第4章控制系統(tǒng)的頻域分析24.1頻率特性的基本概念圖4-1所示RC

濾波器電路的傳遞函數(shù)：圖4-1RC濾波器電路當(dāng)輸入為

時(shí)，

其輸出信號(hào)的象函數(shù)為：對(duì)其進(jìn)行拉氏反變換，得034.1頻率特性的基本概念由上述可得：在正弦輸入作用下，慣性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出亦為正弦信號(hào)。穩(wěn)態(tài)輸出的幅值是輸入幅值的

倍，相位差（相差）為為的幅值為的相位

在正弦輸入作用下，慣性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出呈現(xiàn)如此特性，那么其他環(huán)節(jié)是否也具有相同特性呢？44.1頻率特性的基本概念控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)當(dāng)輸入為

，即

時(shí)，系統(tǒng)輸出該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)又可描述為其中，分母多項(xiàng)式

中包含有互不相同的單極點(diǎn)

(i=1，2，???，n)，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則其實(shí)部均為負(fù)值。54.1頻率特性的基本概念

其中，

，

為輸入極點(diǎn)處的留數(shù)（為共軛復(fù)數(shù)），(i=1，2，???，n)為系統(tǒng)極點(diǎn)

處的留數(shù)。進(jìn)行拉氏反變換得當(dāng)

時(shí)，對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，上式中的

，

，???，

均趨近于零。因此用部分分式法求得64.1頻率特性的基本概念其中，

；

表示

的幅值，

表示

的相位。即

其中，

為

的虛部，

為

的實(shí)部。將

，

代入式(4-10)得其中，

為輸出正弦信號(hào)的幅值。7控制系統(tǒng)或元件對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱之為頻率響應(yīng)。頻率特性間的關(guān)系如下4.1頻率特性的基本概念84.1頻率特性的基本概念例4-1若圖4-1所示濾波器傳遞函數(shù)為，求當(dāng)輸入電壓時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出電壓。解

該系統(tǒng)頻率特性為其幅頻特性與相頻特性為已知

，可得

。根據(jù)系統(tǒng)頻率特性可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出電壓

。94.2頻率特性圖形表示法在相應(yīng)的坐標(biāo)系中將頻率特性繪成曲線，可直觀地看出幅值比與相位差隨頻率變化的情況。以圖形來(lái)描述系統(tǒng)的頻率特性，通常采用以下兩種形式：1)Nyquist圖2)Bode圖

本節(jié)主要介紹基本環(huán)節(jié)頻率特性、開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制、最小相位系統(tǒng)的概念及重要特性。前言104.2頻率特性圖形表示法4.2.1Nyquist圖114.2頻率特性圖形表示法4.2.1Nyquist圖4．慣性環(huán)節(jié)虛、實(shí)頻特性滿足，所以其奈氏圖為一半圓。124.2頻率特性圖形表示法4.2.1Nyquist圖5．一階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性一階微分環(huán)節(jié)的實(shí)部為常數(shù)1，虛部為

Tω，則其Nyquist圖為一通過(guò)(1，j0)點(diǎn)且平行于虛軸正半軸的直線。

一階微分環(huán)節(jié)頻率特性134.2頻率特性圖形表示法4.2.1Nyquist圖6．振蕩環(huán)節(jié)144.2頻率特性圖形表示法4.2.1Nyquist圖當(dāng)

ω=0時(shí)，幅值為1，相位為0°；當(dāng)

時(shí)，幅值為

，相位為-90°；當(dāng)

ω→∞時(shí)，幅值為0，相位為-180°。振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性154.2頻率特性圖形表示法4.2.1Nyquist圖7．二階微分環(huán)節(jié)ω=0時(shí)，幅值為1，相位為0°；ω=ωn時(shí)，幅值為2ζ，相位為90°；ω→∞時(shí)，幅值為

∞，相位為180°。164.2頻率特性圖形表示法4.2.1Nyquist圖8．延時(shí)環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性

，單位為rad，若化為o則為延時(shí)環(huán)節(jié)頻率特性的幅值為1，相位與

成線性關(guān)系，故延時(shí)環(huán)節(jié)的Nyquist曲線為一單位圓點(diǎn)。

延時(shí)環(huán)節(jié)頻率特性174.2頻率特性圖形表示法4.2.1Nyquist圖例4-2某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

，試?yán)L制其Nyquist圖。解184.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖1．概述對(duì)任一系統(tǒng)

的頻率特性取自然對(duì)數(shù)可得:幅頻特性的對(duì)數(shù)與頻率

ω之間的關(guān)系，稱之為對(duì)數(shù)幅頻特性，:頻率特性的相位與頻率

ω之間的關(guān)系，稱之為對(duì)數(shù)相頻特性。對(duì)數(shù)頻率特性是由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性組成的。在工程計(jì)算中，常用對(duì)數(shù)幅頻特性:單位是分貝，以“dB”表示。194.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖1．概述在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中繪制的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線，合稱為Bode圖。204.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖2．基本環(huán)節(jié)的Bode圖比例環(huán)節(jié)(2)積分環(huán)節(jié)(3)微分環(huán)節(jié)214.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖轉(zhuǎn)折(或轉(zhuǎn)角)頻率(4)慣性環(huán)節(jié)224.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖(5)一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性互為相反數(shù)，所以一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的Bode圖沿橫軸對(duì)稱。一階微分環(huán)節(jié)對(duì)高頻信號(hào)具有超前放大作用。234.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖(6)振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性是

ω和

ζ的函數(shù)。下面討論Bode圖的繪制。244.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖254.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖幅頻特性對(duì)變量

ω

求導(dǎo)，并令其為零解得其中ωn為無(wú)阻尼振蕩頻率（或稱自然頻率）。當(dāng)即時(shí)，諧振頻率

ωr

存在。令ω=ωr可得諧振峰值。264.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖當(dāng)ζ=0時(shí)，

ωn=ωr，

將ζ

和ωn代入可得當(dāng)ζ≠0且

ω=ωn時(shí)，，

將ζ

和ωn代入可得此時(shí)系統(tǒng)的頻率特性

，相位

即此時(shí)振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線通過(guò)(1/T,-90°)。274.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖當(dāng)ω=ωr時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)頻率特性的相位下面對(duì)二階系統(tǒng)最佳阻尼比

進(jìn)行說(shuō)明。二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)若系統(tǒng)完全跟隨給定量由此可知，阻尼比

為系統(tǒng)不出現(xiàn)諧振即

時(shí)響應(yīng)最快的阻尼比，因此，人們把

定義為二階系統(tǒng)的最佳阻尼比。284.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖(7)二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖對(duì)稱于橫軸。294.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖(8)延時(shí)環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性：

φ(ω)=-Tω此式相頻特性的單位為rad，若化為o則為延時(shí)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為0dB線。而對(duì)數(shù)相頻特性與

ω成線性變化。304.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖基本環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性①比例環(huán)節(jié)

②積分環(huán)節(jié)

③微分環(huán)節(jié)

④慣性環(huán)節(jié)

⑤一階微分環(huán)節(jié)

⑥振蕩環(huán)節(jié)

⑦二階微分環(huán)節(jié)314.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖3．系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制例4-3解

(1)(2)(3)作各基本環(huán)節(jié)的Bode圖。324.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖3．系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制(4)將各基本環(huán)節(jié)(比例環(huán)節(jié)除外)疊加得折線

a',向上平移9.5dB，得

a。(5)ω=2

所以0<ωc<2，

ωc=1.2rad/s。(6)類似作G(jω)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。334.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖方法二(1)和(2)同方法一。(3)各基本環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率

ωTi，標(biāo)注于橫軸。(4)繪制G(jω)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線

a’。1)(0，0.4),L1(ω)=20lg3=9.5dB，為一條9.5dB的線段，記為L(zhǎng)1。2)[0.4，2),,為一條斜率為-20dB/dec的斜線段，記為

L2。L2與L1首尾相接。3)[2，40),為一條斜率為0dB/dec的線段,記為

L3。L3與

L2首尾相接。344.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖方法二4)[40，∞)，為一條斜率為20dB/dec的斜線，記為

L4。L4與

L3首尾相接。L1~L4構(gòu)成的折線即

G(jω)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線a。(5)和(6)同方法一中的(5)和(6)，在此不再冗述。354.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖例4-4

某直流電機(jī)比例積分轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函

，繪制其Bode圖。解(1)G1(s)=1.2,,G3(s)=0.5s+1(2)(3)標(biāo)注各基本環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率于橫軸。(4)繪制

G(jω)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。1)G1(jω)G2(jω)在(0，2)頻率段，為一條斜率為-20dB/dec的斜線，記為L(zhǎng)1。

364.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖2)G1(jω)G2(jω)G3(jω)在[2，40)頻率段，為一條斜率為0dB/dec的線段，記為L(zhǎng)2。L2與L1首尾相接。3)G(jω)在[40，∞)頻率段，為一條斜率為-20dB/dec的斜線，記為L(zhǎng)3。L3與L2首尾相接。L1~L3構(gòu)成的折線即G(jω)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線a。(5)ω=2,,0<ωc<2),，ωc=1.2rad/s。(6)作各基本環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線，疊加后得

G(jω)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。綜上，最終得系統(tǒng)Bode圖。374.2頻率特性圖形表示法4.2.2Bode圖例4-4圖384.2頻率特性圖形表示法4.2.3最小相位系統(tǒng)1．最小相位系統(tǒng)的概念傳遞函數(shù)在右半s平面沒(méi)有零點(diǎn)和極點(diǎn)(即傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)的實(shí)部均小于等于零)且不含延時(shí)環(huán)節(jié)，這種傳遞函數(shù)稱之為最小相位傳遞函數(shù)；該傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。反之，若傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)或極點(diǎn)在右半s平面，則這種傳遞函數(shù)稱之為非最小相位傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。顧名思義，最小相位系統(tǒng)的相位滯后最小。394.2頻率特性圖形表示法4.2.3最小相位系統(tǒng)例如，有兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G1(s):，G2(s):，404.2頻率特性圖形表示法4.2.3最小相位系統(tǒng)2．最小相位系統(tǒng)的重要特性

特性1當(dāng)

ω→∞時(shí)，G(jω)的相位

∠G(jω)或?qū)?shù)相頻特性

φ(ω)特性2對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在著唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這就是說(shuō)，根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性，可以唯一地確定相應(yīng)的相頻特性和傳遞函數(shù)，反之亦然。但對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，就不存在上述的這種關(guān)系。414.3幾何穩(wěn)定判據(jù)4.3.1奈氏判據(jù)穿越即Nyquist曲線

G(jω)H(jω)穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn)左側(cè)實(shí)軸(即穿過(guò)實(shí)軸上(-∞,-1)區(qū)間，該區(qū)間不包含(-1,j0)點(diǎn))。其中，相位增大(由上而下)的穿越，稱為正穿越，曲線①所示。正穿越次數(shù)用N+表示；相位減小(由下而上)的穿越，稱為負(fù)穿越，曲線②所示。負(fù)穿越次數(shù)用

N-表示。總的穿越次數(shù)

N=N+-N-。若Nyquist曲線始于或止于(-1，j0)點(diǎn)左側(cè)實(shí)軸上，則穿越次數(shù)為1/2，如下圖Nyquist曲線③和④所示。穿越示意圖424.3幾何穩(wěn)定判據(jù)4.3.1奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)：假設(shè)系統(tǒng)在右半s平面的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)為PR，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Nyquist曲線(ω:–∞→+

∞)的穿越次數(shù)為N，閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為ZR，則系統(tǒng)滿足

ZR=PR-N(ω:–∞→+∞)為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在使用奈氏判據(jù)時(shí)，一般只畫(huà)出頻率ω從0→+∞變化時(shí)的Nyquist曲線。此時(shí)，系統(tǒng)滿足

ZR=PR-2N(ω:0→+∞)若ZR>0，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若ZR=0且Nyquist曲線不經(jīng)過(guò)(-1，j0)點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若ZR=0且Nyquist曲線經(jīng)過(guò)(-1，j0)點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。434.3幾何穩(wěn)定判據(jù)4.3.1奈氏判據(jù)例4-5四個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Nyquist曲線如下圖a～d所示，已知各系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)

PR，試判別各閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。a)b)c)d)解

a:N=0，且

PR=0，則

ZR=PR?2N=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。b:N=0，且

PR=0，故

ZR=0，且開(kāi)環(huán)Nyquist曲線穿過(guò)(-1，j0)點(diǎn)，故閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。c:N=?1，且

PR=0，則ZR=PR?2N=2，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。d:N=1，且

PR=2，則ZR=PR?2N=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。444.3幾何穩(wěn)定判據(jù)4.3.1奈氏判據(jù)例4-6某銑床的電流環(huán)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可近似為試分析該系統(tǒng)電流環(huán)的穩(wěn)定性。解首先畫(huà)開(kāi)環(huán)Nyquist曲線。當(dāng)

ω=0時(shí)，G(jω)H(jω)=K∠0o；當(dāng)ω→∞時(shí)，G(jω)H(jω)=0∠-180o。如圖實(shí)線所示。利用沿橫軸對(duì)稱關(guān)系，加上虛線部分即為Nyquist曲線。因?yàn)殚_(kāi)環(huán)傳函

PR=0，穿越次數(shù)

N=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。從圖可看出，不管

K、T1、T2為何值，穿越次數(shù)均N=0，即對(duì)任何

K、T1、T2的值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。在應(yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)應(yīng)特別注意，虛軸上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)不屬于開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)PR。454.3幾何穩(wěn)定判據(jù)4.3.1奈氏判據(jù)例4-7若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)判別其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

畫(huà)出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Nyquist曲線，如下圖所示。從下圖可知，N=-1；而由G(s)H(s)表達(dá)式可知

PR=0。根據(jù)奈氏判據(jù)有ZR=PR-2N=2所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。464.3幾何穩(wěn)定判據(jù)4.3.2對(duì)數(shù)判據(jù)Nyquist圖中的單位圓對(duì)應(yīng)于Bode圖中的0dB線，Nyquist圖中的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于Bode圖中的-180o線。474.3幾何穩(wěn)定判據(jù)4.3.2對(duì)數(shù)判據(jù)對(duì)數(shù)判據(jù)：假設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為PR，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖的穿越次數(shù)為N，閉環(huán)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為ZR，則系統(tǒng)滿足ZR=PR–2N。若ZR>0，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若ZR=0且ωc≠ωg，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若ZR=0且ωc=ωg

，則閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。484.3幾何穩(wěn)定判據(jù)4.3.2對(duì)數(shù)判據(jù)a)b)c)圖a：PR=2，φ(ω)穿越次數(shù)N=N+–N–=1

–2=–1，ZR=PR–2N=4，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)為4。圖b：PR=2，φ(ω)穿越次數(shù)N=N+–N–=2

–1=1，ZR=PR–2N=0且ωc≠ωg，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。圖c：PR=0，φ(ω)穿越次數(shù)N=N+–N–=1

–1=0，ZR=PR–2N=0且ωc=ωg，故閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。494.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.1相角裕度和幅值裕度1．相角裕度

γ=180o+φ(ωc)γ越小，相對(duì)穩(wěn)定性越差，一般取γ=30o~60o為宜。若γ過(guò)大，則系統(tǒng)的靈敏度、瞬態(tài)性能降低。504.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.1相角裕度和幅值裕度2．幅值裕度

φ(ωg)=–180o。514.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.1相角裕度和幅值裕度c)d)524.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.2相對(duì)穩(wěn)定性計(jì)算與分析1.相對(duì)穩(wěn)定性計(jì)算在采用穩(wěn)定裕度作為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則時(shí)應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：(1)僅用相位裕度或幅值裕度皆不足以說(shuō)明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，必須兩者同時(shí)給出。例4-9某一液壓控制系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其中，ωn為液壓系統(tǒng)固有頻率；ζn為液壓系統(tǒng)阻尼。通常液壓系統(tǒng)阻尼比較小，試分析該閉環(huán)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。解

因

ζn

小，其開(kāi)環(huán)Nyquist圖和Bode圖如下。534.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.2相對(duì)穩(wěn)定性計(jì)算與分析a)b)544.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.2相對(duì)穩(wěn)定性計(jì)算與分析(2)對(duì)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，當(dāng)穿越次數(shù)

N=0時(shí)，亦即其相位裕度γ和幅值裕度Kg(dB)為正值，見(jiàn)圖a、圖c，系統(tǒng)穩(wěn)定。(3)對(duì)最小相位系統(tǒng)而言，其相位和幅值有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。554.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.2相對(duì)穩(wěn)定性計(jì)算與分析例4-10某型號(hào)直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試求：k=10和

k=100時(shí)系統(tǒng)的相位裕度

和幅值裕度Kg(dB)。解1)其中，K=k/5。當(dāng)

k=10時(shí)，K=2；當(dāng)

k=100時(shí)，K=20。2)求相位裕度γ和幅值裕度Kg(dB)的關(guān)鍵是要求出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的剪切頻率ωc和相位穿越頻率ωg。這里介紹四種求解方法。564.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.2相對(duì)穩(wěn)定性計(jì)算與分析解法一：利用Bode圖求解。a)作開(kāi)環(huán)Bode圖，轉(zhuǎn)折頻率ωT1=1rad/s，ωT2=5rad/s。轉(zhuǎn)折頻率

ωT1處的對(duì)數(shù)幅值可通過(guò)下式求取經(jīng)驗(yàn)證在

K=2和

K=20時(shí)的剪切頻率均位于斜率

–40dB/dec折線處，因此有

。繼而求得進(jìn)而求得相位裕度γ574.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.2相對(duì)穩(wěn)定性計(jì)算與分析b)求相位穿越頻率

ωg，由

φ(ωg)=–180o，即φ(ωg)=–90o–arctanωg–arctan0.2ωg=–180o得到，

rad/s。所以幅值裕度

Kg(dB)為584.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.2相對(duì)穩(wěn)定性計(jì)算與分析a)K＝2b)K＝20594.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.2相對(duì)穩(wěn)定性計(jì)算與分析解法二：a)求剪切頻率ωc由

L(ωc)=0解得：下面求相位裕度和幅值裕度的步驟與解法一相同。從結(jié)果可見(jiàn)，當(dāng)開(kāi)環(huán)增益

K增大時(shí)，Bode圖中的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線會(huì)上移，剪切頻率

ωc也隨之增大(右移)，會(huì)使得裕度減小，甚至裕度為負(fù)。604.4相對(duì)穩(wěn)定性4.4.2相對(duì)穩(wěn)定性計(jì)算與分析2.影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要因素1)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益

2)積分環(huán)節(jié)

3)系統(tǒng)固有頻率和阻尼比4)延時(shí)環(huán)節(jié)和非最小相位環(huán)節(jié)614.5閉環(huán)頻率特性4.5.1由開(kāi)環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性低頻時(shí),G(jω)?1,則高頻時(shí)，G(jω)?1，則624.5閉環(huán)頻率特性4.5.2閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)1．截止頻率和帶寬截止頻率

ωb是指閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性

M(ω)下降到

時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率，即

。由于一般系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性低頻段滿足

M(ω)≈1，因此，截止頻率

ωb又可描述為閉環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性下降到

–3dB時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率，即

系統(tǒng)的帶寬是指閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性不低于

M(ωb)所對(duì)應(yīng)的頻率范圍(0≤ωBW≤ωb)。一階系統(tǒng)634.5閉環(huán)頻率特性4.5.2閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)2．諧振峰值和諧振頻率閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅值的極大值

Mr，稱之為諧振峰值。諧振峰值對(duì)應(yīng)的頻率

ωr，稱之為諧振頻率。ωr

表征了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。諧振頻率ωr越大，系統(tǒng)帶寬越寬，故響應(yīng)速度越快。二階系統(tǒng)的諧振峰值Mr越大，系統(tǒng)的阻尼越小，最大超調(diào)量

σp%越大，越易振蕩，故

Mr標(biāo)志著系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。3．剪切率剪切率是指閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線在截止頻率附近的斜率，剪切率越大，高頻噪聲衰減的越快。剪切率表征