綜合與實踐最短路徑問題1.會用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)生活中的最短路徑問題.2.會用數(shù)學(xué)知識、思想、方法描述最短路徑問題，把最短路徑問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.3.會用數(shù)學(xué)問題的結(jié)果解釋最短路徑問題，獲得最短路徑問題的答案.重點：理解并掌握最短路徑問題的基本原理和解決方法，能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；學(xué)會運用軸對稱、平移等圖形變換，找到最短路徑問題中的最短路線，并能進(jìn)行相關(guān)計算和證明.難點：從復(fù)雜的實際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，選擇合適的圖形變換方法解決問題；在解決最短路徑問題時，清晰地理解圖形變換的依據(jù)和邏輯推理過程，培養(yǎng)空間觀念和邏輯思維能力.知識鏈接我們以前學(xué)過“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”.我們稱這種問題為最短路徑問題.今天我們將探究新情境下的最短路徑問題.創(chuàng)設(shè)情境——見配套課件活動探究一：牧民飲馬問題情境探究：多媒體展示牧民飲馬的故事背景及問題：如圖①，一位牧民從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，問牧民在何處飲馬，可使所走的路徑最短？問題1：如何把這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題？可抽象為這樣的數(shù)學(xué)問題：如圖②，點A，B在直線l的同側(cè)，能不能在直線l上找到一點C，使AC與BC的和最??？問題2：兩點在同側(cè)我們不太好入手，先看看兩點在異側(cè)的情況：如圖③，點A，B是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最??？依據(jù)是什么？如圖④，連接AB，交直線l于點C，則AC＋BC最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短.問題3：現(xiàn)在我們回過頭去解決問題1.應(yīng)該如何思考？如圖⑤，我們可作出點B關(guān)于l的對稱點B'，利用軸對稱的性質(zhì)，可以得到B'C＝BC.則AC＋BC＝AC＋B'C.問題再次轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與B'C的和最?。繂栴}4：根據(jù)上面的分析，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與BC的和最??？如圖⑥，在連接A，B'兩點的所有線段中，線段AB'最短.因此，線段AB'與直線l的交點C的位置即為所求，即此時AC＋BC也最小.思考：你能用所學(xué)的知識證明：上面求得的點C，使AC＋BC最小嗎？試一試.歸納總結(jié)：拓展探究：如圖，牧民從A地出發(fā)，先到草地邊m某一處牧馬，再到河邊n飲馬，最后回到B處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短？解：作點A關(guān)于直線m的對稱點A'，作點B關(guān)于直線n的對稱點B'，連接A'B'，分別交m，n于P，Q兩點，牧民沿折線A→P→Q→B走可使所走的路徑最短.活動探究二：造橋選址問題情境探究：如圖①，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河岸上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）問題1：類比活動探究一，我們把上述問題抽象為數(shù)學(xué)問題，如圖②，河的兩岸是平行的直線，橋與河垂直.那么AM＋MN＋NB最小能否進(jìn)一步轉(zhuǎn)化？問題2：能否通過圖形的變化（軸對稱、平移等），把上面圖②的情況轉(zhuǎn)化為下面圖③的情況？將圖②中AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到點A'，如圖④，則AA'＝MN，AM＋NB＝A'N＋NB.這樣，問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點N在直線b的什么位置時，A'N＋NB最小.問題3：你能找到所要求的N點的位置嗎？如圖⑤，連接A'B，交直線b于點N，則點N即為所求.即在點N處建橋MN，所得路徑AMNB最短.思考：你能證明點N的位置即為所求嗎？（師生討論，在課件中展示答案）1