變換將徹底改變我們原有的幾何空間觀念！本課件是可編輯的正常PPT課件課程概論一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的方法綜合法給定公理系統(tǒng)(一套相互獨立、無矛盾、完備的命題系統(tǒng))，演繹出全部內(nèi)容解析法形、數(shù)結(jié)合，利用代數(shù)、分析的方法研究問題本課程以解析法為主，兼用綜合法本課件是可編輯的正常PPT課件課程概論一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的與方法三、開課目的

學(xué)習(xí)射影幾何，拓展幾何空間概念，引入幾何變換知識，接受變換群思想

訓(xùn)練理性思維、抽象思維、邏輯推理能力，增強數(shù)學(xué)審美意識，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)

新穎性，趣味性，技巧性，反饋于初等幾何和其他學(xué)科，提高觀點，加深理解，舉一反三本課件是可編輯的正常PPT課件課程概論四、計劃及注意點

計劃：周學(xué)時5,一個學(xué)期,第1～第4章;(第5章：自學(xué)閱讀材料)本課程代數(shù)角度幾何角度三維線性空間的商空間上的幾何學(xué)虧格為零不可定向的閉曲面上的幾何學(xué)其他課程無可替代的數(shù)學(xué)思想與方法一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的與方法三、開課目的

真正的大學(xué)課程教學(xué)模式本課件是可編輯的正常PPT課件課程概論四、計劃及注意點注意2：把好入門關(guān),牢固掌握基本概念,反復(fù)思考,認真體會線性代數(shù)+“齊次性”

注意1：必須充分預(yù)習(xí),學(xué)會主動聽課,主動學(xué)習(xí),主張研究性學(xué)習(xí)

課前：預(yù)習(xí)將要講到的內(nèi)容,記錄體會,提出問題

計劃：周學(xué)時5,一個學(xué)期,第1～第4章;(第5章：自學(xué)閱讀材料)

課中：帶著問題聽課,適當(dāng)做筆記

課后：再次讀書,整理筆記;做題、反思、及時總結(jié);不懂即問

大力提倡：獨立思考+交流討論本課件是可編輯的正常PPT課件課程概論四、計劃及注意點

注意3：講課速度

計劃：周學(xué)時5,一個學(xué)期,第1～第4章;(第5章：自學(xué)閱讀材料)本課件是可編輯的正常PPT課件課程概論一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的與方法三、開課目的四、計劃及注意點注意4：課程學(xué)習(xí)成績計算辦法約定:交、發(fā)作業(yè)時間:每周上第一次課時本課件是可編輯的正常PPT課件特別約定

1、本課程的課堂內(nèi)，手機一律關(guān)閉。

2、必須提前10分鐘到達教室，不得在課堂內(nèi)吃東西。

適用于師生雙方，請相互監(jiān)督。本課件是可編輯的正常PPT課件今天作業(yè)溫習(xí)課堂內(nèi)容,預(yù)習(xí)1.1節(jié)Theclassisover.Goodbye!課程概論本課件是可編輯的正常PPT課件一、對應(yīng)與變換1.集合之間的關(guān)系

定義1.1集合A,B的笛卡兒積:§1.1引論全體有序偶(配對)(a,b)的集合.特別地,A

A=A2.

定義1.2集合A到B的一個關(guān)系:為集合A

B的一個子集.理解集合的途徑之一——Venn圖163本課件是可編輯的正常PPT課件一、對應(yīng)與變換1.集合之間的關(guān)系

定義1.2'設(shè)A,B為兩個集合,f

是一種將A的元素與B的元素配對的法則.則稱f

為集合A到B的一個關(guān)系,記作設(shè)在f

下A中的元素a配對為B中的元素b.則稱b為a在f下的一個像,稱a為b在f下的一個原像,或者說a是b在逆關(guān)系f

1

下的像,即有§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件一、對應(yīng)與變換2.關(guān)系的乘積(復(fù)合)

定義1.3

設(shè)f

為集合A到B的一個關(guān)系,g

為集合B到C的一個關(guān)系.則由此可確定集合A到C的一個關(guān)系h,稱h

為f與g的乘積.記作g?f,即

注：(教材上的定義更精確)設(shè)f

A

B,g

B

C.則§1.1引論關(guān)系的乘法滿足結(jié)合律,但是一般不滿足交換律.本課件是可編輯的正常PPT課件一、對應(yīng)與變換3.等價關(guān)系

定義1.4設(shè)f

為集合A到自身的一個關(guān)系.如果

(1)若

a

A,都有(a,a)f,則稱f為自反的,或稱f具有反身性.(2)若(a,b)f,就必有(b,a)f,則稱f為對稱的,或稱f具有對稱性.(3)若(a,b)f且(b,c)f,就必有(a,c)f,則稱f為傳遞的,或稱f具有傳遞性.

若f同時滿足上述3條,則稱f為A上的一個等價關(guān)系.

A上的一個等價關(guān)系必將A的元素分成等價類.§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件一、對應(yīng)與變換4.集合之間的對應(yīng)(函數(shù)、映射)

定義1.5設(shè)f

為集合A到B的一個關(guān)系.如果對于集合A中的每一個元素,f都唯一地指定集合B中的一個元素與之配對,則稱f

為從集合A到B的一個對應(yīng)(或映射,函數(shù)).在f

下A中的元素a對應(yīng)于B中的元素b的事實常記為或者§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件一、對應(yīng)與變換

定義1.6設(shè)f

為集合A到B的一個對應(yīng).如果對于集合A中的元素a

b,都有f(a)

f(b),則稱f

為單射(injection),也稱f

為從A到B內(nèi)的對應(yīng).

定義1.7設(shè)f

為集合A到B的一個對應(yīng).如果集合B中的每一個元素都是A中某個元素的像,則稱f

為滿射(surjection),也稱f

為從A到B上的對應(yīng).§1.1引論4.集合之間的對應(yīng)(函數(shù)、映射)本課件是可編輯的正常PPT課件一、對應(yīng)與變換

定義1.8設(shè)f

為集合A到B的一個對應(yīng).如果f既是單射又是滿射,則稱f

為一個雙射(bijection),也稱f

為一個一一對應(yīng).

注：在幾何學(xué)中,我們一般需要的對應(yīng)都是雙射.§1.1引論4.集合之間的對應(yīng)(函數(shù)、映射)本課件是可編輯的正常PPT課件一、對應(yīng)與變換5.變換

定義1.9集合A到自身的對應(yīng)f

稱為變換,若f

是雙射,則稱f

為集合A上的一個一一變換.

若集合A上的一個變換將A的每一個元素變?yōu)槠渥陨?則稱之為集合A上的一個恒同變換,記作i.于是,

a

A,i(a)=a.§1.1引論

定理1.1對于集合A上的一一變換,下列結(jié)論成立.(1)兩個一一變換的乘積是一個一一變換.(2)恒同變換i是一個一一變換.(3)任意一個一一變換f的逆變換f

1存在,f

1也是一個一一變換,且ff

1=f

1f=i.本課件是可編輯的正常PPT課件一、對應(yīng)與變換6.歸納

定義1.10設(shè)f為定義于集合A上的某種一一變換.若存在a

A,滿足f(a)=a,則稱a為f

的一個不變元素.設(shè)P為集合A中的元素或子集所帶有的某種性質(zhì)(或數(shù)量),若變換f

能夠保持P不變,則稱P為變換f

的一個不變性質(zhì)(或數(shù)量),f

的不變性質(zhì)和數(shù)量統(tǒng)稱為f

的不變性.

歸納：高等幾何將用幾何變換的觀點討論問題,主要是研究幾何空間中的圖形在某種雙射(一一變換)下的不變性.類似于代數(shù)中對同構(gòu)的討論.§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件一、對應(yīng)與變換二、正交變換解幾中的坐標(biāo)變換

平面上的點、圖形均不改變其位置,但是隨著坐標(biāo)系的變動而取得不同的坐標(biāo),或得到不同的描述,研究其間的關(guān)系.改變觀點平面上的點變換

在平面上點的集合上給定某種雙射(一一變換)f,研究點以及由點構(gòu)成的圖形與他們在f

下的像之間的關(guān)系.坐標(biāo)系運動而點和圖形不動點和圖形運動而坐標(biāo)系不動§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換§1.1引論坐標(biāo)變換點變換本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換1.正交變換

定義1.11保持平面上任意兩點間的距離不變的點變換稱為平面上的一個正交變換.

定理1.2

正交變換是雙射.設(shè)M表示平面上全體正交變換的集合.則有

(1)

,

M,有

M.(2)恒同變換i

M.(3)

M,存在

1

M,滿足

1=

1

=i.

注：設(shè)

為平面上的一個正交變換,A,B為平面上兩個點,且

(A)=A',

(B)=B',則|AB|=|A'B'|.§1.1引論上述性質(zhì)使得M對于變換的乘法構(gòu)成一個群,叫做正交變換群.本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換1.正交變換

定理1.3

正交變換使平面上共線三點變成共線三點;不共線三點變成不共線三點,而且保持兩直線的夾角不變.

證明設(shè)A,B,C為平面上三點,

為正交變換,且上述三點在

下的像依次為A',B',C'.

若A,B,C共線且B在A,C之間,則有|AB|+|BC|=|AC|.由正交變換的定義有即A',B',C'仍然為共線三點且B'在A',C'之間.

若A,B,C不共線,則必有即A',B',C'仍然為不共線三點.§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換1.正交變換

定理1.3

正交變換使平面上共線三點變成共線三點;不共線三點變成不共線三點,而且保持兩直線的夾角不變.

證明設(shè)A,B,C為平面上三點,

為正交變換,且上述三點在

下的像依次為A',B',C'.

設(shè)A,C分別在

B兩邊上且異于B,則A',B'分別在

B'的兩邊上.且|AB|=|A'B'|,|BC|=|B'C'|,|AC|=|A'C'|.即

ABC

A'B'C',于是,

B=

B',即正交變換保持兩直線的夾角不變.

推論1.1(1)正交變換使得一個三角形變?yōu)榕c其全等的三角形.進而,正交變換使得任何封閉圖形變?yōu)榕c其全等的封閉圖形,使得任何平面圖形變?yōu)榭梢耘c其疊合(合同)的圖形.(2)正交變換使得平行直線變?yōu)槠叫兄本€,矩形變?yōu)榕c之全等的矩形.§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換1.正交變換

推論1.2

正交變換使平面上的直角坐標(biāo)系變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系.

正交變換

將平面上的一個直角坐標(biāo)系O-exey變?yōu)榱硪粋€直角坐標(biāo)系O'-e'xe'y,有下述可能右手系→右手系右手系→左手系§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換1.正交變換

定理1.4對于平面上的一個取定的直角坐標(biāo)系,點變換

是正交變換

具有表達式

其中(x,y)與(x',y')為

的任一對對應(yīng)點P,P'的坐標(biāo),矩陣

注1：對于正交變換

的矩陣A,顯然有A

1=AT,且|A|=

1.

當(dāng)|A|=1時,

將右手系變?yōu)橛沂窒?稱

為第一類正交變換；當(dāng)|A|=

1時,

將右手系變?yōu)樽笫窒?稱

為第二類正交變換.§1.1引論

注2：正交變換(1.1)在形式上與平面解析幾何中的直角坐標(biāo)變換式完全相同.按相對運動觀點,坐標(biāo)變換也是正交變換.本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換1.正交變換§1.1引論所以,OP'=O'P'+OO',即(x',y')=xe'x+ye'y+(a13,a23)=x(a11,a21)+y(a12,a22)+(a13,a23)=(a11x+a12y+a13,a21x+a22y+a23).即得(1.1)式.

注:還需證明(1.1)保持平面上兩點間的距離不變.見習(xí)題6.本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換(1).平移變換

定義1.12將平面上的每個點都向著同一個方向移動相同的距離的變換稱為平面上的一個平移變換,簡稱平移.

定理1.5

設(shè)在平面上取定了一個笛氏直角坐標(biāo)系O-exey,并給定一個向量c(a13,a23).則由此可惟一確定平面上的一個平移

,其直角坐標(biāo)表示為其中(x,y)與(x',y')為平面上任一點P與其在

下的像點P'的坐標(biāo).

注：顯然,平移是正交變換.2.正交變換特例§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換

定義1.13將平面上的每個點都繞著同一個點旋轉(zhuǎn)相同的角度的變換稱為平面上的一個旋轉(zhuǎn)變換,簡稱旋轉(zhuǎn).(2).旋轉(zhuǎn)變換

定理1.6設(shè)旋轉(zhuǎn)

使得平面上的每個點都繞著坐標(biāo)原點O旋轉(zhuǎn)角度

,則

的直角坐標(biāo)表示為

證明設(shè)|OP|=|OP'|=r.則利用三角恒等式展開,可得§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換(1).平移變換(2).旋轉(zhuǎn)變換

注：顯然,旋轉(zhuǎn)變換是正交變換.

定理1.7平面上的一個平移與一個旋轉(zhuǎn)的乘積是一個第一類正交變換.進而,平面上有限多個平移與旋轉(zhuǎn)的乘積是一個第一類正交變換.第一類正交變換稱為平面上的剛體運動.(3).軸反射變換

如右圖,怎樣的變換可以使得

ABC

重合于

A'B'C'?僅平移或旋轉(zhuǎn)是不可能的.§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換(1).平移變換(2).旋轉(zhuǎn)變換(3).軸反射變換

定義1.14設(shè)l為平面上取定的一條直線.將平面上的每個點都變?yōu)殛P(guān)于l的對稱點的變換稱為平面上的一個軸反射變換,簡稱軸反射,直線l稱為反射軸.關(guān)于y軸的軸反射變換為

注1：顯然,軸反射是一個第二類正交變換.

注2：應(yīng)用軸反射(1.5)于上述平面,即可將

ABC變?yōu)?/p>

A'B'C'.§1.1引論

定理1.8關(guān)于x軸的軸反射變換為本課件是可編輯的正常PPT課件二、正交變換(1).平移變換(2).旋轉(zhuǎn)變換(3).軸反射變換

定理1.9平面上的一個軸反射與一個第一類正交變換的乘積是一個第二類正交變換.

從而,平面上一個點變換

是正交變換

可表示為有限次平移、旋轉(zhuǎn)與軸反射的乘積.

歸納：以幾何變換的觀點看待歐氏幾何.歐氏幾何就是研究在正交變換群M的作用下保持不變的幾何量和幾何性質(zhì),即所有與距離有關(guān)的幾何量和幾何性質(zhì).§1.1引論2.正交變換特例本課件是可編輯的正常PPT課件今天作業(yè)P.13,3預(yù)習(xí)§1.2Theclassisover.Goodbye!§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件三、相似變換§1.1引論

定義1.15設(shè)P1,P2,P為平面

上共線三點,記(P1P2P)表示這三點構(gòu)成的一個簡單比(單比,仿射比),定義為

注：(P1P2P)表示一個數(shù),是有向線段P1P與P2P的比值,與解幾中的定比分點反號.P1,P2稱為基點,P稱為分點.1.共線三點的簡單比2.位似變換

定義1.16設(shè)O為

上取定的一點,

為

上的一個點變換.滿足

(1)

(O)

O,(2)對于O

P

,

(P)

P',則P'在OP上,且(P'PO)=k(k

0),則

稱為

上的一個以O(shè)為位似中心,k為位似比的位似變換.本課件是可編輯的正常PPT課件三、相似變換§1.1引論2.位似變換

定義1.16設(shè)O為

上取定的一點,

為

上的一個點變換.滿足

(1)

(O)

O,(2)對于O

P

,

(P)

P',則P'在OP上,且(P'PO)

k(k

0),則

稱為

上的一個以O(shè)為位似中心,k為位似比的位似變換.

注1.位似變換的對應(yīng)點連線經(jīng)過定點(位似中心).注2.位似變換保持共線三點的簡單比不變.注3.位似變換使得直線(不過O)變?yōu)槠淦叫兄本€.注4.位似變換使得任意一對對應(yīng)線段的比值等于位似比k.本課件是可編輯的正常PPT課件三、相似變換§1.1引論

定理1.10

設(shè)在平面

上取定了一個笛氏直角坐標(biāo)系O-exey,k

0為任意實常數(shù).則

上的一個點變換

是以O(shè)為位似中心,k為位似比的位似變換

可表示為其中(x,y)與(x',y')為平面

上任一點P與其在

下的像點P'的坐標(biāo).

注.

如果位似中心的坐標(biāo)為(a13,a23),則在(1.8)中添加常數(shù)項(a13,a23).于是,一個一般的位似變換是一個以原點為中心的位似與一個平移的積.當(dāng)位似比k

1時,即為平移,所以,平移是特殊的位似.2.位似變換本課件是可編輯的正常PPT課件三、相似變換§1.1引論3.相似變換

定義1.17

設(shè)

為

上的一個點變換,P,Q為

上任意相異二點,

(P)P',

(Q)Q'.滿足則稱

為

上的一個以k為相似比的相似變換.注1.相似變換保持共線三點的簡單比不變.注2.相似變換使得任意圖形變成其相似圖形;使平行直線變?yōu)槠叫兄本€.注3.相似變換保持任意兩條線段的比值不變.從而保持兩直線夾角不變.注4.正交變換、位似變換都是相似變換的特例.本課件是可編輯的正常PPT課件三、相似變換§1.1引論3.相似變換

定理1.11相似變換是雙射.設(shè)S表示平面上全體相似變換的集合.則有

(1)

,

S,有

S.(2)恒同變換i

S.(3)

S,存在

1

S,滿足

1=

1

i.

注顯然,位似變換不具有上述性質(zhì).上述性質(zhì)使得S對于變換的乘法構(gòu)成一個群,叫做相似變換群.而且M

S.本課件是可編輯的正常PPT課件三、仿射變換1.透視仿射對應(yīng)

定義1.19對于空間中兩平面

,

',給定一個與兩平面不平行的投射方向,則確定了

到

'的一個透視仿射對應(yīng)(平行投影).

上任一點P在

'上的像即為過P且平行于投射方向的直線與

'的交點P'.

注1透視仿射對應(yīng)是兩平面的點集之間的一個雙射.

透視仿射對應(yīng)使共線點變?yōu)楣簿€點,不共線點變?yōu)椴还簿€點,平行直線變?yōu)槠叫兄本€；透視仿射對應(yīng)保持共線三點的簡單比不變,從而保持兩平行線段的比值不變,但是不能保持距離、角度不變.

注2兩平面交線稱為透視仿射的軸.若

//

'則沒有軸.§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件四、仿射變換2.仿射變換

定義1.20

對于空間中一組平面

,

1,

2,…,

n,

',設(shè)以下對應(yīng)均為透視仿射對應(yīng)：則稱這n個透視仿射的積

為

到

'的一個仿射對應(yīng).若

'

,則稱

為平面

上的一個仿射變換.

注1仿射變換是平面上的一個雙射.2仿射變換使共線點變?yōu)楣簿€點,不共線點變?yōu)椴还簿€點,平行直線變?yōu)槠叫兄本€；

3仿射變換保持共線三點的簡單比不變,從而保持兩平行線段的比值不變,但是不能保持距離、角度不變.§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件四、仿射變換2.仿射變換§1.1引論

定義1.21設(shè)

為平面

上的一個點變換,滿足

(1)

為一個使共線點變?yōu)楣簿€點的雙射；

(2)

使得共線三點的簡單比等于其對應(yīng)共線三點的簡單比；

(3)

使得相互平行的直線變?yōu)橄嗷テ叫械闹本€,則稱

為

上的一個仿射變換.

定理1.13仿射變換是雙射.設(shè)A表示平面上全體仿射變換的集合.則有

(1)

,

A,有

A.(2)恒同變換i

A.(3)

S,存在

1

A,滿足

1

1

i.上述性質(zhì)使得A對于變換的乘法構(gòu)成一個群,叫做仿射變換群.而且M

S

A.

注正交變換,相似變換是特殊的仿射變換.本課件是可編輯的正常PPT課件四、仿射變換3.仿射坐標(biāo)系

定義1.18

設(shè)在平面上取定一點O和以O(shè)為起點的兩個線性無關(guān)向量ex,ey,則由此構(gòu)成平面上一個仿射坐標(biāo)系(或仿射坐標(biāo)架),記作O-exey.平面上任一點P的仿射坐標(biāo)(x,y)由下式惟一確定,反之,對任意給定的有序?qū)崝?shù)組(x,y),由(1.12)式可惟一確定仿射平面上的一個點具有坐標(biāo)(x,y).建立了仿射坐標(biāo)系的平面稱為仿射平面,ex,ey稱為基向量.

注若ex,ey為單位正交向量(即為標(biāo)準(zhǔn)正交基),則O-exey成為笛卡兒直角坐標(biāo)系.§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件四、仿射變換3.仿射坐標(biāo)系

定理1.15

設(shè)在平面

上取定了一個仿射坐標(biāo)系O-exey,點變換

為

上的一個仿射變換

有表達式其中(x,y)與(x',y')為任一對對應(yīng)點P,P'的坐標(biāo),矩陣滿足|A|

0,稱為仿射變換

的矩陣.平面仿射幾何就是研究在仿射變換群A的作用下保持不變的幾何性質(zhì)與幾何量.由定義1.21,這些不變的性質(zhì)和數(shù)量必定只與平行性、共線三點的簡單比有關(guān).§1.1引論

定理1.14平面

上的仿射變換

將一個仿射坐標(biāo)系O-exey變?yōu)榱硪粋€仿射坐標(biāo)系O'-e'xe'y.本課件是可編輯的正常PPT課件五、體會歸納1.關(guān)系、對應(yīng)、雙射、變換、一一變換2.基本的幾何變換實例正交變換相似變換仿射變換3.上述幾何變換的三種定義方法§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件五、體會歸納3.上述幾何變換的三種定義方法正交變換(1)直觀的定義平面上有限次平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射的乘積.(2)利用幾何特征性質(zhì)的定義平面上保持任兩點間距離不變的一一點變換.(3)代數(shù)(解析)的定義在平面上取定直角坐標(biāo)系,如下點變換為正交變換§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件五、體會歸納3.上述幾何變換的三種定義方法相似變換(1)直觀的定義平面上的位似變換與正交變換的乘積.(2)利用幾何特征性質(zhì)的定義平面上保持任兩線段的比值不變的一一點變換.(3)代數(shù)(解析)的定義在平面上取定直角坐標(biāo)系,如下點變換為相似變換§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件五、體會歸納3.上述幾何變換的三種定義方法仿射變換(1)直觀的定義平面上有限次透視仿射變換(平行投影)的乘積.(2)利用幾何特征性質(zhì)的定義平面上保持任意共線三點的簡單比和直線的平行性不變的點變換.(3)代數(shù)(解析)的定義在平面上取定仿射(或直角)坐標(biāo)系,如下點變換為仿射變換§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件五、體會歸納3.上述幾何變換的三種定義方法對于平面上取定的直角坐標(biāo)系,如下點變換

{A為非異矩陣A為正交矩陣存在k

0,A可化為k乘以一個正交陣,則

為仿射變換相似變換.正交變換§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件今天作業(yè)P.132,5Theclassisover.Goodbye!§1.1引論本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面一、中心射影1、平面上兩直線間的中心射影定義1.22因此，

–1:l'→l是l'到l的中心射影.OP投射線P'l上的點P在l'上的像Pl'

上的點P'在l上的像OV'//l,與l不相交，

V'為l'上的影消點影消點的存在，導(dǎo)致兩直線間的中心射影不是一個雙射!X=l

l'

自對應(yīng)點OU//l',與l'不相交，

U為l上的影消點三個特殊的點：O

投射中心(O

l

l')

給定不同的O,則決定不同的中心射影.本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面一、中心射影2、平面到平面的中心射影定義1.23OP投射線P'

上的點P在

'上的像P

'上的點P'在

上的像因此,

1:'

是

'到

的中心射影.x=

'自對應(yīng)直線三條特殊的直線：u

,U

u,OU//',u為由影消點構(gòu)成的影消線v'

',

V'

v',OV'//

',v'為由影消點構(gòu)成的影消線影消線的存在，導(dǎo)致兩平面間的中心射影不是一個雙射!O

投射中心(O

')

給定不同的O,則決定不同的中心射影.本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面一、中心射影1、平面上兩直線間的中心射影定義1.222、平面到平面的中心射影定義1.23}均不是雙射中心射影不是雙射的原因：存在影消點、影消線

存在影消點、影消線的原因：平行的直線沒有交點如何使得中心射影成為一個雙射？給平行線添加交點！本課件是可編輯的正常PPT課件一、中心射影二、無窮遠元素目標(biāo)：改造空間，使得中心射影成為雙射途徑：給平行直線添加交點要求：不破壞下列兩個基本關(guān)系兩條相異直線確定唯一一個點(交點)兩個相異點確定唯一一條直線(連線)}點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系§

1.2拓廣平面本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面二、無窮遠元素

約定1.1(1)在每一條直線上添加唯一一個點，此點不是該直線上原有的點.稱為無窮遠點(理想點)，記作P

.

(2)相互平行的直線上添加的無窮遠點相同,不平行的直線上添加的無窮遠點不同.區(qū)別起見，稱平面上原有的點為有窮遠點(通常點)，記作P,…

約定1.1(3)按約定(1),(2)添加無窮遠點之后，平面上全體無窮遠點構(gòu)成一條直線，稱為無窮遠直線(理想直線)，記作l

.區(qū)別起見，稱平面上原有的直線為有窮遠直線(通常直線)，l

總結(jié)

在平面上添加無窮遠元素之后，沒有破壞點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系，同時使得中心射影成為雙射.本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面二、無窮遠元素

約定1.1(1)在每一條直線上添加唯一一個點，此點不是該直線上原有的點.稱為無窮遠點(理想點)，記作P

.

(2)相互平行的直線上添加的無窮遠點相同,不平行的直線上添加的無窮遠點不同.區(qū)別起見，稱平面上原有的點為有窮遠點(通常點)，記作P,…

約定1.1(3)按約定(1),(2)添加無窮遠點之后，平面上全體無窮遠點構(gòu)成一條直線，稱為無窮遠直線(理想直線)，記作l

.區(qū)別起見，稱平面上原有的直線為有窮遠直線(通常直線)，l

總結(jié)

在平面上添加無窮遠元素之后，沒有破壞點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系，同時使得中心射影成為雙射.本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面理解約定1.1(1),(2)1、對應(yīng)平面上每一方向，有唯一無窮遠點.平行的直線交于同一無窮遠點；交于同一無窮遠點的直線相互平行.2、每一條通常直線上有且僅有一個無窮遠點(添加無窮遠點之后的直線上的點集比R多一個元素).3、平面上添加的無窮遠點個數(shù)=過一個通常點的直線數(shù)(比R多一個元素).4、不平行的直線上的無窮遠點不同.因而，對于通常直線：兩直線平行不平行交于唯一無窮遠點有窮遠點平面上任二直線總相交5、空間中每一組平行直線交于唯一無窮遠點.6、任一直線與其平行平面交于唯一無窮遠點.本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面理解約定1.1(3)1、無窮遠直線為無窮遠點的軌跡.無窮遠直線上的點均為無窮遠點；平面上任何無窮遠點均在無窮遠直線上.2、每一條通常直線與無窮遠直線有且僅有一個交點為該直線上的無窮遠點.3、每一平面上有且僅有一條無窮遠直線(添加無窮遠直線之后的平面比通常平面多出一條直線).4、每一組平行平面有且僅有一條交線為無窮遠直線；過同一條無窮遠直線的平面相互平行.因而，對于通常平面：兩平面平行不平行交于唯一無窮遠直線有窮遠直線空間中任二平面必相交于唯一直線本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面三、拓廣平面

定義1.24通常點和無窮遠點統(tǒng)稱拓廣點,記作P,Q,…;

添加無窮遠點后的直線和無窮遠直線統(tǒng)稱為拓廣直線,記作l,m,…;

添加無窮遠直線后的平面稱為拓廣平面,記作

.

定理1.16在拓廣平面上,點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系成立：

(1)兩個相異的拓廣點確定唯一一條拓廣直線；

(2)兩條相異的拓廣直線確定唯一一個拓廣點.(1)拓廣直線的封閉性拓廣直線：向兩方前進最終都到達同一個無窮遠點四、拓廣直線、拓廣平面的基本性質(zhì)及模型歐氏直線：向兩個方向無限伸展1、拓廣直線證明

(見教材,P.17)本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面(2)拓廣直線的拓撲模型(i)歐氏平面上的圓(ii)疊合對徑點的圓(iii)歐氏平面上過原點的直線的集合(線束模型)(iv)歐氏平面去掉原點后，過原點每一直線的所有點作為拓廣直線的一個點本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面(2)拓廣直線的拓撲模型(3)拓廣直線上點的分離關(guān)系歐氏直線：一點區(qū)分直線為兩個部分。拓廣直線：一點不能區(qū)分直線為兩個部分。歐氏直線：兩點確定直線上的一條線段。拓廣直線：兩點不能確定直線上的一條線段。點偶A,B分離點偶C,D點偶A,B不分離點偶C,D本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.2拓廣平面(i)任一直線劃分歐氏平面為兩個不同的區(qū)域任一直線不能劃分拓廣平面為兩個不同的區(qū)域(ii)兩條相交直線劃分歐氏平面為四個不同的區(qū)域兩條相交直線劃分拓廣平面為兩個不同的區(qū)域在拓廣平面上，可以證明：I，II為同一區(qū)域III，IV為同一區(qū)域2、拓廣平面四、拓廣直線、拓廣平面的基本性質(zhì)及模型(1)拓廣平面的封閉性(從兩個方面理解)本課件是可編輯的正常PPT課件(2)拓廣平面的拓撲模型(i)疊合對徑點的球面(ii)歐氏空間過原點的直線的集合(線叢模型)(iii)疊合赤道上對徑點的半球面(iv)疊合周界上對徑點的圓盤2、拓廣平面四、拓廣直線、拓廣平面的基本性質(zhì)及模型(1)拓廣平面的封閉性(從兩個方面理解)§

1.2拓廣平面本課件是可編輯的正常PPT課件M?bius帶§

1.2拓廣平面本課件是可編輯的正常PPT課件今天作業(yè)P.21,1,3,4Theclassisover.Goodbye!§

1.2拓廣平面本課件是可編輯的正常PPT課件有周界,閉圓盤無周界,開圓盤

(此處

表示通常平面)去掉周界圓§

1.2拓廣平面本課件是可編輯的正常PPT課件引入目的§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)實現(xiàn)數(shù)、形結(jié)合，用解析法研究射影幾何基本要求既能刻畫有窮遠點，也能刻畫無窮遠點基本途徑從笛氏坐標(biāo)出發(fā)，對通常點與笛氏坐標(biāo)不矛盾主要困難來自傳統(tǒng)笛氏坐標(biāo)的干擾必須注意

齊次坐標(biāo)與笛氏坐標(biāo)的根本區(qū)別在于齊次性，因此，學(xué)習(xí)訣竅是在齊次性的前提下靈活運用線性代數(shù)知識。盡管針對拓廣平面,但是今后通用何謂齊次性幾乎無處不在的非零比例常數(shù)和比例關(guān)系本課件是可編輯的正常PPT課件一、n維實向量類§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)n

維實向量的集合定義等價關(guān)系~n

維實向量類的集合(用圓括號記向量)n

維實向量類的集合[用方括號記向量]

事實上,關(guān)于齊次坐標(biāo)的運算就是上述兩個集合中向量類的運算.本課程僅涉及n=2,n=3.將賦予不同的幾何意義本課件是可編輯的正常PPT課件二、齊次點坐標(biāo)定義1.25有窮遠點無窮遠點非齊次齊次坐標(biāo)關(guān)系注對一維齊次點坐標(biāo)定義的進一步理解§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)1.一維齊次點坐標(biāo)(x1,x2)(x2

0)xx=x1/x2(x1,0)(x1

0)本課件是可編輯的正常PPT課件(1).都有齊次坐標(biāo)反之，都對應(yīng)唯一一點(0,0)不是任何點的齊次坐標(biāo).(2).與是同一點的齊次坐標(biāo).因此，直線上每個點都有無窮多個齊次坐標(biāo),同一點的任意兩個齊次坐標(biāo)之間相差一個非零比例常數(shù).(3).原點：(0,x2),特別地，(0,1).無窮遠點：(x1,0),特別地，(1,0).(4).一維齊次點坐標(biāo)的集合為(2維實向量類的集合)：此即拓廣直線的線束模型.二、齊次點坐標(biāo)§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)1.一維齊次點坐標(biāo)

注：定義1.25沒有解決無窮遠直線的問題.本課件是可編輯的正常PPT課件引入可視為P為通常點無窮遠點設(shè)li:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2).記|AB|表示(1).P為通常點，設(shè)

P(x,y).則令|BC|=x1,|CA|=x2,|AB|=x3.則

從而x:y:1=x1:x2:x3.于是,可以把與(x,y,1)成比例的任何有序?qū)崝?shù)組(x1,x2,x3)作為點P的齊次坐標(biāo).2.二維齊次點坐標(biāo)§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)同樣有|BC|,|CA|.本課件是可編輯的正常PPT課件引入(2).P=P∞,l1//l2.即P∞為l1,l2方向上的無窮遠點.目標(biāo)：構(gòu)造P∞的齊次坐標(biāo)，使之僅與l1,l2的方向(斜率)有關(guān).

因l1//l2.

故前述x3=0.考慮取(x1,x2,0)為P∞的齊次坐標(biāo).只要證明x1,x2僅與li的方向(斜率)有關(guān).當(dāng)li不平行于y軸時，即x1≠0.不難證明其中k為li的斜率,即(x1,x2,0)表示方向為k的無窮遠點.特別地,若x2=0,則表示x軸上的無窮遠點.

當(dāng)li平行于y軸時，k=∞.可合理地取(0,x2,0)(x2

0)為y軸上無窮遠點的齊次坐標(biāo).引出定義2.二維齊次點坐標(biāo)§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)本課件是可編輯的正常PPT課件定義1.26有窮遠點方向為k=x2/x1的無窮遠點非齊次齊次坐標(biāo)關(guān)系注對二維齊次點坐標(biāo)定義的進一步理解y軸上的無窮遠點2.二維齊次點坐標(biāo)§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)(x,y)x=x1/x3,y=x2/x3(x1,x2,x3)(x3

0)(x1,x2,0)(x1

0)(k=x2/x1)(0,x2,0)(x2

0)無窮遠點本課件是可編輯的正常PPT課件(1).

P

,

都有齊次坐標(biāo)(x1,x2,x3).對于通常點x3

0;對于無窮遠點x3=0,但x12+x22

0.反之,任給(x1,x2,x3)(x12+x22+x32

0),都對應(yīng)唯一一點P

.(0,0,0)不是任何點的齊次坐標(biāo).(2).對任意的0

R,(x1,x2,x3)與(

x1,

x2,

x3)是同一點的齊次坐標(biāo).因此,平面上每個點都有無窮多個齊次坐標(biāo),同一點的任意兩個齊次坐標(biāo)之間相差一個非零比例常數(shù).(3).原點：(0,0,x3),特別地(0,0,1);無窮遠點(x1,x2,0),若x1

0,則可表為(1,k,0),其中k為該無窮遠點的方向(斜率).

特別地,x軸上的無窮遠點為(1,0,0),y軸上的無窮遠點為(0,1,0).(4).平面上點的齊次坐標(biāo)的集合為(3維實向量類的集合)：此即拓廣平面的線叢模型.2.二維齊次點坐標(biāo)§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)本課件是可編輯的正常PPT課件二、二維齊次點坐標(biāo)例1求下列各點的齊次坐標(biāo).(1).齊次坐標(biāo)(一般形式)特定一組(2).求直線上的無窮遠點.斜率代入所求無窮遠點為即(4,3,0).上的無窮遠點為§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)本課件是可編輯的正常PPT課件三、直線的齊次坐標(biāo)方程定理1.17在齊次坐標(biāo)下，直線的方程為(1.14)反之，(1.14)表示直線.稱(1.14)為直線的齊次方程.注：定理1.17不僅給出了拓廣平面上直線的齊次方程，還對通常直線提供了齊次、非齊次方程互化的方法.歸納點的齊次坐標(biāo)是一個雙射

,即拓廣平面上的點坐標(biāo)映射§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)推論1.4過原點的直線的齊次方程為u1x1+u2x2=0.特別地,x軸:x2=0,y軸:x1=0,l∞:x3=0.本課件是可編輯的正常PPT課件今日作業(yè)P.36:

2;3TheClassisover.Goodbye!§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)本課件是可編輯的正常PPT課件改變一下你的幾何學(xué)觀點點直線曲線坐標(biāo)方程點的軌跡點幾何學(xué)線幾何學(xué)方程坐標(biāo)直線族的包絡(luò)四、齊次線坐標(biāo)§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)

線幾何學(xué)：以直線為基本幾何元素去表達其他幾何對象調(diào)整你的思維天平！本課件是可編輯的正常PPT課件四、齊次線坐標(biāo)1.定義定義1.27將直線l：中的系數(shù)形成的有序數(shù)組稱注2齊次線坐標(biāo)與齊次點坐標(biāo)有完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì).注3y軸：x軸：過原點的直線：

思考：注3中這些直線的齊次坐標(biāo)分別與哪些點的齊次坐標(biāo)相同(忽略括號差別)？注4由定義,方程系數(shù)坐標(biāo)實現(xiàn)互化,故

由

誘導(dǎo).注1齊次線坐標(biāo)是一個雙射

,稱為拓廣平面上的線坐標(biāo)映射.§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)記作[u1,u2,u3].為l的齊次線坐標(biāo).本課件是可編輯的正常PPT課件

定理1.18設(shè)在拓廣平面

上給定了齊次點、線坐標(biāo)映射.則直線u經(jīng)過點x

2.點的齊次方程§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)

定義1.28在齊次坐標(biāo)下，稱一次齊次方程(1.15)為具有齊次點坐標(biāo)x=(x1,x2,x3)的點的齊次線坐標(biāo)方程.本課件是可編輯的正常PPT課件2.點的齊次方程§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)四、齊次線坐標(biāo)注對(1.14)的新理解.(1.14)

變(流動)不變(常數(shù))直線u的方程幾何意義動點x在定直線u上；定直線u為動點x的軌跡點幾何觀點線幾何觀點不變(常數(shù))

變(流動)點x的方程動直線u過定點x；定點x為動直線u的包絡(luò)

因此，將一般形式的(1.14)稱為點與直線的齊次關(guān)聯(lián)關(guān)系.點、直線統(tǒng)稱為幾何元素.給定齊次方程本課件是可編輯的正常PPT課件五、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論(1).兩點a,b重合

(1)'.兩直線a,b重合

§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)(2).相異兩點a,b連線方程為(2)'.相異兩直線a,b交點方程為坐標(biāo)為坐標(biāo)為本課件是可編輯的正常PPT課件(3).相異三點a,b,c共線

(3)'.相異三直線a,b,c共點

(4).點c在相異兩點a,b連線上

點c的齊次坐標(biāo)可表示為la+mb(l2+m20).§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)(4)'.直線c經(jīng)過相異兩直線a,b交點

直線c的齊次坐標(biāo)可表示為la+mb(l2+m20).五、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論

注：若三點(直線)a,b,c不共線(點),則上述矩陣滿秩.本課件是可編輯的正常PPT課件(5).相異三點a,b,c共線

存在p,q,r(pqr≠0)使得§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)五、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論(5)'.相異三直線a,b,c共點

存在p,q,r(pqr≠0)使得(6).相異三點a,b,c共線

可適當(dāng)選取其齊次坐標(biāo),使得(6)'.相異三直線a,b,c共點

可適當(dāng)選取其齊次坐標(biāo),使得a+b+c=0,或c=a+b.a+b+c=0,或c=a+b.pa+qb+rc=0.pa+qb+rc=0.本課件是可編輯的正常PPT課件(7).設(shè)a,b,c為平面上不共線三點.則平面上任一點d的坐標(biāo)可表為

d=la+mb+nc(l2+m2+n2

0).§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)五、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論(7)'.設(shè)a,b,c為平面上不共點三直線.則平面上任一直線d的坐標(biāo)可表為

d=la+mb+nc(l2+m2+n2

0).

證明.見教材,請自學(xué)(其證明過程可解決本節(jié)習(xí)題13).(8).設(shè)a,b,c,d為平面上無三點共線的四點.則可適當(dāng)選取a,b,c,d的坐標(biāo),使得

a+b+c+d=0,或d=a+b+c.(8)'.設(shè)a,b,c,d為平面上無三線共點的四直線.則可適當(dāng)選取a,b,c,d的坐標(biāo),使得

a+b+c+d=0,或d=a+b+c.本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)六、齊次笛氏坐標(biāo)系1、一對重要的基本圖形

三點形(不共線三點及其兩兩連線構(gòu)成的圖形)頂點：A,B,C邊：BC,CA,AB顯然，三點形和三線形都是中心射影下的不變圖形.

三線形(不共點三直線及其兩兩交點構(gòu)成的圖形)邊：a,b,c頂點：b

c,c

a,a

b記號：三點形ABC記號：三線形abc本課件是可編輯的正常PPT課件今日作業(yè)P.37:

4;7(2),(4),(6),(8);8(1),(2),(3);9;11;13TheClassisover.Goodbye!§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)六、齊次笛氏坐標(biāo)系1、一對重要的基本圖形

三點形(不共線三點及其兩兩連線構(gòu)成的圖形)頂點：A,B,C邊：BC,CA,AB顯然，三點形和三線形都是中心射影下的不變圖形.

三線形(不共點三直線及其兩兩交點構(gòu)成的圖形)邊：a,b,c頂點：b

c,c

a,a

b記號：三點形ABC記號：三線形abc本課件是可編輯的正常PPT課件2.二維齊次笛氏坐標(biāo)系

在拓廣平面上任取定一個笛氏坐標(biāo)系.記原點為O,x軸上的無窮遠點為X

,y軸上的無窮遠點為Y

,則X

(1,0,0),Y

(0,1,0),O(0,0,1)不共線.§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)

為使當(dāng)X

,Y

,O取不同齊次坐標(biāo),上式總表示同一點X(x1,x2,x3).另取定點I(1,1,1),規(guī)定(推論1.6)當(dāng)X

,Y

,O取不同齊次坐標(biāo)時必須滿足單位點規(guī)則坐標(biāo)三點形：X

Y

O

；單位點：I；

平面上任一點X(x1,x2,x3)可表為六、齊次笛氏坐標(biāo)系二維齊次笛氏坐標(biāo)系：(X

Y

O|I).本課件是可編輯的正常PPT課件3.一維齊次笛氏坐標(biāo)系

設(shè)l為拓廣平面上的任一拓廣直線.在l上取定相異三點A,B,E.由推論1.5規(guī)定單位點規(guī)則§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)于是,有序?qū)崝?shù)偶(x1,x2)成為l上的點的一種一維齊次坐標(biāo).基點：A,B；單位點：E；

則在單位點規(guī)則的約束下,l上任一點P的齊次坐標(biāo)可表為六、齊次笛氏坐標(biāo)系一維齊次笛氏坐標(biāo)系：(AB|E).

注：上述定義是將l作為拓廣平面的子空間,并在拓廣平面的一個取定的二維齊次笛氏坐標(biāo)系下給出的.本課件是可編輯的正常PPT課件§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)4.直線上點的非齊次參數(shù)表示六、齊次笛氏坐標(biāo)系

約定在實數(shù)集R上添加一個新的“數(shù)”,稱為無窮大.記稱為拓廣的實數(shù)集,其中關(guān)于無窮大的運算規(guī)定如下于是,在令

=x2/x1,得這是一個雙射稱為l的點集以A,B為基點的非齊次參數(shù)表示.規(guī)定當(dāng)

=

時,P=B.本課件是可編輯的正常PPT課件關(guān)于P.34例1.3的說明令其中

為非零比例常數(shù).§

1.3拓廣平面上的齊次坐標(biāo)注在單位點規(guī)則的約束下,上述的

將是唯一的.六、齊次笛氏坐標(biāo)系

題中暗含:

取E=A+B為單位點.即單位點規(guī)則為

(5,3,1)=(3,1,1)+(7,5,1).0

R

方法一思想:

以(AB|E)為坐標(biāo)系,求出C的齊次坐標(biāo)(l,m),再化成非齊次參數(shù)表示,得

=m/l=3.

方法二思想:

以(AB|E)為坐標(biāo)系,直接按非齊次參數(shù)表示格式求出

=3.所謂“消去

”,其過程為其它例題,請自學(xué).本課件是可編輯的正常PPT課件今日作業(yè)P.38

15TheClassisover.Goodbye!§

1.1,2,3習(xí)題課本課件是可編輯的正常PPT課件點X,坐標(biāo)X(x1,x2,x3)按規(guī)則流動直線u的方程提取系數(shù)直線u,坐標(biāo)u[u1,u1,u3]點X的方程提取系數(shù)按規(guī)則流動8對重要的基本結(jié)論本課件是可編輯的正常PPT課件§1.4射影平面一、實射影平面(二維實射影空間)無定義基本元素：點，直線約定1.2點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系定義1.30設(shè)P的元素稱為點.L的元素稱為直線.P與L的元素之間有一個關(guān)系稱為關(guān)聯(lián)關(guān)系,滿足下列公理公理P

存在一對雙射對于任意的點P

P和任意的直線l

L,若則P與l相關(guān)聯(lián)

u1x1+u2x2+u3x3=0.則稱

為一個以P為點集,L為直線集的實射影平面(二維實射影空間),記作

=(P,L).上述一對雙射(

,

)稱為

上的一個射影坐標(biāo)映射,分別稱

為點坐標(biāo)映射;

為線坐標(biāo)映射.本課件是可編輯的正常PPT課件§1.4射影平面二、實射影平面的模型模型(實現(xiàn))是對集合P,L的元素賦予具體意義,使之滿足定義1.30,是一個具體的射影平面.可在任何模型上展開射影幾何研究.幾何的模型：拓廣平面——用綜合的方法研究射影幾何.代數(shù)的模型：算術(shù)平面

R=(RP2,(RP2)*)——用解析法研究.拓廣平面算術(shù)平面坐標(biāo)映射實射影平面

=(P,L)對偶平面

*

=(L,P)對偶映射注關(guān)于對偶映射,今后將會不斷地闡述、應(yīng)用.

拓撲模型：實射影平面是虧格為0的不可定向的閉曲面,完全不同于通常的平面(可定向的開曲面).本課件是可編輯的正常PPT課件§1.4射影平面三、射影坐標(biāo)變換

定義.

在射影平面上取定一個有序四點組A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1),I(1,1,1),規(guī)定無論如何選取A1,A2,A3,I的齊次坐標(biāo),總成立單位點規(guī)則(1.17)則該四點組構(gòu)成平面上一個原始的射影坐標(biāo)系,記作(A1A2A3|I).稱A1A2A3為坐標(biāo)三點形，I為單位點.點與直線在這坐標(biāo)系下的坐標(biāo)稱為原始坐標(biāo),即由定義1.30確定的坐標(biāo).注拓廣平面是一個實射影平面,其上的齊次笛氏坐標(biāo)系(X

Y

O|I)是一個原始的射影坐標(biāo)系.

因此,§1.3的8對重要的基本結(jié)論在射影坐標(biāo)下成立.

X(x1,x2,x3)

,有

X=x1A1+x2A2+x3A3,(0

R)為唯一表示.本課件是可編輯的正常PPT課件§1.4射影平面

證明只要證對平面上任意一點X,(PQR|E)可唯一確定其點坐標(biāo)映射.設(shè)X的原始坐標(biāo)為(x1,x2,x3),則由線性代數(shù)知識以及式(1.18),存在唯一向量類(x1',x2',x3')

RP2,滿足(1.19)于是(1.19)唯一確定了點X在射影坐標(biāo)系(PQR|E)下的一個齊次射影坐標(biāo)(x1',x2',x3').三、射影坐標(biāo)變換

定理1.25在射影平面上任意取定有序四點組P,Q,R,E,滿足

(1)P,Q,R,E中任何三點不共線;(2)選取這四點的原始坐標(biāo)時,滿足單位點規(guī)則(1.18)則這四點構(gòu)成一個射影坐標(biāo)系(PQR|E).稱PQR為坐標(biāo)三點形,

E為單位點.本課件是可編輯的正常PPT課件注1在(PQR|E)下,P,Q,R,E各有一個齊次坐標(biāo)為P(1,0,0),Q(0,1,0),R(0,0,1),E(1,1,1).注2因為P,Q,R不共線,所以|pi

qi

ri|≠0,即(1.19)式為非奇異線性變換,稱為兩種射影坐標(biāo)之間的射影坐標(biāo)變換.注3按坐標(biāo)變換新、老坐標(biāo)的書寫習(xí)慣,(1.19)式是傳統(tǒng)的坐標(biāo)變換的逆式,今后可直接使用.§1.4射影平面三、射影坐標(biāo)變換注4對于任意給定的不共線三點P,Q,R,可逕取E(pi+qi+ri)為新單位點,必滿足單位點規(guī)則.本課件是可編輯的正常PPT課件§1.4射影平面(1.19)三、射影坐標(biāo)變換

推論1.7設(shè)(A1A2A3|I)為平面上原始的射影坐標(biāo)系,P,Q,R,E為任意給定的無三點共線的有序四點組.則存在唯一的非奇異線性變換注5(1.19)是一個非奇異線性變換,視其為射影平面上在坐標(biāo)系(A1A2A3|I)下表達的點變換.由上述注1,這個點變換把有序四點組P,Q,R,E變?yōu)橛行蛩狞c組A1,A2,A3,I,由定理1.25,此變換唯一存在.將有序四點組P,Q,R,E變成有序四點組A1,A2,A3,I.本課件是可編輯的正常PPT課件§1.4射影平面四、實射影直線(一維實射影空間)

定義1.31在射影直線上取定相異三點P,Q,E,選取其二維齊次坐