數(shù)學(xué)蘇教版七年級下冊期末必考知識點(diǎn)試題及解析一、選擇題1．下列運(yùn)算中，正確的是（）A．x2+3x2＝4x4 B．3x3?2x4＝6x7C．（x2）3＝x5 D．（2xy）2＝2x2y2答案：B解析：B【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：A、原式＝4x2，故A不符合題意．B、原式＝6x7，故B符合題意．C、原式＝x6，故C不符合題意．D、原式＝4x2y2，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．如圖，∠1和∠2是同位角的是（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根據(jù)同位角的定義，逐一判斷選項(xiàng)，即可．【詳解】解：A.∠1和∠2是同位角，故該選項(xiàng)符合題意；B.∠1和∠2不是同位角，故該選項(xiàng)不符合題意；C.∠1和∠2不是同位角，故該選項(xiàng)不符合題意；D.∠1和∠2不是同位角，故該選項(xiàng)不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查同位角的定義，掌握“兩條直角被第三條直線所截，在兩條直線的同側(cè)，在第三條直線的同旁的兩個(gè)角，叫做同位角”，是解題的關(guān)鍵．3．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得．【詳解】解：由可得：x≤6﹣5，x≤﹣1．解集在數(shù)軸上表示故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號方向要改變．4．若a＜b，則下列不等式中不一定成立的是（）．A．a(chǎn)+2＜b+1 B． C．a(chǎn)﹣2＜b﹣2 D．﹣2a＞﹣2b答案：A解析：A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【詳解】選項(xiàng)A：∵a＜b∴a+1＜b+1，不能推出a+2＜b+1，故本選項(xiàng)符合題意；選項(xiàng)B：∵a＜b∴，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)C：∵a＜b∴a-2＜b-2，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)D：∵a＜b∴-2a＞-2b，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考察了不等式的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的性質(zhì)，即可完成求解．5．已知關(guān)于，的不等式組：有以下說法：①若它的解集是，則；②當(dāng)時(shí)，它無解；③若它的整數(shù)解只有2，3，4，則；④若它有解，則．其中所有正確說法的序號是（）．A．①②③ B．①②④ C．④ D．②④答案：A解析：A【分析】根據(jù)不等式組的解集的定義，解不等式組，不等式組解集的整數(shù)解等概念，逐項(xiàng)分析即可【詳解】①解不等式①得：解不等式②得：若的解集是則①正確；②當(dāng)時(shí)，原不等式組為：解不等式①得：解不等式②得：則原不等式組無解②正確；③若有解，由①可知解集為：若它的整數(shù)解只有2，3，4，則③正確；④若有解，由①可知解集為：則④不正確.綜上所述，正確的是①②③.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的解集的定義，解不等式組，不等式組解集的整數(shù)解等概念，熟練以上知識是解題的關(guān)鍵．6．下列命題中，是真命題的是（）A．三角形的一條角平分線將三角形的面積平分B．同位角相等C．如果a2＝b2，那么a＝bD．是完全平方式答案：D解析：D【分析】利用三角形的中線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、實(shí)數(shù)的性質(zhì)及完全平方式的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、三角形的一條角中線將三角形的面積平分，故錯(cuò)誤，是假命題；B、兩直線平行，同位角相等，故錯(cuò)誤，是假命題；C、如果a2＝b2，那么a＝±b，故錯(cuò)誤，是假命題；D，D.=，是完全平方式，正確，是真命題，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解三角形的中線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、實(shí)數(shù)的性質(zhì)及完全平方式的定義，難度不大．7．有一列數(shù)：，若，從第2個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于“1與它前面的那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)”，那么的值為（）A． B． C． D．3答案：C解析：C【分析】根據(jù)每一個(gè)數(shù)都等于1與它前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)多列舉幾個(gè)數(shù)字，找出規(guī)律即可．【詳解】解：a1=，，a2=，，a3=3，，a4=，…，從上面的規(guī)律可以看出每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，2021÷3=673......2，∴a2021=a2=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，總結(jié)歸納數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．在數(shù)學(xué)中，為了書寫簡便，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉就引進(jìn)了求和符號．如記，已知，則m的值是（）A．-40 B．20 C．-24 D．-20答案：B解析：B【分析】根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)為3，可得n=4，然后列出算式進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)相等解答即可．【詳解】解：∵二次項(xiàng)的系數(shù)為3，∴n=4，∴==又∵，∴m=20．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方、數(shù)學(xué)常識、整式的混合運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是理解題目中所給已知等式的意義．二、填空題9．計(jì)算：________．解析：【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．10．已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內(nèi)，下列四條命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命題的是___．（填寫序號）解析：③【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系一一判斷即可．【詳解】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，正確，是真命題；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正確，是真命題；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，錯(cuò)誤，應(yīng)該是b∥c，故原命題是假命題；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，正確，是真命題．假命題有③，故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握垂直于同一直線的兩條直線平行，平行于同一直線的兩條直線平行．11．一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于72°，則它的邊數(shù)是________．解析：5【分析】多邊形的外角和是360°，這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角相等，因而用360°除以外角的度數(shù)，就得到外角的個(gè)數(shù)，外角的個(gè)數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：360÷72=5．故它的邊數(shù)是5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)正多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)是常用的一種方法，需要熟記．12．若a＜b＜0，則a2﹣b2___0．（填“＞”，“＜”或“＝”）解析：＞【分析】將a2-b2因式分解為（a+b）（a-b），再討論正負(fù)，和積的正負(fù)，得出結(jié)果．【詳解】解：∵a＜b＜0，∴a+b＜0，a-b＜0，∴a2-b2=（a+b）（a-b）＞0．故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是先把整式a2-b2因式分解，再利用a＜b＜0得到a-b和a+b的正負(fù)，利用負(fù)負(fù)得正判斷大?。?3．如果二元一次方程組的解是，則a﹣b＝___解析：0【分析】將x和y的值代入二元一次方程組，再解方程組即可得出答案.【詳解】解：將代入方程組得：，把②+①×2得，解得把代入①解得∴故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的解，將解代入方程組解方程組即可得出答案.14．如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，AB=25，點(diǎn)P為直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，則線段PC的最小值是______________答案：C解析：12【分析】作CP⊥AB于P，根據(jù)垂線段最短可知此線段PC就是最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出PC即可．【詳解】解：作CP⊥AB于P，如圖：由垂線段最短可知，此時(shí)PC最小，S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×15×20＝×25×PC，解得，PC＝12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的面積公式、垂線段最短．解題的關(guān)鍵是熟知垂線段最短的性質(zhì)．15．在中，AB=6，AC=9，則第三邊BC的值可以是_________．答案：10（答案不唯一）【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出第三邊的取值范圍，再選一個(gè)合適的值即可．【詳解】由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即則第三邊BC的值可以是10故答案為：10（答案不解析：10（答案不唯一）【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出第三邊的取值范圍，再選一個(gè)合適的值即可．【詳解】由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即則第三邊BC的值可以是10故答案為：10（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，熟記三角形的三邊關(guān)系定理是解題關(guān)鍵．16．如右圖，△ABC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后成為△AED，且∠BAD＝120°，則旋轉(zhuǎn)中心為____，旋轉(zhuǎn)角度為____.答案：A120°【解析】∵△ABC經(jīng)過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以與△AED重合，∴旋轉(zhuǎn)中心是A，∵△ABC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后成為△AED，∴旋轉(zhuǎn)角∠DAC=∠EAB=120°.解析：A120°【解析】∵△ABC經(jīng)過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以與△AED重合，∴旋轉(zhuǎn)中心是A，∵△ABC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后成為△AED，∴旋轉(zhuǎn)角∠DAC=∠EAB=120°.17．計(jì)算或化簡（1）（2）（3）答案：（1）0；（2）；（3）【分析】（1）算出零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪和絕對值計(jì)算即可；（2）根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（3）根據(jù)乘法公式計(jì)算即可；【詳解】（1）原式，．（2）原式，．（3解析：（1）0；（2）；（3）【分析】（1）算出零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪和絕對值計(jì)算即可；（2）根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（3）根據(jù)乘法公式計(jì)算即可；【詳解】（1）原式，．（2）原式，．（3）原式，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式混合運(yùn)算，準(zhǔn)確利用零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、絕對值、乘法公式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．將下列各式因式分解（1）xy-4xy（2）x-8xy+16y答案：（1）；（2）．【分析】（1）提出公因式即可得出答案；（2）先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，因式分解的步驟解析：（1）；（2）．【分析】（1）提出公因式即可得出答案；（2）先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，因式分解的步驟：一提，二套，三分組，四檢查，分解要徹底；熟練掌握提公因式法、公式法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．19．解方程組：（1）（2）答案：（1）；（2）．【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程組變形后，利用加減消元法求出解即可．【詳解】解：（1），①+②×2得：12x=15，解得：x=，把x=代入①得解析：（1）；（2）．【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程組變形后，利用加減消元法求出解即可．【詳解】解：（1），①+②×2得：12x=15，解得：x=，把x=代入①得：+6y=3，解得：y=，則方程組的解為；（2）整理得：，①-②得：6y=18，解得：y=，把y=代入②得：-6=18，解得：x=，則方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．20．解不等式組：，把它的解集在數(shù)軸上表示出來并寫出它的負(fù)整數(shù)解．答案：﹣2＜x≤3，圖見解析，負(fù)整數(shù)解為-1．【分析】先分別求出兩個(gè)不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出來，即可求解．【詳解】解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x≤3，∴不等式組的解集為﹣2＜x≤解析：﹣2＜x≤3，圖見解析，負(fù)整數(shù)解為-1．【分析】先分別求出兩個(gè)不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出來，即可求解．【詳解】解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x≤3，∴不等式組的解集為﹣2＜x≤3．把解集在數(shù)軸上表示：∴不等式組的負(fù)整數(shù)解為﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的基本步驟是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．已知：如圖所示，和的平分線交于E，交于點(diǎn)F，．（1）求證：；（2）試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案：（1）見解析；（2），理由見解析【分析】（1）由角平分線的定義及可得，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得兩直線平行．（2）由平行線的性質(zhì)及角平分線的概念分析求解．【詳解】（1）證明：與的角平分線相交于解析：（1）見解析；（2），理由見解析【分析】（1）由角平分線的定義及可得，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得兩直線平行．（2）由平行線的性質(zhì)及角平分線的概念分析求解．【詳解】（1）證明：與的角平分線相交于點(diǎn)E，（2）解：由（1）知，平分又∵【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及平行線的判定和性質(zhì)，難度不大，掌握相關(guān)概念及性質(zhì)正確推理論證是解題關(guān)鍵．22．某共享單車運(yùn)營公司準(zhǔn)備采購一批共享單車投入市場，而共享單車安裝公司由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，準(zhǔn)備招聘一批新工人．已知1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．（1）求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車？（2）共享單車安裝公司原有熟練工a人，現(xiàn)招聘n名新工人（a＞n），由于時(shí)間緊急，工人們安裝的共享單車中不能正常投入運(yùn)營的占5%，若要求必須在30天內(nèi)交付運(yùn)營公司5700輛合格品投入市場，求a、n的所有可能結(jié)果．答案：（1）每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車；（2），，【分析】（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)“1名熟解析：（1）每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車；（2），，【分析】（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)“1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多”列方程組求解即可；（2）根據(jù)“在30天內(nèi)交付運(yùn)營公司5700輛合格共享單車”得出含有n和a的方程，整理得出n和a的關(guān)系，由a＞n解得a的范圍，再根據(jù)n、a均為正整數(shù)可得答案．【詳解】解：（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意，得：解得，答：每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車；（2）根據(jù)題意，得：30×（8n+12a）×（1-5%）=5700，整理，得：，∵a＞n，∴，解得a＞10，∵n、a均為正整數(shù)，∴，，【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系．23．已知關(guān)于的二元一次方程，是不為零的常數(shù)．（1）若是該方程的一個(gè)解，求的值；（2）當(dāng)每取一個(gè)不為零的值時(shí)，都可得到一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，試求出這個(gè)公共解；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若，求整數(shù)n的值．答案：（1）；（2）；（3）【分析】（1）由二元一次方程組的解可求出答案；（2）任取兩個(gè)k的值，不妨取k=1，k=2，得到兩個(gè)方程并組成方程組，解方程組即可；（3）由題意得到方程組，求出k與n的關(guān)解析：（1）；（2）；（3）【分析】（1）由二元一次方程組的解可求出答案；（2）任取兩個(gè)k的值，不妨取k=1，k=2，得到兩個(gè)方程并組成方程組，解方程組即可；（3）由題意得到方程組，求出k與n的關(guān)系式，求出n的取值范圍即可得出答案．【詳解】解：（1）把代入方程，得解得：．（2）任取兩個(gè)的值，不妨取，，得到兩個(gè)方程并組成方程組．解得：即這個(gè)公共解是（3）依題意，得解得．由≤k＜，得≤＜，解得＜≤，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次一次方程的解，解二元一次方程組，解一元一次不等式組等知識，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．24．如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1．（1）當(dāng)∠A為70°時(shí)，∵∠ACD-∠ABD=∠______∴∠ACD-∠ABD=______°∵BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）∴∠A1=______°；（2）∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于A2，∠A2BC與A2CD的平分線交于A3，如此繼續(xù)下去可得A4、…、An，請寫出∠A與∠An的數(shù)量關(guān)系______；（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的角，若∠A+∠D=230度，則∠F=______．（4）如圖3，若E為BA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當(dāng)E滑動(dòng)時(shí)有下面兩個(gè)結(jié)論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠Q-∠A1的值為定值．其中有且只有一個(gè)是正確的，請寫出正確的結(jié)論，并求出其值．答案：（1）∠A；70°；35°；（2）∠A=2n∠An（3）25°（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確，Q+∠A1=180°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD解析：（1）∠A；70°；35°；（2）∠A=2n∠An（3）25°（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確，Q+∠A1=180°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；（2）由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠BAC=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出規(guī)律；（3）先根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根據(jù)內(nèi)角與外角的關(guān)系和角平分線的定義得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，從而得出結(jié)論；（4）依然要用三角形的外角性質(zhì)求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形內(nèi)角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的關(guān)系．【詳解】解：（1）當(dāng)∠A為70°時(shí)，∵∠ACD-∠ABD=∠A，∴∠ACD-∠ABD=70°，∵BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線，∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）∴∠A1=35°；故答案為：A，70，35；（2）∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=2∠A1=80°，∴∠A1=40°，同理可得∠A1=2∠A2，即∠BAC=22∠A2=80°，∴∠A2=20°，∴∠A=2n∠An，故答案為：∠A=2∠An．（3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D），∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，∴360°-（α+β）=180°-2∠F，2∠F=∠A+∠D-180°，∴∠F=（∠A+∠D）-90°，∵∠A+∠D=230°，∴∠F=25°；故答案為：25°．（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確．∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=∠BAC，∵∠AEC+∠ACE