/2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)全集，集合，集合，則集合（）A． B． C． D．2．中文“函數(shù)”一詞，最早是由清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯而得，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，下列選項(xiàng)中是同一個(gè)函數(shù)的是（）A． B．C． D．和3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C．3 D．25．已知，，，則（）A． B． C． D．6．已知，則（）A． B． C． D．7．已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值10時(shí)，面積的最大值為（

）A．25 B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，若，且的最小值為，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．函數(shù)，，若與在有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則下列的取值可能是（）A． B． C． D．11．在邊長為6的菱形中，，現(xiàn)將沿折起到的位置，使得二面角是銳角，則三棱錐的外接球的表面積可以是（）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù).13．已知等差數(shù)列（）中，，成等比數(shù)列，，則.14．已知拋物線，過B的直線交W于M，N兩點(diǎn)，若四邊形AMCN為等腰梯形，則它的面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，求的周長.16．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．若橢圓過拋物線的焦點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求直線的方程．18．已知函數(shù)．(1)求證：；(2)過點(diǎn)作直線與函數(shù)的圖象均相切，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最大值．19．已知等差數(shù)列，若存在有窮等比數(shù)列，滿足，其中，則稱數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”．(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，寫出數(shù)列的一個(gè)長度為的“等比伴隨數(shù)列”；(2)等差數(shù)列的公差為，若存在長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值；(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值．

答案1．【正確答案】D【詳解】由，解得或，∴，∴，∴.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】對于A，和定義域均為R，，故和定義域相同，對應(yīng)關(guān)系不同，和不是同一個(gè)函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，和定義域均為R，，故和定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，和是同一個(gè)函數(shù)，故B正確；對于C，定義域?yàn)槎x域?yàn)?，故和定義域不相同，和不是同一個(gè)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，定義域?yàn)槎x域?yàn)?故和定義域不相同，和不是同一個(gè)函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B.3．【正確答案】C【詳解】由題意得，則，對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C4．【正確答案】A【詳解】由題知，，則，，則.故選：A5．【正確答案】B【詳解】依題意得，，，，所以，故，故選：B.6．【正確答案】B【詳解】由，則，化簡得，所以，由.故選：B7．【正確答案】B【詳解】由題意得，故，如圖所示，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號，∴的最小值為，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，而到漸近線的距離，又，故，∴，即面積的最大值為.故選：B.8．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，作出的大致圖象，如圖，

令，由圖象可得，因?yàn)椋?，即，則，令，則，令，解得，當(dāng)，即時(shí)，，則，單調(diào)遞減，則，解得，符合；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，解得，不符合；綜上，.故選B.9．【正確答案】AD【詳解】由不等式的性質(zhì)知，，則，故A正確；當(dāng)時(shí)，，但，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，但，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，，所以，即，故D正確.故選：AD10．【正確答案】ABC【詳解】當(dāng)增大時(shí)，函數(shù)周期越小，函數(shù)圖象在不斷被“壓縮”，交點(diǎn)個(gè)數(shù)與隨之發(fā)生變化，只需找到相應(yīng)的使得有個(gè)交點(diǎn)即可，考慮的解，這代表在兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)的的取值，這等價(jià)于，所以，對應(yīng)第一個(gè)值為，如圖，類似，直到當(dāng)，時(shí)，第一次出現(xiàn)個(gè)交點(diǎn)，如圖，，即時(shí)，第一次出現(xiàn)個(gè)交點(diǎn)，如圖，因?yàn)橐笥袀€(gè)交點(diǎn)，所以處于上述兩個(gè)值之間，即.故選：ABC.11．【正確答案】ACD【詳解】解：如圖，由菱形邊長為6，，可知是邊長為6的正三角形，取的中點(diǎn)為，連接，則，所以是二面角的平面角，設(shè)，外接球球心為，取分別為靠近的三等分點(diǎn)，連接，則平面，平面，連接，因?yàn)椋栽谥?，，即，所以，由，可知，所以，故，所?結(jié)合選項(xiàng)可知，ACD符合，B不符合.故選：ACD12．【正確答案】?2【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，所以，且且所以.故答案為.13．【正確答案】25或13；【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，所以或，若，則，，則，，，，故13或25.14．【正確答案】【詳解】易知M，N的位置交替不影響結(jié)論，不妨令圖像如圖所示以方便研究，解法一：由等腰梯形的性質(zhì)得：，相似比為，所以，設(shè)直線MN為，與拋物線方程聯(lián)立，得，所以，，解得，代入得，又因?yàn)?，由勾股定理可確定，可得，所以AMCN為等腰梯形的面積為；解法二：（二級結(jié)論）由題可知，點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線頂點(diǎn)對稱，且弦MN經(jīng)過點(diǎn)B，則，（二級結(jié)論）又因?yàn)锳MCN為等腰梯形，所以，則，故，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，又因?yàn)?，所以，且，所以AMCN為等腰梯形的面積為；故答案為.15．【正確答案】(1)(2)6【詳解】（1）由得，，即，故，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)锽∈0,π，所以，故，因?yàn)?，所以；?），由正弦定理得，因?yàn)?，所以，由?）知，，由余弦定理得，解得，故，所以，所以的周長為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以．過作，垂足為，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，，，，，所以，則，由得，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，平面，所以平面．?）由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，過且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)為依題意可得，，則，所以橢圓的方程為；（2）根據(jù)題意，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，可得，消去并整理可得，，則，，由弦長公式可得，，又點(diǎn)到直線的距離為，依題意，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即或，此時(shí)均滿足，的面積取得最大值為,此時(shí)直線l的方程為或即或18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式，令，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，因此，所以.（2）依題意，，設(shè)直線與函數(shù)圖象相切的切點(diǎn)為，則切線的方程為：，又直線過點(diǎn)，于是，整理得，即，令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)增，又，因此，切線的方程為，由與函數(shù)的圖象相切，得，即，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的值是.（3）①當(dāng)時(shí)，，則，使，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，則，又由（1）知，，因此，不合題意；③當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，則，令，求導(dǎo)得，由，得時(shí)；由，得時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，即當(dāng)時(shí)，不合題意，所以的最大值為.19．【正確答案】(1)（答案不唯一）(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列滿足要求，所以數(shù)列的一個(gè)長度為的“等比伴隨數(shù)列”為（答案不唯一）.（2）由題意可知，，所以，聯(lián)立，所以，即，聯(lián)立，所以，即，聯(lián)立，所以，即，由上可知，，當(dāng)時(shí)，取的前項(xiàng)為，經(jīng)驗(yàn)證可知滿足條件，綜上所述，.（3）設(shè)數(shù)列