綜合實(shí)踐

最短路徑問(wèn)題1.掌握直線同側(cè)兩點(diǎn)到線上一點(diǎn)的距離和最小問(wèn)題，了解運(yùn)用平移法解決造橋問(wèn)題，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.通過(guò)軸對(duì)稱變換、平移變換體會(huì)轉(zhuǎn)化思想.

大唐邊陲，烽火連綿。將軍受命戍邊，白日登山瞭望烽火，黃昏需至交河飲馬，再返回宿營(yíng)地。因戰(zhàn)馬長(zhǎng)途奔襲體力有限，如何規(guī)劃“山腳下出發(fā)→交河飲馬→宿營(yíng)地”路線，讓總路程最短，成了將軍與隨行幕僚常琢磨的事兒，也成了軍中探討的趣味智題

。

①兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.

我們稱這種問(wèn)題為最短路徑問(wèn)題.今天我們將探究新情境下的最短路徑問(wèn)題.②連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.我們以前學(xué)過(guò)：活動(dòng)探究一：

將軍飲馬問(wèn)題

l

當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與

CB

的和最小.如何把這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題？C問(wèn)題1：如圖，點(diǎn)

A，B

是直線

l

異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在

l

上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)

A、點(diǎn)

B

的距離的和最小？依據(jù)是什么？連接

AB

，交直線

l

于點(diǎn)

C

，則

AC

＋BC

最?。罁?jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短.活動(dòng)探究一：

將軍飲馬問(wèn)題問(wèn)題2：如果

A，B

位于直線

l

的同側(cè)時(shí)，如何使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)

A、點(diǎn)

B

的距離的和最小.如圖，我們可作出點(diǎn)

B

關(guān)于

l

的對(duì)稱點(diǎn)

B′，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以得到

B′C＝BC.則

AC＋

BC＝

AC＋B′C.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：B′當(dāng)點(diǎn)

C

在

l

的什么位置時(shí)，AC

與

B′C

的和最??？活動(dòng)探究一：

將軍飲馬問(wèn)題問(wèn)題3：根據(jù)上面的分析，當(dāng)點(diǎn)

C

在

l

的什么位置時(shí)，AC

與

BC

的和最??？C

在連接

A，B′兩點(diǎn)的所有線段中，線段

AB′最短．因此，線段

AB′

與直線

l

的交點(diǎn)

C

的位置即為所求，即此時(shí)AC＋

BC

最?。瓸′活動(dòng)探究一：

將軍飲馬問(wèn)題作圖過(guò)程：(1)作點(diǎn)

B

關(guān)于直線

l的對(duì)稱點(diǎn)

B′；(2)連接

AB′，與直線

l相交于點(diǎn)

C．則點(diǎn)

C即為所求．活動(dòng)探究一：

將軍飲馬問(wèn)題思考：你能用所學(xué)的知識(shí)證明：AC+BC

最短嗎？證明：如圖，在直線

l上任取一點(diǎn)

C′(與點(diǎn)

C

不重合)，連接

AC′，BC′，B′C′.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴

AC+BC＜AC′+BC′，即

AC+BC

最短．活動(dòng)探究一：

將軍飲馬問(wèn)題同側(cè)轉(zhuǎn)化異側(cè)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)軸對(duì)稱將同側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)利用兩點(diǎn)之間，線段最短，化折為直活動(dòng)探究一：

將軍飲馬問(wèn)題變式探究：如圖

，將軍牽馬從軍營(yíng)

P

處出發(fā)，到河流OA

飲馬，再到草地OB

吃草，最后回到

P

處，試分別在邊

OA

和

OB

上各找一點(diǎn)

E、F，使得走過(guò)的路程最短．活動(dòng)探究一：

將軍飲馬問(wèn)題CEDF

如圖所示，分別作點(diǎn)

P

關(guān)于

OA

，OB

的對(duì)稱點(diǎn)

C

、D

，連接

CD

分別交

OA，OB

于

E、F，則路線

PE

，EF，PF

即為所求.活動(dòng)探究一：

將軍飲馬問(wèn)題活動(dòng)探究一：

將軍飲馬問(wèn)題拓展探究：如圖，牧民從

A

地出發(fā)，先到草地邊

m

某一處牧馬，再到河邊

n

飲馬，最后回到

B

處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短？解：作點(diǎn)

A

關(guān)于直線

m

的對(duì)稱點(diǎn)

A'，作點(diǎn)

B

關(guān)于直線n的對(duì)稱點(diǎn)

B'，連接

A'B'，分別交

m，n

于

P，Q兩點(diǎn)，牧民沿折線

A→P→Q→B

可得走可使所走的路徑最短。ABA'B'PQ

情境探究：如圖，A和

B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋

MN.橋造在何處可使從

A到

B的路徑

AMNB最短(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)？活動(dòng)探究二：

造橋選址問(wèn)題問(wèn)題1：把上述問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，河的兩岸是平行的直線，橋與河垂直．那么

AM＋MN＋NB

最小能否進(jìn)一步轉(zhuǎn)化？當(dāng)點(diǎn)

N在直線

b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最??？MN

的長(zhǎng)度是固定的，即求

AM+NB

最小值.活動(dòng)探究二：

造橋選址問(wèn)題分析：MN

平移到AA′AM+NB最短AM=A′N(xiāo)A′N(xiāo)+NB最短A′、N、B三點(diǎn)共線連接

A′B問(wèn)題2：能否通過(guò)圖形的變化(軸對(duì)稱、平移等)將這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)化？活動(dòng)探究二：

造橋選址問(wèn)題問(wèn)題3：你能找到所要求的

N

點(diǎn)的位置嗎？活動(dòng)探究二：

造橋選址問(wèn)題(2)連接

A′B

，交直線

b

于點(diǎn)

N

，則點(diǎn)

N

即為所求．即在點(diǎn)N

處建橋

MN.

(1)將

MN平移至

AA′，點(diǎn)擊視頻觀看活動(dòng)探究二：

造橋選址問(wèn)題將軍飲馬常見(jiàn)模型：活動(dòng)探究二

造橋選址問(wèn)題點(diǎn)擊視頻觀看解決最短路徑問(wèn)題通常利用________、________實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移，把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成容易解決的問(wèn)題軸對(duì)稱平移1.如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形中，點(diǎn)A，B，C

在小正方形的頂點(diǎn)上.(1)在圖中畫(huà)出與△ABC

關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△A′B′C′；(2)△ABC

的面積是______；(3)在直線l上找一點(diǎn)

P，使得

PA+PB最短.12.5解：(1)如右圖所示；

(3)如圖，連接BA′

交

l于點(diǎn)P，P即為所求.2.如圖，已知

∠AOB的大小為

30°，P是

∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且

OP＝1，點(diǎn)

E、F分別是

OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則

△PEF周長(zhǎng)的最小值等于

(

)分析：作

P點(diǎn)關(guān)于

OA的對(duì)稱點(diǎn)

P'，作

P點(diǎn)關(guān)于

OB的對(duì)稱點(diǎn)

P''，連接

P'P''交

OA于點(diǎn)

E、交BO于點(diǎn)

F，連接

OP'、OP''，C△PEF＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''.C【變式】如圖，四邊形

ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在

BC，CD上分別找一點(diǎn)

M，N，使△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠ANM+∠AMN的度數(shù)為

(

)A.80°

B.90°