題型四閱讀理解型題型專練1.(2021廣西北部灣經(jīng)濟區(qū),12,3分)定義一種運算:a*b=a,a≥b,b,a<b.則不等式(2x+1)A.x>1或x<13 B.-1<x<C.x>1或x<-1 D.x>13或x答案C由題意,原不等式可轉(zhuǎn)化為Ⅰ.2Ⅱ.2x+1<2-x,2-x>3.解Ⅰ得x>1,解Ⅱ得x<-1,所以不等式(2x+1)*(2-x2.(2021內(nèi)蒙古包頭,7,3分)定義新運算“”,規(guī)定:ab=a-2b.若關(guān)于x的不等式xm>3的解集為x>-1,則m的值是 ()A.-1 B.-2 C.1 D.2答案B由題意可得xm=x-2m.∵x-2m>3,∴x>3+2m.又xm>3的解集為x>-1,∴3+2m=-1,∴m=-2.3.(2021甘肅武威,9,3分)對于任意的有理數(shù)a,b,如果滿足a2+b3=a+b2+3,那么我們稱這一對數(shù)a,b為“相隨數(shù)對”,記為(a,b).若(m,n)是“相隨數(shù)對”,則3m+2[3m+(2n-1)]A.-2 B.-1 C.2 D.3答案A由“相隨數(shù)對”定義可得m2+n3=又∵m2+n3=∴m+n2+3整理得9m+4n=0,∴3m+2[3m+(2n-1)]=9m+4n-2=-2.思路分析通過分式的加法運算和“相隨數(shù)對”定義兩種方式來表示m2+n3,從而得到m與n的關(guān)系,4.(2020四川成都,23,4分)如圖,六邊形ABCDEF是正六邊形,曲線FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六邊形的漸開線”,FA1,A1B1,B1C1,C1D1,D1E1,E1F1,…的圓心依次按A,B,C,D,E,F循環(huán),且每段弧所對的圓心角均為正六邊形的一個外角.當AB=1時答案7π解析∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC=∠BCD=120°,∴∠FAA1=∠A1BB1=∠B1CC1=∠C1DD1=∠D1EE1=∠E1FF1=60°.∵AB=BC=CD=DE=EF=FA=1,∴BA1=2,CB1=3,DC1=4,ED1=5,FE1=6,∴曲線FA1B1C1D1E1F1的長度為16×2×π×1+16×2×π×2+16×2×π×3+16×2×π×4+15.(2021內(nèi)蒙古呼和浩特,16,3分)若把第n個位置上的數(shù)記為xn,則稱x1,x2,x3,…,xk有限個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A.定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是:y1,y2,y3,…,yk,其中yn是這個數(shù)列中第n個位置上的數(shù),n=1,2,…,k且yn=0,xn-1=xn+1,1,xn-1≠xn+1,并規(guī)定x0=xk,xk+1=x1.如果數(shù)列A只有四個數(shù),且x1,x答案0,1,0,1解析由已知可得k=4,x2=x4,x1≠x3.①當n=1時,xn-1=x0,xn+1=x2,由規(guī)定知x0=xk=x4,而x2=x4,∴x0=x2,∴y1=0;②當n=2時,xn-1=x1,xn+1=x3,而x1≠x3,∴y2=1;③當n=3時,xn-1=x2,xn+1=x4,而x2=x4,∴y3=0;④當n=4時,xn-1=x3,xn+1=x5,由規(guī)定知x5=x1,而x1≠x3,∴y4=1.∴其“伴生數(shù)列”B是0,1,0,1.6.(2021廣西北部灣經(jīng)濟區(qū),23,8分)【閱讀理解】如圖①,l1∥l2,△ABC的面積與△DBC的面積相等嗎?為什么?解:相等.在△ABC和△DBC中,分別作AE⊥l2,DF⊥l2,垂足分別為E,F.∴∠AEF=∠DFC=90°,∴AE∥DF.∵l1∥l2,∴四邊形AEFD是平行四邊形.∴AE=DF.又S△ABC=12BC·AE,S△DBC=12BC·∴S△ABC=S△DBC.圖①【類比探究】如圖②,在正方形ABCD的右側(cè)作等腰△CDE,CE=DE,AD=4,連接AE,求△ADE的面積.解:過點E作EF⊥CD于點F,連接AF.請將余下的求解步驟補充完整.圖②【拓展應用】如圖③,在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEFG,點B,C,E在同一直線上,AD=4,連接BD,BF,DF,直接寫出△BDF的面積.圖③解析【類比探究】∵△CDE為等腰三角形,EF⊥CD,∴DF=CF=12CD=2又∵EF∥AD,∴S△ADE=12AD·DF=4【拓展應用】連接AC,交BD于點O,連接CF,∵四邊形ABCD、CEFG都是正方形,∴∠DBC=∠FCE=45°,∴BD∥CF.∵BD=AC=2AD=42,∴OC=12AC=22∴S△BDF=12BD·OC=87.(2021貴陽,25,12分)(1)閱讀理解我國是最早了解勾股定理的國家之一,它被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”,后人稱之為“趙爽弦圖”.根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程.(2)問題解決勾股定理的證明方法有很多,圖②是古代的一種證明方法:過正方形ACDE的中心O,作FG⊥HP,將它分成4份.所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形.若AC=12,BC=5,求EF的值.(3)拓展探究如圖③,以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形,再以該直角三角形的兩直角邊為邊分別向外作正方形,重復這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形.設(shè)大正方形N的邊長為定值n,小正方形A,B,C,D的邊長分別為a,b,c,d.已知∠1=∠2=∠3=α,當角α(0°<α<90°)變化時,探究b與c的關(guān)系式,并寫出該關(guān)系式及解答過程(b與c的關(guān)系式用含n的式子表示).圖①圖②圖③解析(1)a2+b2=c2(直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方),圖①是由直角邊分別為a,b的四個全等的直角三角形與一個邊長為(b-a)的小正方形拼成的一個邊長為c的大正方形,圖①∴S正方形ABCD=c2,且S正方形ABCD=4S△DFC+S正方形EFGH=4×12a·b+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2∴a2+b2=c2.(2)如圖②,由題意得,正方形ACDE被分成4個全等的四邊形,設(shè)EF=a,FD=b,∴a+b=12.∵正方形ABIJ由正方形ACDE被分成的4個全等的四邊形和正方形CBLM拼成,∴E'F'=EF,KF'=FD,E'K=BC=5.∵E'F'-KF'=E'K,∴a-b=5,圖②聯(lián)立a解得a=172∴EF=172(3)如圖③,設(shè)正方形E的邊長為e,正方形F的邊長為f,∵∠1=∠2=∠3=α,∴圖中三角形①與②與③都相似,∴ce=en,bf∴e2=cn,f2=bn,又∵e2+f2=n2,∴cn+bn=n2,∴c+b=n.圖③解后反思本題涉及勾股定理,正方形的性質(zhì),二元一次方程組,相似三角形,線段的關(guān)系等知識.(1)由圖①,根據(jù)四邊形ABCD是正方形,邊長為c,可得S正方形ABCD=c2,根據(jù)S正方形ABCD=4S△DFC+S正方形EFGH=4×12a·b+(b-a)2,即可推出a2+b2=c2(2)如圖②,設(shè)EF=a,FD=b,可得a+b=12,根據(jù)正方形ABIJ由正方形ACDE分成的4個全等的四邊形和正方形CBLM拼成,可得a-b=5,即可求出a的值.(3)如圖③,設(shè)正方形E的邊長為e,正方形F的邊長為f,根據(jù)題意可得三角形①與②與③都相似,∴ce=en,bf∴e2=cn,f2=bn,根據(jù)e2+f2=n2,可得cn+bn=n2,即c+b=n.8.(2020內(nèi)蒙古呼和浩特,22,7分)“通過等價變換,化陌生為熟悉,化未知為已知”是數(shù)學學習中解決問題的基本思維方式.例如:解方程x-x=0,就可以利用該思維方式,設(shè)x=y,將原方程轉(zhuǎn)化為:y2-y=0這個熟悉的關(guān)于y的一元二次方程,解出y,再求x,這種方法又叫“換元法”.請你用這種思維方式和換元法解決下面的問題.已知實數(shù)x,y滿足5x2y2+2x+2y解析令xy=a,x+y=b,則原方程組可化為5a2②-①得11a2=275,解得a2=25,代入②可得b=4,∴方程組的解為a=5,x2+y2=(x+y)2-2xy=b2-2a,當a=5時,x(4-x)=5,x2-4x+5=0,Δ=4<0,方程無解.當a=-5時,x2+y2=26,因此x2+y2的值為26.9.(2020寧夏,25,10分)在綜合與實踐活動中,活動小組的同學看到網(wǎng)上購鞋的鞋號(為正整數(shù))與腳長(毫米)的對應關(guān)系如表1:鞋號(正整數(shù))222324252627……腳長(毫米)160±2165±2170±2175±2180±2185±2……表1為了方便對問題的研究,活動小組將表1中的數(shù)據(jù)進行了編號,并對腳長的數(shù)據(jù)bn定義為[bn],如表2:序號n123456……鞋號an222324252627……腳長bn160±2165±2170±2175±2180±2185±2……腳長[bn]160165170175180185……表2定義:對于任意正整數(shù)m、n,其中m>2.若[bn]=m,則m-2≤bn≤m+2.如:[b4]=175表示175-2≤b4≤175+2,即173≤b4≤177.(1)通過觀察表2,猜想出an與序號n之間的關(guān)系式,[bn]與序號n之間的關(guān)系式;(2)用含an的代數(shù)式表示[bn],計算鞋號為42的鞋適合的腳長范圍;(3)若腳長為271毫米,那么應購鞋的鞋號為多大?解析(1)an=21+n. (1分)[bn]=160+5(n-1)=5n+155. (3分)(2)由an=21+n與[bn]=5n+155解得[bn]=5an+50. (5分)把an=42代入an=21+n,得