/2024-2025學(xué)年河南省安陽市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】B【分析】本題所給的是一個全稱命題，對于全稱命題的否定，要注意量詞的變化，要注意命題中結(jié)論的變化．【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以只需將原命題中的全稱量詞改為存在量詞，并對結(jié)論進(jìn)行否定．故.故選：B.2.已知集合，或，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求得答案.【詳解】依題意，.故選：A3.已知向量，，若，則（）A.或 B.C.2 D.4【正確答案】D【分析】利用向量垂直得到，從而得到方程，求出答案.【詳解】，故，解得.故選：D4.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則求解即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)且單調(diào)遞增，因此，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.5.已知，，，則（）A B. C. D.【正確答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與臨界值比較的值，從而得解.【詳解】因?yàn)?，即，，即，所?故選：D.6.已知函數(shù)是定義在上的圖象連續(xù)不間斷的奇函數(shù)，且，若，則的值域是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合分析可知，再結(jié)合奇函數(shù)的對稱性分析求解即可.【詳解】因?yàn)椋芍?，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且連續(xù)不斷，則，則，且，可知，由奇函數(shù)對稱性可知：時，，且，，所以在定義域的值域?yàn)?故選：B.7.如圖是函數(shù)的部分圖象，記的導(dǎo)函數(shù)為，則下列選項(xiàng)中值最小的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可判斷.【詳解】由圖知，，，，所以排除A，B；設(shè)的圖象在處的點(diǎn)為，顯然的斜率小于在處的切線斜率，則，且，可轉(zhuǎn)化為，所以的值最小，排除D.故選：C.8.過拋物線：的焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，使得其中的一條與相交于，，另外一條與相交于，，設(shè)，分別是線段，的中點(diǎn)，則的面積的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立直線的方程與拋物線方程，求坐標(biāo)，同理求坐標(biāo)，表示的面積，再求其最值.【詳解】設(shè)直線的斜率為，則的斜率為，則直線的方程為，由消去并整理，得.設(shè)，，則，所以，同理，所以，因?yàn)?，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的面積的最小值為4.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，其中i為虛數(shù)單位，若，，為純虛數(shù)，為實(shí)數(shù)，則（）A. B.的虛部為 C. D.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求，即可得判斷AB；根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念運(yùn)算求解，即可判斷CD.【詳解】因?yàn)椋?，可得，對于A：，故A正確；對于B：的虛部為，故B錯誤；對于C：因?yàn)闉榧兲摂?shù)，可得，即，故C正確；對于D：因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，可得，即，故D正確；故選：ACD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，直線與圖象的其中兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于軸對稱 D.在上的最小值為【正確答案】ABD【分析】由圖象可得的周期，由周期與的關(guān)系求，由，結(jié)合求，結(jié)合函數(shù)圖象變換及正弦型函數(shù)的對稱性判斷C，求的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此求其最小值，判斷D.【詳解】A：由題意得的周期為，又，所以，故A正確；B：因?yàn)椋?，又所以，又，觀察圖象可得，所以，故B正確；C：由B知，所以，所以的圖象不關(guān)于軸對稱，故C錯誤；D：由，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，故D正確.故選：ABD11.已知，，，是坐標(biāo)平面上的兩個動點(diǎn)，為正常數(shù)，設(shè)滿足的點(diǎn)的軌跡為曲線，滿足的點(diǎn)的軌跡為曲線，則（）A.關(guān)于軸、軸均對稱B.當(dāng)點(diǎn)不在軸上時，C.當(dāng)時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1D.當(dāng)，有公共點(diǎn)時，【正確答案】ACD【分析】對于A，寫出軌跡方程，將，代入即可判斷，對于B，由三角形兩邊之差小于第三邊即可判斷，對于C，通過即可判斷，對于D，聯(lián)立方程，得到，結(jié)合橢圓范圍可判斷.【詳解】設(shè)，由，得，將代入得到，將將代入得到，所以關(guān)于軸、軸均對稱，A正確；當(dāng)不在軸上時，與不共線，可以作為一個三角形三個頂點(diǎn)，所以，B錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，可得：，解得：，此時，即，故當(dāng)時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1，C正確；由，得為橢圓，易得方程為，所以，代入，得，所以，因?yàn)?，所以，解得：或舍去，D正確；故選：ACD方法點(diǎn)睛：曲線關(guān)于軸、軸的對稱對稱性問題，可將，代入曲線方程，是否滿足即可判斷.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______.【正確答案】16【分析】由等差數(shù)列求和公式列出方程，求得首項(xiàng)、公差即可求解.【詳解】由，，可得：，解得：，所以，故1613.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)，，，且，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】設(shè)，根據(jù)線段比值得到的軌跡，再判斷點(diǎn)在軌跡內(nèi)外，從而得到其范圍.【詳解】設(shè)，因，所以，化簡，得，即的軌跡是圓，因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以，所以.故答案為.14.從球外一點(diǎn)作球表面的三條不同的切線，切點(diǎn)分別為，，，，若，則球的表面積為______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意分析可知為直角三角形，進(jìn)而可知點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為的外心，則必在的延長線上，結(jié)合切線性質(zhì)可得球的半徑，進(jìn)而可得表面積.【詳解】由圓的切線長定理得，，因?yàn)?，，，則，，即，可知，所以為直角三角形，其外心為的中點(diǎn)，又因?yàn)椋芍c(diǎn)在平面內(nèi)的投影為的外心，即平面，所以必在的延長線上，且A為切點(diǎn)，則，由射影定理得，且，即，可得，則，所以球的表面積為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)切線性質(zhì)分析可知為直角三角形，進(jìn)而可知點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為的外心，進(jìn)而確定球心的位置，即可運(yùn)算求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，為AC邊的中點(diǎn)，求BD的長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理和得到，求出；（2）由向量基本定理得到，兩邊平方，結(jié)合，求出，得到.【小問1詳解】，由正弦定理得，由于，故，所以，因?yàn)?，所以，故，，因?yàn)锽∈0,π，所以【小問2詳解】為AC邊的中點(diǎn)，故，兩邊平方得，又，，，所以，故.16.已知函數(shù)，其中，.（1）當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；（2）當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）直接求導(dǎo)代入得到斜率，再寫出點(diǎn)斜式方程即可；（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上必存在變號零點(diǎn)，再設(shè)新函數(shù)求導(dǎo)研究即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域?yàn)?，所以，所以的圖象在處的切線方程為，即.【小問2詳解】當(dāng)時，，定義域?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上存在極值，所以在上必存在變號零點(diǎn)，令，則在上必存在變號零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，解得，?dāng)時，，且在上單調(diào)遞增，又，故存在，使得，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故為的極小值點(diǎn)，符合題意，故的取值范圍為.17.在平面圖形AEBCD（如圖1）中，已知，，，，將沿著AB折起到的位置，使得，連接DP，得到四棱錐，如圖2所示.（1）求證：；（2）求平面ADP與平面CDP夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用線面垂直的判定、性質(zhì)，結(jié)合勾股定理的逆定理推理得證.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，平面ADP與平面CDP的法向量，再利用面面角的向量求法求解.【小問1詳解】四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，由，，得，則，，又，于是四邊形為平行四邊形，，，由，得，則，，而，平面，于是平面，又平面，則，又，平面，因此平面，而平面，所以.【小問2詳解】在平面內(nèi)過點(diǎn)作，由（1）知平面，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則，所以平面ADP與平面CDP夾角的余弦值是.18.已知雙曲線：的一條漸近線的斜率為，直線的方程為.（1）若與的左、右兩支分別相交，求的取值范圍；（2）當(dāng)，2時，對應(yīng)的曲線分別為，，設(shè)直線與的左、右兩支依次相交于點(diǎn)，，直線與的左、右兩支依次相交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積與的面積相等.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，再利用判別式和韋達(dá)定理式即可得到不等式組，解出即可；（2）代入和結(jié)合韋達(dá)定理得到，即證明面積相等.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的斜率為，所以，所以，聯(lián)立消去并整理，得，因?yàn)榕c的左、右兩支分別相交，所以，因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍?【小問2詳解】設(shè)，當(dāng)時，由（1）中及韋達(dá)定理，得，當(dāng)時，由（1）中及韋達(dá)定理，得，所以與中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為.因?yàn)椋?，，在同一直線上，所以與中點(diǎn)重合，設(shè)該中點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以的面積與的面積相等.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理和判別式得到不等式組，解出即可得到范圍.19.在數(shù)列中，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，并規(guī)定，定義集合，中元素的個數(shù)為.（1）在數(shù)列中，若，，，，，，，，求；（2）若，滿足，①證明：集合非空；②證明：當(dāng)，時，.【正確答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析.【分析】（1）由條件，結(jié)合定義求結(jié)論；（2）①先證明若對中的任意正整數(shù)，滿足，則，再證明若在中存在最小，使得，則，由此證明結(jié)論；②先證明，由此證明，再證明，，結(jié)合關(guān)系證明結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)?，，，，，，，，，因?yàn)?，所以所以，【小?詳解】①證明：由已知得，若對中的任意正整數(shù)，滿足，則，即，所以；若在中存在，使得為中從左到右出現(xiàn)的第一個正數(shù)，則，所以.綜上所述，集合非空.②由集合非空，設(shè)(不妨設(shè)從小到大排列)，顯然.由集合的定義知，且是使得成立